اعداد مصور

[Borna66]

اعداد مصور اولین بار توسط یونانی ها مورد مطالعه قرار گرفتند.
این اعداد اشکالی به شکل k-ضلعی منتظم هستن از این رو به این اعداد، اعداد مصور گفته میشه.

[Borna66]

. nامین عدد مثلثی، بنا بر تعریف، تعداد نقطه ها در مثلث nام در دنباله ی زیر است:

[Borna66]

2.nامین عدد مربعی، تعداد نقطه های مربع nام، در دنباله ی زیر است:

[Borna66]

3.nامین عدد مخمسی تعداد نقطه ها در پنج ضلعی nام در دنباله ی زیر است:

[Borna66]

همین طور میشه اعداد مسدسی، مسبعی و... رو تعریف کرد.
اما آیا فرمولی برای nامین عدد از اعداد بالا وجود داره یا نه؟!
جواب اینه: «بعله!!»



برگرفته شده از کتاب:
آشنایی با نظریه اعداد
نوشته:ویلیام دبلیو.آدامز،لری جوئل گولدشتین
ترجمه:آدینه محمد نارنجانی

[Borna66]

اعداد مثلثی
1، 3، 6، 10، 15، 21 و ... بنظر شما این اعداد چه ویژگی مشترکی دارند؟ اگر دست به قلم نشویم و شکل نکشیم و آزمایش نکنیم، فهمیدن ارتباط میان آنها کمی دشوار است. به این شکل دقت کنید مشکل شما حل خواهد شد. به اعداد موجود در این سری، اعداد مثلثی می گوییم.

1 = 1
3= 1+2
6= 1+2+3
10= 1+2+3+4
15= 1+2+3+4+5
21= 1+2+3+4+5+6
. . .

اما شکل اول یک ایده جدید به ما می دهد که می توانیم این اعداد را همانند پاراگراف بالا نیز تفسیر کنیم.

به بیان دیگر می توان گفت که هرعدد مثلثی تشکیل شده است از حاصل جمع یکسری از اعداد متولی طبیعی. به این معنی که اولین عدد مثلثی مساوی است با مجموع یک عدد از اعداد طبیعی، دومین معادل است با مجموع دو عدد از اعداد طبیعی، سومین معادل است با مجموع س عدد از اعداد طبیعی و ... و بالاخره n امین عدد مثلثی معادل است با مجموع n عدد از اعداد طبیعی که اگر ریاضیات دبیرستان را هنوز فراموش نکرده باشید بخاطر خواهید آورد که مقدار این عدد معادل n(n+1)/2 خواهد بود. (یک تصاعد ساده حسابی)


مجموع دو عدد مثلثی متوالی
اگر هر دو عدد پشت سرهم در سری اعداد مثلثی را با هم جمع کنیم حاصل جمع یک عدد مربع می شود. مثلا" 1+3=4 یا 3+6=9 یا 6+10=16 و ... البته دلیل آن ساده است به شکل دوم توجه کنید و ببینید که چگونه دو مثلث قرمز و سبز روی هم تشکیل یک مربع را می دهند. (سعی کنید با استدلال ریاضی هم این موضوع را ثابت کنید، ساده است از همان رابطه بالا استفاده کنید.)


مطلب اخیر اغلب بصورت قضیه "مربع هر عدد طبیعی برابر است با مجموع دو عدد مثلثی متوالی" نیز مطرح می شود.