نظريات و مفاهيم در رياضيات

[Borna66]

نظریه گراف
نظریه گراف دانشی است که درباره موجوداتی به نام گراف بحث می‌کند. به صورت مرئی گراف «چیزی» است شامل تعدادی رأس که با یالهایی به هم وصل شده‌اند. تعریف دقیق‌تر نظریهٔ گراف به این صورت است که گراف مجموعه‌ای از رأس‌ها است که توسط خانواده‌ای از زوج‌های مرتب که همان یال‌ها هستند به هم ربط داده شده‌اند.

آغاز نظریهٔ گراف به سدهٔ هجدهم بر می‌گردد. اویلر ریاضیدان بزرگ این نظریه را برای حل مسئله پل‌های کونیگزبرگ ابداع کرد اما رشد و پویایی اصلی این بخش بسیار زیبا از این نظریه تنها مربوط به نیم سدهٔ اخیر و با رشد علم داده‌ورزی (انفورماتیک) بوده است.

مهم‌ترین کاربرد گراف مدل‌سازی از پدیده‌های گوناگون و بررسی بر روی آنهاست. با گراف می‌توان به راحتی یک نقشه بسیار بزرگ یا شبکه‌ای عظیم را در درون یک ماتریس ذخیره کرد و یا الگوریتمهای‌ مناسب را بر روی آن اعمال نمود.

یکی از قسمت‌های پركاربرد نظریهٔ گراف، گراف‌های مسطح است که به بررسی گراف‌هایی می‌پردازد كه می‌توان آن‌ها را به‌طوری روی صفحه كشید (با گذاشتن نقطه برای رأس‌ها و گذاشتن خم‌هایی كه اين نقاط را به هم وصل می‌كنند به جای یال‌ها) كه این یال‌ها یكدیگر را قطع نكنند.

[Borna66]

نظریه اطلاعات

نظریّۀ ریاضی ارسال، دریافت، و ذخیره‌سازی بهینۀ داده‌ها و اطّلاعات را نظریّهء اطّلاعات می‌نامند. در این نظریه، کلود شانون نحوه مدل سازی مساله ارسال اطلاعات در یک کانال مخابراتی را به صورت پایه ای بررسی نموده و مدل کاملی برای مدل سازی ریاضی منبع اطلاعات، کانال ارسال اطلاعات و بازیابی آن ارائه نموده است. او مساله ارسال اطلاعات از یک منبع به یک مقصد را به کمک علم احتمالات بررسی و تحلیل نمود. دو نتیجه بسیار مهم، معروف به قضیه های شانون، عبارت اند از: 1- حداقل میزان نرخی که می توان نرخ فشرده کردن اطلاعات یک منبع تصادفی اطلاعات را به آن محدود نمود برابر با آنتروپی آن منبع است؛ به عبارت دیگر نمی توان دنباله خروجی از یک منبع اطلاعات را با کمتر از آنتروپی ان منبع ارسال نمود. 2- حداکثر میزان نرخی که می توان بر روی یک کانال مخابراتی اطلاعات ارسال نمود به نحوی که قادر به آشکارسازی اطلاعات در مقصد، با احتمال خطای در حد قابل قبول کم، باشیم، مقداری ثابت و وابسته به مشخصات کانال است که به آن ظرفیت کانال می گوئیم. ارسال با نرخی بیشتر از ظرفیت یک کانال روی آن منجر به خطامی شود. این زمینه از علم مخابرات، به زیر بخش های کدگذاری منبع و کدگذاری کانال تقسیم می گردد. مباحث رمزنگاری مطرح شده توسط شانون نیز از این بنیان ریاضی بهره جسته است. از زیر شاخه های مرتبط با آن می توان نظریه کدینگ جبری کانال را نام برد.

[Borna66]

نظریه احتمالات

نظریه احتمالات مطالعه رویدادهای احتمالی از دیدگاه ریاضیات است.

مفهوم احتمال در مورد ارتباط یا پیوند دو متغیر به کار می‌رود، به این معنی که ارتباط یا پیوند آنها به صورتی است که حضور، شکل، وسعت و اهمیت هر یک وابسته به حضور، شکل، و اهمیت دیگری است. این مفهوم به صورت محدودتر و در مورد ارتباط دو متغیر کمّی نیز به کار برده می‌شود.(مفاهیم اساسی جامعه شناسی، حمید عضدانلو).

ریاضی‌دانان عددی بین صفر و یک را به عنوان احتمال یک رویداد تصادفی به آن نسبت می‌دهند. رویدادی که حتما رخ دهد، احتمالش یک است و رویدادی که اصلاً ممکن نیست رخ دهد احتمالش صفر است.

احتمال شیر آوردن در پرتاب یک سکه سالم یک دوم است، همانطور که احتمال خط آوردن هم یک دوم است. احتمال این‌که پس از انداختن یک تاس سالم شش بیاوریم یک ششم است.

به زبان سادهٔ‌ ریاضی احتمال، نسبت تعداد اعضای مجموعهٔ پیشامدهای دلخواه به تعداد اعضای مجموعهٔ تمام پیشامدهای ممکن است. مثلاً در مورد تاس، برای محاسبهٔ‌ احتمال آوردن عددی زوج، مجموعهٔ پیشامدهای ممکن هست: {۱٫۲٫۳٫۴٫۵٫۶} و مجموعهٔ پیشامدهای دلخواه هست: {۲٫۴٫۶}. تعداد اعضای مجموعهٔ دلخواه هست ۳ و تعداد اعضای مجموعهٔ پیشامدهای ممکن هست ۶. پس احتمال هست: سه ششم مساوی با نیم

جمع احتمال رخ دادن یک رویداد با احتمال رخ دادن رویداد مکمل آن، عدد یک می‌شود. مثلاً در تاس ریختن جمع "احتمال آوردن شش" (که یک ششم است) با "احتمال نیاوردن شش" (که 5 ششم است) می‌شود یک.

[Borna66]

اصل موضوع

اصل موضوع یا بُنداشت به حکمی گفته می‌شود که بدون اثبات پذیرفته شود. حکم‌هایی که به یاری اصل‌ها ثابت

می‌شوند،قضیه نام گرفته‌اند. در سیستم‌های مبتنی بر اصل موضوع چند اصل بدون اثبات پذیرفته می‌شود و بقیه

احکام و قضایا بر اساس این اصول و با توجه به قواعد منطقی اثبات می‌شود.



اصل‌هل و قضیه‌ها را برای نخستین بار، دانشمندان یونانی وارد دانش کردند.ارشمیدس (سده سوم پیش از میلاد) در

کتاب‌های خود، بارها از اصل و قضیه استفاده کرده است. تا سرانجام اقلیدس (سده سوم پیش از میلاد) در ّمقدمات ّ

خود در سیزده کتاب، اصل‌ها و قضیه‌های هندسی را منظم کرده است.



بعضی از اصل‌ها را، اقلیدس پوستلا (خواست) نامیده است. برای نمونه، نخستین پوستلا در ّمقدمات ّ اقلیدس، به

این ترتیب تنظیم شده است: ّدو نقطه را می‌توان به وسیله خط راست به هم وصل کرد.ّ

[Borna66]

نظريات و مفاهيم در رياضيات

اثبات در ریاضیات به معنی نشان دادن درستی گزاره‌ای براساس استدلال منطقی و با فرض کردن درستی چند اصل اولیه (اصل موضوع) است. گزاره‌ای که بدین ترتیب ثابت می‌شود قضیه نام دارد و بعد از اثبات می‌توان از آن در دیگر اثبات‌ها استفاده کرد.

در کتاب تاریخ ریاضیات (تألیف:پرویز شهریاری) در رابطه با اثبات آمده است:

اثبات، عبارت از استدلالی است که به یاری آن و به یاری اصل‌ها، می‌توان قضیه را ثابت کرد.

[Borna66]

قضیه
قضیه در ریاضیات، گزاره‌ای است که بر اساس فرضیات دقیقی درستی آن ثابت شده یا باید ثابت شود.

قضیه، ترجمه‌ای است از واژه یونانی «ته‌ئورم» که به معنای «اندیشیدن» است.

اصل‌ها و قضیه‌ها را برای نخستین بار، دانشمندان یونانی وارد دانش کردند. ارشمیدس (سده سوم پیش از میلاد) در کتاب‌های خود، بارها از اصل و قضیه استفاده کرده است. تا سرانجام اقلیدس (سده سوم پیش از میلاد) در «مقدمات» خود در سیزده کتاب، اصل‌ها و قضیه‌های هندسی را منظم کرده است.

[Borna66]

زاویه

زاویه یک زاویه به راس A عبارت است از نقطه A و دو نیم‌خط Ab و Ac (به نام ضلع‌های زاویه) که از نقطهٔ A خارج شده‌اند.

در فارسی به آن گوشه نیز می‌گویند.

زاویه حادّه (تندگوشه) به زوایای کمتر از نود درجه گفته می‌شود.
زاویه قائمه (راست‌گوشه) به زوایای 90 درجه گفته می‌شود.
زاویه مُنفَرجه (بازگوشه) به زوایای بیشتر از نود درجه گفته می‌شود.
تندگوشه، راست‌گوشه و بازگوشه برابرهای فارسی این مفاهیم‌اند که در دوره پهلوی در کتاب‌های ریاضی بکار می‌رفتند. پس از انقلاب 1357خ این واژه‌های فارسی از کتاب‌ها برداشته شد و بجای آنها برابرهای عربی گذاشته شد.