کاربردهای ریاضی در علوم مختلف

[Borna66]

نام خدا
آنچه در اين پست مي خوانيد قسمتي از مقاله اي با همين عنوان در كتاب انفجار رياضيات است. جزئيات بيشتر را مي توانيد در اين كتاب بيابيد.

پيدا كردن ژني كه مسئول سرطان است
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

پيشرفت هاي بيولوژي مدرن و به ويژه ژنتيك مولكولي نياز به ابزار جديد رياضي دارند. مثال آن آمار و نقش آن در
جستجوي ژن مسئول سرطان سينه است.
بسياري از بيماري ها ريشه وراثتي دارند. احتمال بروز بيماري در افرادي كه كم و بيش حامل ژن بيماري هستند بيشتر است. بدين جهت علم ژنتيك در جستجوي آگاهي بر نقش ژن هاي مختلف و به ويژه عمل آن در پيدايش بيماري است. به اين اميد كه روزي بتوان آن را معالجه كرد.
در بيماري هايي كه داراي عوامل پيچيده هستند « نظير سرطان سينه » و عوامل متعدد محيطي و سن در آن دخالت دارند ، بايد داده ها را برحسب وابستگي به زمان بررسي كرد. در اين حال بايد از آمار فرايندها استفاده كرد كه شاخه اي از رياضي است و قسمت بزرگي از پيشرفت مديون نتايج حاصل از مكتب احتمالات فرانسه در سال هاي 1980 و مكتب آمار اسكانديناوي مي باشد.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[Borna66]

به نام خدا
در اين نوشته بطور مختصر برخي از كاربردهاي منطق فازي بيان شده است. به اميد خدا در پستهاي بعدي بيشتر در اين باره خواهيد خواند.

منطق فازي(1)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

پروفسور لطفي زاده

منطق فازي در سال 1965 ميلادي تولد يافت. در آن سال لطفي زاده از دانشگاه كاليفرنيا در بركلي ، مقاله اي با عنوان "مجموعه هاي فازي" در مجله اطلاعات و كنترل به چاپ رساند. اين مقاله گويا دو سال قبل از چاپ و انتشارش تدوين و تكميل شده بود اما بخاطر نظرات و انديشه هاي اساسي و ريشه اي ارائه شده در آن هيچ مجله علمي پژوهشي جرات پذيرش و چاپ آن را نداشت. تنها مجله اطلاعات و كنترل كه سردبير آن خود لطفي زاده بود مبادرت به چاپ اين مقاله نمود.
تئوري مجموعه هاي فازي بدليل موفقيت هاي زياد در كاركردهاي گوناگون در سالهاي اخير مورد توجه فراوان قرار گرفته است. يكي از موفق ترين حوزه هاي كاربردي منطق فازي در تدوين و طراحي سيستم هاي كنترل فازي بوده است. كنترل كننده هاي كلاسيك براساس مدل هاي رياضي فرآيند كنترل طراحي مي گردند در حاليكه كنترل كننده هاي فازي اصولا بر پايه دانش اتخاذ شده بوسيله عمل كننده هاي انساني طراحي و ساخته مي شوند. در سال 1974 ابراهيم ممداني از دانشگاه لندن نخستين بار منطق فازي را در زمينه كنترل بكار گرفت. (كنترل يك موتور بخار ساده) در سال 1980 اسميت از دانمارك براي نخستين بار از منطق فازي براي كنترل كوره سيمان استفاده كرد. در دهه 1980 موسسه فوجي الكتريك منطق فازي را براي كنترل يك فرآيند تصفيه آب بكار گرفت. در اوايل دهه 1990 با بكار گيري منطق فازي در ساخت لوازم خانگي عموم نيز با منطق فازي آشنا شدند.
طيف كاربردهاي فازي در كنترل كننده ها بسيار متنوع است. در يك طرف طيف كنترل كننده هاي فازي ساده قرار دارند كه در كالاهاي مصرفي بكار رفته اند. ماشين هاي لباس شويي ، جارو برقي ها ، ريش تراش ها ، ظرف شويي ها ، پلوپز ها ، اتوبوس ها ( براي كنترل ترمز ، نيروهاي محركه اتوماتيك ، كنترل سرعت و ساير اجزاء ماشين) ، يخچال ها ، مرطوب كننده ها ، دستگاههاي تهويه مطبوع و ... تنها نمونه هايي كوچك از كاربرد هاي سيستم هاي فازي اند. در كنترل كننده هاي پيچيده تر نيز تئوري فازي كاربرد هاي فراوان داشته است. مثلا كنترل آسانسور ها ، سيستم هاي قطار زيرزميني ، ترافيك شهر ها ، فرآيند هاي صنعتي و .. نمونه هايي از اين نوعند. يكي از پيچيده ترين نوع كنترل كننده هاي فازي كه با موفقيت امتحان شده و بكار رفته است كنترل هليكوپتر بدون سرنشين است. در اين نوع هليكوپتر ها دستورها با زبان محاوره اي طبيعي بوده و ارتباط با آن از طريق بي سيم است.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[Borna66]

به نام خدا
در چند دهه اخير كاربردهاي منطق فازي بيش از پيش آشكار شده است. برخي از آنها در اين پست آمده است.

منطق فازي(2)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

تئوري مجموعه هاي فازي در زمينه هاي گوناگون علوم كامپيوتري بويژه در نگهداري و آمائيدن اطلاعات و دانش بروش تفكر انساني (Human Thinking) نقش مهمي را ايفا نموده است. پايگاه هاي داده فازي ، سيستم هاي تهذيب و بازيافت اطلاعات (Fazzy Information Retrieval Systems) و سيستم هاي خبره فازي (Fuzzy Expert Systems) نمونه هايي از اين كاربرد هاست. مزيت اصلي كاربرد مجموعه هاي فازي در سيستم هاي كامپيوتري ، قدرت و قابليت نمايش و آمائيدن اطلاعات و دانشي است كه بصورت زبان طبيعي بيان شده اند. اين ويژگي ، سيستم هاي فوق الذكر را منعطف تر و واقعي تر مي كند.
اخيرا استفاده از مجموعه هاي فازي در تشخيص الگو (Pattern Recoginition) و شاخه هاي مربوط بدان نظير تجزيه و تحليل خوشه ها (Cluster Analysis) ، پردازش صدا (Voice Processing) ، پردازش تصوير (Image Processing) و ... بسيار رايج شده است.
قابل ذكر است كه كاربرد تئوري فازي در مهندسي بيش از ساير علوم بوده است. عمده ترين اين كاربرد در تدوين و طراحي كنترل كننده هاي فازي است. از ميان شاخه هاي مختلف مهندسي ، مهندسي ساختمان در بكار بردن تئوري فازي پيش قراول بوده است. اين موضوع تعجب آور نيست زيرا همه پروژه مهندسي ساختمان يك پروژه مستقل بوده و اتكاء آن به قضاوت انسان (Human Judgment) و قواعد تقريبي انگشت (Approximate Rule of Thumb)(!!) بيش از ساير رشته هاي مهندسي است. مثلا ، كاربرد اين تئوري در ارزيابي زير بناها مثل پل ها ، زير سازي شهرها ، ساختمان ها و... بسيار موفقيت آميز بوده است. تخمين و ارزيابي اختصاصي اجزا و مصالح ساختمان و شكل مناسب آنها را مي توان بصورت اعداد فازي مناسب بيان نمود.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[Borna66]

به نام خدا

در برخي از پست هاي قبلي در مورد كدگذاري مطالبي بيان شد. پست اين هفته يكي از كاربردهاي بسيار جالب موجكها در كدگذاري است. پيشنهاد مي كنم متن كامل را از كتاب انفجار رياضيات مطالعه كنيد.

موجكها و فشرده سازي تصاوير
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

تصاوير ، خواه به شكل ذخيره سازي عدي در حافظه رايانه ها و خواه در حين انتقال از نقطه اي به نقطه ديگر در شبكه اينترنت جاي زيادي را اشغال مي كنند. خوشبختانه مي توان بدون تنزل كيفيت آنها را فشرده و متراكم ساخت.
يك تصوير عددي را مي توان فشرده كرد درست مانند آب پرتقالي كه آن را بصورت چند گرم پودر فشرده در مي آورند. موضوع صحبت فريبكاري و بازي با كلمات نيست ، بلكه سخن از فنون دانش رياضي و انفورماتيك است كه اجازه مي دهند فضاي اشغال شده توسط يك تصوير در رايانه يا در يك خط مخابراتي تقليل يابد. امروزه اين فنون براي نگهداري و ذخيره اطلاعات يا براي انتقال آنها از طريق اينترنت ، تلفن ، ماهواره و يا هر وسيله ديگر ضروري هستند.
فشرده سازي يك تصوير به معناي حذف اضافات و نمايش تصوير به كمك تعداد محدودي پارامتر است. مثلا در مورد يك تصوير سفيد يكنواخت ، بيان درجه خاكستري براي يكايك نقاط تصوير بي فايده است ، زيرا اين كار خيلي طولاني تر از آن خواهد شد كه بكوييم : " همه نقاط تصوير در زمينه پردازش تصوير سفيدند". مساله نمايش ، يكي از موضوعات مركزي در رياضيات است و كاربرد آن بسيار فراتر از فشرده سازي تصاوير است. در طول ده سال اخير ، بر اثر گسترش نظريه موجك ها پيشرفتهاي قابل ملاحظه اي در نظريه نمايش حاصل شده است. در زمينه پردازش تصوير اين پيشرفت ها منجر به پذيرش استاندارد جديد فشرده سازي شده (JPEG-2000) شده است.

تصوير A

تصوير B

تصوير C

تصويري مانند شكل A را در نظر بگيريد. اين تصوير از 512*512 نقطه تشكيل شده است كه درجه خاكستري آنها از 0(سياه) تا 255 (سفيد) تغيير مي كند. هر يك از 256 درجه خاكستري ممكن مي تواند به وسيله يك هشتايي نمايش داده شود. لذا براي كد كردن تنها يك تصوير از اين نوع 512*512*8=2097152 بيت لازم است ، كه اين هم خيلي زياد است ! نخستين فكري كه به ذهن مي رسد اين است كه تعداد درجه هاي خاكستري را كم كنيم ، مثلا آنها را به سياه و سفيد محدود كنيم مانند شكل B . دو مقدار ممكن براي درجه خاكستري را با يك بيت كدگذاري مي كنيم. به اين ترتيب تعداد بيت ها را هشت بار كم كرده ايم. البته ، كيفيت تصوير شديدا تنزل يافته است. اكنون شكل C را نگاه كنيد. كدگذاري آن 32 بار كمتر از شكل اصلي و روش به كار رفته مبتني بر نظريه موجك هاست. اما مي بينيد كه تنزل كيفيت به زحمت قابل مشاهده است ! چرا؟ در واقع بجاي اينكه درجه دقت شكل را كم كنيم شيوه نمايش اطلاعات را تغيير داده ايم !!!

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[Borna66]

به نام خدا

در پست هاي قبل از برنامه ريزي خطي مطالبي بيان شد كه پايه آن بر جبرخطي و آناليز ماتريس هاست. در اين پست ابتدا بطور كاملا مختصر با پردازش سيگنال آشنا مي شويم (توضيح كامل و تخصصي در اين مورد خارج از حوصله اين بحث است. بيشتر ، كاربردهاي پردازش سيگنال مورد توجه است) سپس كاربردهايي از آن را مي بينيم و در نهايت بيان مي كنيم كه با استفاده از كدام بخش از رياضيات اهداف خود را پيش مي برد.

در پستهاي بعدي با جزئيات بيشتري به اين مطلب پرداخته خواهد شد.

با توجه به اينكه قسمتي از متن ترجمه شده است ، از دوستان خواهش مي كنم كه موارد ناقص و يا مبهم را در همين تاپيك به بنده اطلاع دهند تا آنها را اصلاح كنم.

با تشكر.

پردازش سيگنال
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

پردازش سيگنال
انجمن پردازش سيگنال IEEE تعريف زير را براي پردازش سيگنال ارائه داده است:

"پردازش سيگنال عبارت است از تئوري و کاربرد فيلترگذاري، کدگذاري، انتقال، تخمين، آشکارسازي، تحليل، شناسي، سنتز، ذخيره سازي و بازسازي سيگنال بوسيله اجزا يا تکنيکهاي آنالوگ يا ديجيتال. کلمه " سيگنال" نيز شامل صدا، ويدئو، صحبت، تصوير، ارتباطات و علائم ژئوفيزيک، سونار، رادار، پزشکي، موزيک و غيره مي باشد. "

پردازش سيگنال رقمي (Digital Signal Processing) كاربردهاي بسيار زيادي دارد. از اين دست مي توان به موارد زير اشاره كرد. فشرده سازي تصوير (video compression) ، رسيور (digital set top box) ( وسيله اي كه از آن براي تجزيه و تحليل اطلاعات دريافتي از ديش و تبديل آنها به تصوير استفاده مي شود ) ، مودمهاي كابلي (cable modem) ، ديسك چند منظوره ديجيتالي (digital versatile disk) (كه معمولا بصورت مخفف DVD بكار ميرود.)، سيستم ها يا كامپيوترهاي تصويري قابل حمل (portable video systems/computers) (ترجمه روانتر = ؟) ، صداهاي رقمي (digital audio) (داده های صوتی که به شکل رقمی تبدیل شده اند) ، ارتباط هاي چند رسانه اي و بدون سيم (multimedia and wireless communications) ، راديو هاي ديجيتال ، دوربین های تصویربرداری و عکس برداری ( digital still and network cameras ) (برای اطلاعات بیشتر اینجا را کلیک کنید) ، پردازش سخن (speech processing) ، سيستم هاي مخابراتي ، تصویربرداری راداری ( rader imaging ) (برای اطلاعات بیشتر اینجا را کلیک کنید)، (ترجمه = ؟) acoustic beamformers ، سيستم هاي مكانيابي جهاني ( global positioning systems) ، (ترجمه = ؟ ) biomedical signal processing.
بخش عظيمي از پردازش سيگنال ، روش هاي عددي متنوعي از جبرخطي و برنامه ريزي خطي را بكار مي برد. ماتريس هاي معكوس ، حل دستگاه معادلات خطي ، مسائل كمترين مربعات و مسائل بهينه سازي از اين موارد هستند.

[Borna66]

به نام خدا
هيچكس نمي تواند منكر رابطه تنگاتنگ فيزيك و رياضي (بويژه در آناليز و معادلات ديفرانسيل) شود. در اين پست به اختصار برخي از شاخه هاي علم فيزيك معرفي شده و بيان مي شود كه بطور كلي از چه بخشي از رياضيات سود مي برند!

رياضيات در فيزيك (1)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

مكانيك ذرات و سيستم ها (Mechanics of particles and systems) : اين بخش از فيزيك حركت مجموعه اي از ذرات يا اجسام جامد كه شامل چرخش و ارتعاش اجرام است را بررسي مي كند. حساب تغييرات و معادلات ديفرانسيل در اين بخش بكار مي رود.
مكانيك سيالات (Fluid mechanics ) : اين بخش به مطالعه هوا ، آب و ساير سيالات در حركت مي پردازد. از لحاظ رياضي شامل مطالعاتي در مورد جواب هاي معادلات ديفرانسيل و روشهاي عددي حل آنها (در مقياس بزرگ) است.
فيزيك نور و تئوري الكترومغناطيس (Optics, electromagnetic ) : در آن به مطالعه انتشار و توسعه امواج الكترومغناطيس و تداخل و انكسار (شكست ) آنها مي پردازد. علاوه بر شاخه هاي متداول آناليز از مفاهيمي در هندسه نيز استفاده مي كند.
ترموديناميك كلاسيك (Classical thermodynamics) : موضوع مورد بحث در اين بخش انتقال گرما و روند انتقال آن از ميان اجسام است. در اين بخش از سري هاي فوريه استفاده مي شود.
نظريه كوآنتوم (Quantum Theory ) : به بررسي جواب هايي از معادله ديفرانسيل شرودينگر (Schr?dinger ) و همچنين شامل مطالعاتي در مورد Lie group theory (ترجمه=؟ ) و نظريه كوآنتوم و نظريه انتشار و همچنين مفاهيمي از آناليز تابعي ، Yang-Mills problems ، Feynman diagrams و ... مي باشد.
نظريه نسبيت و جاذبه (Relativity and gravitational theory ) : در بيشتر موارد از هندسه ديفرانسيل ، آناليز و نظريه گروه ها استفاده مي كند.
نظريه سيستمها : بررسي سير تكاملي سيستمها پيچيده مانند آنهايي كه در مهندسي وجود دار ند. براي اينكه بتوانيم يك سيستم را در شرايط مورد نظر خودمان قرارد هيم بايد پارامترهاي موثر بر آن را بشناسيم و سپس آن پارامتر ها را طوري انتخاب كنيم كه شرايط مطلوب ايجاد شود. اين بخش از فيزيك به ويژه براي بازشناسي سيستم و تشخيص پارامترهايي كه بر توسعه و يا كنترل آن موثرند و همچنين انتخاب مناسبي از آنها بكار مي رود. اين بخش از فيزيك از معادلات ديفرانسيل ، آناليز تابعي ، آناليز عددي و هندسه ديفرانسيل بهره مي گيرد.

[Borna66]

به نام خدا

در اين پست بازهم از رابطه رياضي و فيزيك مي خوانيد!

رياضيات در فيزيك (2)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

روابط بين رياضيات و فيزيك از امروز آغاز نمي شود. مگر اصل ارشميدسي ( "به هر جسم كه در مايعي غوطه ور شود نيرويي برابر با وزن مايع هم حجم ان وارد مي شود ") يك جمله رياضي درباره پديده فيزيكي نيست ؟ مگر نه اين است كه فيزيك براثر ابداع حساب ديفرانسيل و انتگرال در قرن 17 به وسيله نيوتن و لايبنيتس به پيشرفت چشمگيري دست يافت ؟ آنچه مهم تر است اين است كه روابط بين اين دو رشته هميشه يك طرفه نيست كه اول يك ابزار رياضي اختراع
شود و سپس در يك مسئله فيزيك بكار رود. يكي از مثال هايي كه از بين خيل مثال هاي متعدد مي توان به عنوان شاهد آورد اين است : ضمن علاقه و كار روي مسئله انتشار حرارت بود كه رياضيدان فرانسوي ژان باپيست ژوزف فوريه "سري هاي فوريه" را مطرح كرد ، كه از آن پس نقش فوق العاده مهمي در علوم و فنون ايفا كرده اند.
فيزيك قرن 20 پر از فعل و انفعال متقابل با رياضيات است. از موارد آن مي توان دو نظريه عمده را مثال زد كه در آغار قرن پديد آمدند ، نظريه نسبيت آينشتاين و مكانيك كوانتيك. نسبيت آينشتاين نظريه اي در گرانش است كه به جاي نظريه جاذبه نيوتن بر كرسي مي نشيند؛ اين نظريه مبتني بر مفاهيمي مربوط به هندسه هاي نااقليدسي است. هندسه هايي كه در قرن 19 وارد شدند و در آن زمان احدي گمان نمي برد كه چنين مباحثي از رياضيات بتوانند كاربردي در دنياي واقعي داشته باشند.
به همين شكل ، زماني كه رياضيدانان در سال هاي 1900 مطالعه " فضاهاي هيلبرت " را آغاز كردند هيچكس فكر نمي كرد كه بيست سال بعد رياضيات فضاهاي هيلبرت به شكل چارچوب مناسب براي بيان فرمول بندي مكانيك كوانتيك در خواهند آمد در جهت عكس مطالعات بنيادي در نسبيت عمومي و در مكاميك كوانتيك باعث تقويت پژوهش هاي صرفا رياضي گرديده اند.
در دهه هاي 1930 تا 1950 ، قالبي نظري كه هم از لحاظ مفاهيم و هم از نظر فنون رياضي مورد استفاده ، بسيار پيچيده است ، بكار گرفته شد كه نظريه كوانتمي ميدانها ناميده مي شود. در اين چارچوب و با يافتن ذرات بنيادي جديد ، فيزيك دانان كشف كردند كه دنياي ذرات بنيادي از تقارنهايي برخوردار است. نظريه گروه ها ، شاخه مهمي از رياضيات است كه در قرن 19 تاسيس شد ، در روشن شدن اين تقارن ها ( كه غالبا تقارن هاي مجردي هستند ) نقش اساسي ايفا كرده است. بر اثر همين نظريه گروه ها بود كه در موارد عديده اي فيزيك دانان نظري توانستند وجود برخي از ذرات بنيادي را سالها پيش از آنكه در تجربه به دست آيد پيشگويي كنند. (!!!!!)


منابع:
كتاب انفجار رياضيات

[Borna66]

به نام خدا

به دلیل اشکالی که در کامپیوترم به وجود آمده پست این هفته را با تاخیر ارسال کردم.

در این نوشته می بینید که پایه و اساس ساخت دستگاه CT-Scan (سی تی اسکن) بر یک قضیه ریاضی بنا شده است !

دستگاه سی تی اسکن CT-Scan
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

این شیوه تصویربرداری در حقیقت به معنی تصویرگیری مقطعي و عرضي از اعضاي بدن مي‌باشد. که در تشخيص بيماريهاي مغز و اعصاب ، نشان دادن موارد اورژانس بيماريهاي مغزي ، تشخیص بيمارهاي مادر زادي مانند بزرگي يا كوچكي جمجمه ، تومورهاي داخل جمجمه‌اي و خارج مغزي ، خونريزي در قسمت‌هاي مختلف مغز و سكته‌هاي مغزي و همچنین تشخیص بيماري اعضاي داخل شكمي مانند كبد ، لوزالمعده ، غدد فوق كليوي کاربرد دارد.
در سال 1917 وقتی که ریاضیدان اتریشی به نام رادون (J.Radon) ثابت کرد که شيئي دو يا سه بعدي را مي‌توان با گرفتن بي‌نهايت عكس از آن در جهات مختلف به تصوير كشيد چه کسی گمان می کرد که این مطلب پایه ای برای روش عکس برداری سی تی اسکن شود. در سال 1956 دانشمندي به نام بارسول (Barcewell) نقشه خورشيدي از تصاوير شعاع‌ها درست كرد. در سال 1961 الدندرف (oldendorf) و در سال 1963 آلن كورمارك (Allencormarck) انديشه‌هايي از سي‌تي اسكن را فهميده و مدلهايي در حد آزمايشگاهي ساخته‌اند. در سال 1968 كول (kuhl) و ادواردز (Edwords) يك دستگاه اسكن مكانيكي براي تصويري از هسته ساخته‌اند كه موفق بودند. اما نتوانستند كار خود را در حد راديولوژي تشخيصي ، توسعه دهند. سر انجام در سالهای 72-1970 اصول رياضي گفته ‌شده توسط رياضيدان انگليسي (God feryhaunsfield) بكار گرفته شد و او توانست يك دستگاه سي‌تي اسكن را بسازد و جهت مصرف باليني معرفي كند. در سال 1979 جايزه نوبل بطور مشترك به پروفسور آلن كورمارك و گاد فري هانسفيلد تعلق گرفت.

[Borna66]

به نام خدا

با توجه به گسترش كاربردهاي رياضيات در ساير علوم ، شاخه اي تركيبي از رياضيات و زيست شناسي با عنوان زيست شناسي رياضي ايجاد شده است. در پست زير اطلاعات مختصري از اين رشته و كاربردهاي آن آمده است.

زيست شناسي رياضي
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

كاربردهاي رياضيات در ريست شناسي تاريخچه طولاني دارد اما در سال هاي اخير رياضيات تاثير شگرفي در اين زمينه داشته است. برخي از دلايل اين امر عبارتند از:

فهم و درك اطلاعات بسيار زياد بدست امده در طول انقلاب ژنميك (مطالعه سازمان همه ژنوم ها (ژنوم کليه اطلاعات ژنتيکي است که در يک سلول ذخيره مي شود)) بدون ابزارهاي تحليلي بسيار مشكل است.

پيشرفت هاي اخير ابزار هاي رياضي مانند نظريه آشوب (براي اطلاعات بيشتر اينجا را كليك كنيد) به درك سازمانهاي پيچيده و غيرخطي زيستي كمك مي كنند.

افزايش قدرت محاسبه ، محاسبات و شبيه سازي ها را طوري كه پيش از اين ممكن نبود توانمند ساخته اند

افزايش فوايد آزمايشات انجام شده توسط كامپيوتر (يا شبيه سازي كامپيوتري) به علت پيچيدگي اي كه در پژوهش هاي شامل انسان و حيوان وجود دارد.

يك مدل سيستم زيستي (مانند يك بيماري يا يك تومور ) به دستگاهي از معادلات تبديل مي شود و يك جواب معادلات چه بصورت تحليلي و چه بصورت عددي ، رفتار يك سيستم زيستي را در طول زمان يا در شرايط تعادل توضيح مي دهد. انواع مختلفي از معادلات وجود دارند و نوع رفتاري كه رخ مي دهد وابسته است به مدل و معادلاتي كه بكار برده مي شوند. اغلب مدل ، فرضياتي درباره سيستم انجام مي دهد. در معادلات نيز فرضياتي درباره طبيعت آنچه رخ دهد در نظر گرفته مي شود. در واقع براي يك سيستم زيستي با توجه به شرايط آن يك مدل با معادلات مناسب انتخاب مي كنند و با حل اين معادلات رفتار سيستم را پيش بيني خواهند نمود.
بدين منظور بخشهايي از رياضيات مانند فرايند هاي قطعي ، فرايندهاي تصادفي ، معادلات ديفرانسيل عادي ، معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي و نگاشت ها بكار مي آيند.

[Borna66]

مدل ریاضی برای تعیین میزان استقبال تماشاگران

سه محقق شیلیایی که در آمریکا و شیلی سرگرم تحقیق هستند، معادله ریاضی ساده ای ابداع کرده اند که در آن با توجه به برخی از عوامل، نظیر میزان فروش فیلم، تاثیر منتقدان و قضاوت تماشاگران و هزینه ای که صرف تبلیغات فیلم شده است، می توان میزان موفقیت تجاری فیلمها را مشخص ساخت. به نوشته هفته نامه علمی نیچر "سزار هیدالگو" دانشجوی دوره دکتری فیزیک در دانشگاه نوتردام با همکاری "کارلوس رودریگرز-سیکرت" اقتصاددان در دانشگاه کاتولیک شیلی و "آلیاندرا کاسترو" از دانشگاه میشیگان برای تعیین این نکته که قضاوت تماشاگران تا چه اندازه بر روی فروش فیلم اثر می گذارد معادله ای ریاضی را تکمیل کردند که به صورت تقریبی میزان فروش فیلمها را طی چند هفته اول پس از به نمایش در آمدن با توجه به چند عامل اصلی، از جمله آنچه که به صورت دهان به دهان میان بییندگان و تماشاگران پخش می شود، تخمین می زند. در این معادله فرض شده که در آمد فیلم متکی به سه عامل است که عبارتند از شمار تماشاگران، اشتیاق اولیه بییندگان احتمالی برای تماشای فیلم که با میزان تبلیغات درباره فیلم ارتباط دارد و بالاخره واکنش کسانی که فیلم را تماشا کرده اند. بر اساس این معادله به عنوان مثال اگر بودجه تبلیغات زیاد باشد اما نظر تماشاگران مساعد نباشد، فیلم پس از یک فروش اولیه خوب برای چند روز، با کسادی مواجه می شود. در حالیکه اگر نظر تماشاگران مساعد باشد، ولو در ابتدا استقبال زیادی از فیلم به علت کمبود تبلیغات صورت نگرفته باشد، بتدریج فروش فیلم افزایش خواهد یافت. این محققان معادله ابداعی خود را با آمارهای واقعی مربوط به ۴۴فیلم که در آمریکا به نمایش در آمده بود مقایسه کردند و به تطابق خوبی میان مدل نظری و اطلاعات و داده های عملی برخوردند. بر اساس این مدل اگر مطالبی که منتقدان درباره فیلمها می نویسند یا آنچه که به صورت دهان به دهان درباره آنها پخش می شود مثبت باشد، این امر در موفقیت فیلم پس از به نمایش در آمدن تاثیر زیادی خواهد داشت. به گفته "گربن باکر" که در دانشگاه اسکس تاریخ اقتصاد تدریس می کند، هرچند تحقیق اخیر حاوی نکات درخور توجهی است اما در جهان واقعی عوامل بسیار پیچیده ای بر روی میزان فروش فیلم تاثیر می گذارند که بسیاری از آنها در این مدل مورد توجه قرار نگرفته است. توجه به این جنبه ها می تواند به تکمیل این مدل ریاضی منجر شود. این نکته به وسیله "جان سدویگ" اقتصاد دان در حوزه رسانه ها که در دانشگاه متروپولیتن لندن تدریس می کند اینگونه توضیح داده می شود که در مورد فیلمهایی که با بودجه کمی تولید شده اند، از آنجا که تعداد سینماهای نمایش دهنده آنها محدود است، بسیاری از کسانی که علاقه مند به دیدن فیلم هستند عملا موفق به این کار نمی شوند زیرا به سینمای نمایش دهنده دسترسی ندارند. در عوض فیلمهایی که با بودجه های گزاف تولید می شوند از آنجا که در حدود سه هزار سینما در سراسر آمریکا به نمایش درمی آیند در دو هفته اول، هزینه تولید خود را جبران می کنند و این امری است که برای استودیوهای تولیدکننده اهمیت دارد. از سوی دیگر در حال حاضر حدود ۷۰درصد درآمد فیلمها از طریق ویدیو ها و دی وی دی ها و کالاهایی که بعد از نمایش اولیه تولید می شوند به دست می آید. در این زمینه نیز نظر تماشاگران در تضمین فروش بعد از نمایش اولیه تاثیر فراوان دارد و این عامل می تواند به تهیه کنندگان فیلمها در تصمیم گیری در خصوص سرمایه گذاری برای فیلمهایی که دنباله یک فیلم اول به شمار می آیند، کمک کند.