دنباله فيبوناچي

[Borna66]

دنباله فيبوناچي

لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي، حدود سال 1200 ميلادي دنباله اي رامعرفي كردكه اكنون بنام خودش معروف است. 38جمله اول دنباله فيبوناچي درزيرآمده است .دراين دنباله ازجمله سوم به بعدهرجمله ازجمع دوجمله قبلي بدست مي آيد. بنابراين بافرضF1=F2=1برايn³3 داريم: Fn=Fn-1+Fn-2 .معمولاشروع آن باعدديك است ولي گاهي بافرض F0=0دنباله راازصفرشروع مي كنند.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169
مي توان نشان داد كه F6nبراي هرnÎNبرعدد4قابل قسمت است.بعلاوه F25nبرعدد25 قابل قسمت است.درزيرنشان مي دهيم كه هرگاه مرتبه جمله مضرب3باشد آن جمله برجمله سوم دنباله بعني 2 قابل قسمت است.باتوجه به اصل استقراي رياضي هرگاه n=1باشد F3n=F3و درنتيجه برآن قابل قسمت است.حال فرض كنيم حكم برايn-1 برقرارباشديعنيF3(n-1) برF3قابل قسمت باشد.داريم:
F3n = F3n-1+F3n-2
= (F3n-2+F3n-3)+F3n-2
= 2F3n-2 +F3(n-1)
درتساوي آخرهردوجمله برF3=2قابل قسمت اند.درنتيجهF3nبردوقابل قسمت است وحكم درحالت كلي برقراراست.آيا بااستفاده ازاين روش اثبات، مي توانيد ثابت كنيدكه درحالت كلي هرگاهkÎNباشد، Fknبر Fkقابل قسمت است؟
ميتوان دنباله فيبوناچي رابراي اعدادصحيح منفي بصورت F-n=(-1)n+1Fnتعريف كرد.
1, -1, 2, -3, 5, -8, 13, -21, 34, -55, 89, -144, 233, -377, 610,...

[PANJI]

کسی حل تمرینات فصل اول ریاضی عمومی 2 را داره...........