بيا ن رياضي تصميم به توليد بنگا ه انحصاري در بلند مدت :
تا بع سود به صورت زير مي باشد ( دوره ي بلند مدت )
Π= TR-LTC=P(q)q-LTC(q)
MAXπ= əTR/ əq - əLTC/əq=0
MR=LMC(1)
كه (1) شرط لازم مي باشد و شرط كافي بصورت زير مي باشد :
بايد مشتق دوم سود نسبت به q منفي شود :
əMR/əq-əLMC/əq<0
و اين شرط مرتبه دوم يا شرط كا في مي باشد .و اين بدين معناست كه بايد مقدار جبري شيب منحني MR در نقطه ي حداكثر كمتر از مقدار جبري شيب منحني LMC باشد .
تو ضيح در مورد شرط مرتبه دوم يا كافي بدين صورت است كه چگو نگي شيب اين منحنيها مورد توجه نمي باشد و مهم نيست .فقط كوچكتر بودن مقدار جبري MR مهم و مد نظر مي باشد .
يك شرط كلي ديگر نيز لازم است و ان P>=AVC است . خوانند گان گرامي توجه داشته باشند كه اين شرط چه در بلند مدت و چه كوتاه مدت نبايد با بنگاه رقابت كامل كه حداقل AVC را در نظر مي گيرد اشتباه گرفت. در پايان بحث انحصار حتما بنگاه رقابت كامل و انحصاري را با هم مقايسه مي كنيم و شما به فرق اين مبا حث بيشتر پي خواهيد برد.
تنها در يك صورت است كه بنگاه انحصاري در حداقل AVC توليد مي كند . براي درك بيشتر موضوع به نمودار زير دقت فرماييد :


پس فقط زماني كه MR از حداقلAVC مي گذرد بنگاه انحصاري در حداقل AVC توليد مي كند.
در نمودارهاي زير هم شرط مرتبه دوم را بار ديگر بررسي خواهيم