منطق ریاضی

[Borna66]

منطق ریاضی ، شاخه‌ای از ریاضیات است که به ارتباط ریاضی ‌و منطق می ‌پردازد و گاه به آن منطق صوری (منطق نمادی) می‌گویند. این نام را جوزپه پئانو ریاضیدان ایتالیائی بر این رشته علمی گذاشت . پیشتر لایب نیتز و لامبرت کوشش‌ هائی در این خصوص کرده ‌بودند.

در اواخر قرن نوزدهم میلادی ، با کارهای آگوستوس دی‌ مورگان، جرج بول، گوتلوپ فرگه، برتراند راسل، داوید هیلبرت و دیگران این علم به پیشرفت قابل ملاحظه‌ای دست یافت . منطق امروز در ریاضیات ، شکل کامل تری از منطق در فلسفه است که اساس خود را با نظریهٔ مجموعه‌ها به اشتراک دارد.
انگیزه و اهداف

تحقیقات علمی درباره منطق ریاضی، در پی بروز پرسش‌ های نوین در بنیان‌های ریاضیات پدید آمد. به عنوان نمونه، فرگه می‌کوشید تا ریاضیات را بر پایهٔ اصول برآمده از منطق و نظریهٔ مجموعه‌ها قرار دهد. راسل ، در حذف تناقضات ناشی از دستگاه منطق فرگه تلاش کرد و هدف هیلبرت نشان‌دادن این امر بود که "روش‌های مورد قبول عام در ریاضیات هرگاه که به‌طور همه‌جانبه ، کلی ‌نگرانه و به‌عنوان یک کل واحد ، در نظر گرفته شود ، به هیچ نوع تناقضی منجر نخواهد شد ." (این موضوع به برنامه هیلبرت شهرت یافته است .)
روش‌ها و پایه‌ها

به طور کلی منطقی که امروزه رواج دارد، منطقی بر پایه‌های منطق ارسطویی و دو ارزشی است که به مرور تکامل یافته است. از پایه‌های این منطق قانون طرد شق وسط می‌باشد. این قانون از مشخصات منطق دو ارزشی است و بیان می‌کند که گزارهٔ ما هر چه باشد یا درست است یا نادرست و به بیانی دیگر یا گزارهٔ ما درست است یا نقیض آن درست است. این اصل تا به امروز اساس حل بسیاری از مسائل به ویژه حل به روش برهان خلف بوده است اما با این وجود، بحث ها و جنجال های بسیاری در رابطه با ناکافی بودن این منطق وجود دارد. به عقیدهٔ بعضی از منطق شناسان و ریاضیدانان مکتب شهودی همچون براوئر،هیتینگ و بیشاپ نتیجه گرفتن وجود یک چیز تنها به این دلیل که وجود نداشتن آن ممکن نیست کافی نیست.

در سال های اخیر پژوهش هایی در زمینهٔ منطق چند ارزشی توسط افرادی چون لوکاسیویچ، پست(شخص)وتارسکی انجام شده است اما هنوز به عنوان یک منطق قابل قبول ویا جایگزین در نیامده است.

تعریف در منطق

با آن که با استفاده از منطق می‌توان بسیاری از چیزها را تعریف کرد و بسیاری از تعاریف را اثبات کرد اما تمامی اساس منطق بدون تعریف و زیر سئوال است، شاید دلیلش این باشد که منطق بر اساس فکر آدمی بناشده و ما انسان ها دربارهٔ پدیده‌های غیر از فکر خود می‌توانیم تفکر کنیم زیرا که تکفر کردن درباره تفکر کردن بی معنا و مفهوم است و ما را وارد دور می‌کند که باطل است. البته بررسی ذهن به عنوان یک دستگاه منطقی ما را قادر می سازد تا بتوانیم منشا منطق که همانا ذهن آدمی است را بیشتر کشف کنیم.

نقض گزاره‌ها

نمی توان آن را تعریف کرد، زیر اگر بخواهیم آن را تعریف کنیم باز نیاز به استفاده از خودش برای تعریف خودش داریم. به چند تعریف زیر توجه کنید :


1 - نقیض یک گزاره ، گزاره‌ای است که دارای ویژگی های آن گزاره نباشد.

2 - نقیض یک گزاره یعنی اگر گزاره‌ای درست باشد آنگاه نقیض آن نادرست است.

3 - نقیض یک گزاره یعنی مکمل حالت هایی که آن گزاره شامل نیست.

و تعاریفی مانند این ها ...

تعاریف بالا گرچه مفهوم را می رسانند و منظور از آوردن آن ها القاء مفهوم نقیض بوده است اما غلط هستند چون در آنها به نوعی از خود مفهوم نقیض استفاده شده است.

برای مثال در جملهٔ اول، عبارت دارای ویژگی های آن گزاره نباشد. خود نقیض عبارت دارای ویژگی های آن گزاره باشد. است، همچنین در جملات بعدی عبارات نادرست و نیست خود به ترتیب نقیض عبارات درست و هست می‌باشند

گزاره‌های فصلی و عطفی

در منطق دو ارزشی همه چیز بر پایهٔ دو حالت بنا شده است ، بنابر این ما در این منطق دو عملگر اصلی داریم. "یا" ، "و" عملگرهای اصلی این منطق هستند و عملگرهای دیگر به صورت شکل دیگری از ترکیب این دو عملگر و نقایض آن ها ایجاد می‌شوند.

گزاره‌های فصلی : گزاره‌هایی هستند که در آنها حرف ربط "یا" به کار رفته است. گزاره‌های چند جزئی که با حرف ربط "یا" به یکدیگر مربوط می‌شوند حتی اگر یکی از گزاره‌ها درست باشد شرط درست است و برای نادرستی شرط باید تمامی گزاره‌ها نادرست باشند.

گزاره‌های عطفی : گزاره‌هایی هستند که در آنها حرف ربط "و" به کار رفته است. گزاره‌های چند جزئی که با حرف ربط "و" به یکدیگر مربوط می‌شوند حتی اگر یکی از گزاره‌ها درست نباشد شرط نادرست است و برای درستی شرط باید تمامی گزاره‌ها درست باشند.

همانطور که در بالا دید هر دو دارای تعریفی مشابه و نقیض یکدیگر هستند، پس می‌توان گفت که نقیض گزاره‌های فصلی به شکل عطفی است و نقیض گزاره‌های عطفی به شکل فصلی است.

متغیرهای عمومی و وجودی

در منطق دو ارزشی دو قسم متغیر برای تعاریف خود داریم ، "به طور کلی(کلاً)" ، "وجود دارد(جزئاً)". تمامی تعاریف ما یا به شکل کلی و یا به شکلی جزئی تعریف خواهند شد

متغیرهای کلی : متغیرهایی هستند که یک گزاره را به طور کلی تعریف می‌کنند. هنگامی که شما یک شرط کلی تعریف می کنید یعنی هر چیزی که عضو آن مجموعه باشد دارای آن خاصیت است.

متغیرهای جزئی : متغیرهایی هستند که یک گزاره را به طور جزئی تعریف می‌کنند. هنگامی که شما یک شرط وجودی (جزئی) تعریف می کنید یعنی لااقل یک چیز وجود دارد که عضو آن مجموعه است.

نقیض گزاره‌های کلی به شکلی جزئی است و نقیض گزاره‌های جزئی به شکل کلی است.