معرفی یک دنباله اعداد در نمایش اعداد طبیعی

دنباله اعداد طبیعی در حالت کلی دنباله ای آشنا است.ولی بسته به این که چه نوع آرایشی از اعداد طبیعی را درنظر داشته باشیم می توان دنباله های متنوعی ایجاد کرد که همگی به نوعی معرف یک ویژگی از اعداد طبیعی هستند.
در مقالات اخیر حالتی رابررسی کردیم که در یک حالت حدی اعداد طبیعی را شامل می شد.دراین مقاله قصدداریم دنباله ای را معرفی کنیم که می تواند نواری از اعداد طبیعی را به مادهد و بدین وسیله ما می توانیم به سرعت کل دنباله را تشکیل دهیم .
به دنباله زیر توجه کنید:
N,n-1,2n-1,2n,4n-1,4n,8n-1,8n,………….. nЄIN
این دنباله دوجمله مولددارد که دوجمله اولی دنباله یعنیn و n-1 هستند.از جمله سوم به بعد دراین دنباله یک نظم خاص پدید می آید که در ذیل به آن و ویژگی هایش اشاره می شود.
دراین دنباله جملات به دودسته افراز می گردند.جملات مرتبه فرد دنباله یعنی جملات سوم وپنجم وهفتم و... وجملات مرتبه زوج یعنی جملات چهارم وششم وهشتم و...(فراموش نشود جملات اول ودوم را درنظر نگرفته ایم(جملات مولد)).
جملات مرتبه فرد از قانون زیر پیروی می کنند:
Ao=2kn-1
وجملات مرتبه زوج از قانون زیر:
AE=2kn
که در هردو قاعده k عضوی از IN است ولی تحت شرایطی که در زیر بدان اشاره می کنیم.
اگر دو جمله اول دنباله را کنار بگذاریم جملات سوم با چهارم, پنجم با ششم, هفتم با هشتم ودر کل n ام راباn+1 ام را "همسایه" می گوییم.
K برای هر همسایگی منحصر بفرد و ترتیبی است.
برای همسایگی اول k=1 و برای همسایگی دوم k=2 و برای همسایگی n ام k=n خواهد بود.
مثال)جمله دهم دنباله فوق را بیابید:
برای جمله دهم همسایگی چهارم را داریم و این جمله زوج است لذا:
A10=24n=16n
حال شرایطی را درنظر بگیرید که ما بخواهیم یک دسته اعدا طبیعی را به صورت ستون وار (نمایش ماتریسی)نشان دهیم.
بسته به این که به چند ستون ماتریسی نیاز داریم به n عدد می دهیم.n همان تعداد ستون های ماست.
درزیر نمایش ستونی برای n=5 آمده است:
5 4 3 2 1
10 9 8 7 6
15 14 13 12 11
20 19 18 17 16
25 24 23 22 21
.
.
اگر به اعداد مندرج به ستون های چهارم نگاه کنیم متوجه می شویم این اعداد همان اعداد دنباله ما هستند به ازای n=5 و جمله اول دنباله اولین مقدار ستون آخر است.
به ازای هر n ای این ماتریس را میتوان به همین ترتیب ساخت و نواره ای از اعداد طبیعی را ایجاد کرد.
سایر اعضای طبیعی نیز از روی جدول ساخته می شوند.
در این بین مهم ترین کاربرد این شیوه را می توان در "کدینگ" و "مارکینگ" اعداد نشان داد. در ضمن اگر برنامه کامپیوتری اعداد طبیعی را به کامپیوتر بدهیم و این شیوه را درخلال آن پیاده سازی کنیم پیچیدگی زمانی و مرتبه ای برنامه را می توان کاهش داد.
این نوع عدد ریزی یک ویژگی جالب دارد که در زیربدان اشاره می کنیم:
جمع درایه های متناظر در سطرهای ستون هایm ام وm-1یعنی جمع سطر های n ام ستون های m وm-1در سطر 2n ام ستون m-1 ام نمایان می شود.مثلا در مثال بالا 9در سطر2 , 19در سطر22و به همین ترتیب قرار دارد که این مساله موقعیت یابی اعداد را دراین نواره آسان تر می کند.
ویژگی های جالب تر این دنباله را وقتی متوجه می شویم که این دنباله را به صورت باینری در آوریم(باینری=دودویی).
این حالت که درزیر بدان اشاره می کنیم درتمام جدول های m*n جواب می دهد.
بایک مثال حالت مذکوررا بررسی کرده و آن راتعمیم می دهیم:
به دنباله زیر توجه کنید:
N-1,n,2n-1,2n,4n-1,4n,…
این دنباله را درازای n=5 اجرا می کنیم و جدول اعداد زیر را بدست می آوریم:
5 4 3 2 1
10 9 8 7 6
15 14 13 12 11
20 19 18 17 16
25 24 23 22 21
مطابق روش ارایه شده در ابتدای مقاله اعداد 9و19 را درنظر می گیریم:
اگر این اعداد رادر مبنای 2 تبدیل واحد کنیم داریم:
2 (1001)=9
2 (10011)=19
برای اطمینان بیشتر 39 رانیز در نظر می گیریم:
2 (100111)=39
ملاحظه می شود یک نظم و ترتیبی بین اعداد ایجاد شده در مبنای 2 دراین اعدا د وجود دارد.
دراین حالت یک پایه مبنای عملگر تعیین می کنیم و بقیه تغییر مبنا ها را براین اساس ایجاد می نماییم:
این پایه مبنا را"عملگر مخصوص" گوییم
در این حالت (حالت مثال فوق)پایه مبنا را به صورت زیر در نظر می گیریم:
(x1001)را پایه مبنا (عملگر مخصوص) این جدول در نظر می گیریم که x در ازای هر واحد که دنباله جلو می رود یک 1 اضافه می کند.
یعنی (1001)برابر 9 , (10011) برابر19 و به همین ترتیب سایر جملات دنباله به صورت باینری (دو دویی) نگاشته می شود.
در مثال های مختلف این موضوع را بهتر جلوه می دهیم:
مثال)Γ مارکینگ را برای جدول 4*5 (5 سطرو4ستون) اعداد طبیعی انجام داده و کد باینری آن را مشخص کنید:
4 3 2 1
8 7 6 5
12 11 10 9
16 15 14 13
20 19 18 17
2 (111)=7
2 (1111)=15
2 (x111)=کد باینری مخصوص
نام این تبدیل را به خاطر نوع قرار گیری اعداد دنباله در جدول (شبیهΓ) تبدیل Γ می نامیم و به خاطر کاربردی که این سبک در عملیات کدینگ و مارکینگ اعداد دارد "Γ مارکینگ"نام گرفته است.
مثال)Γ مارکینگ را برای دنباله زیر در ازای n=3 انجام دهید و کد باینری آن را بدست آورید:
n-1,n,2n-1,2n,4n-1,4n,8n-1,8n
2 (101)=5
2 (1011)=11
2 (10111)=23
2 (x101)=کد باینری مخصوص
عکس این عمل نیز صادق است .یعنی ازروی کد مخصوص باینری می توان دنباله و در نتیجه آرایش اعداد را تعیین کرد.
درست عکس اعمال انجام شده چاره کار است.
اکتت(8 تایی)سازی مبناها در این دنباله:
در روش اکتت کردن مبناها (بردن عدد به مبنای 8) دراین نواره(دنباله)ترتیب خاص و جالبی بدست می آید.البته لازم به ذکر است که این روش زمانی عملی می شود که حداقل 5 ستون در جدول اصلی داشته باشیم.
اگر "گاما مارکینگ" را برای جدولی با حداقل 5 ستون انجام دهیم (جدول شماره 1)دنباله زیر در نواره هاپدید می آید:
n-1,n,2n-1,2n,4n-1,4n,… nЄIN
که دراین حالت N=5 خواهد بود.
اگر اعداد پدید آمده در نواره که برای ما اهمیت دارند(9و19..) را به مبنای 8 ببریم داریم:
8 (11)=9
8 (23)=19
واگر به همین ترتیب ادامه دهیم می بینیم اعدادی که از اکتت سازی n ستون بدست می آیند اعداد مبنای 10 در گاما مارکینگ n+1 ستون می باشند که این ویژگی جالب تر این روش در دنباله های سازنده این نواره ها می باشد