توابع در سایر علوم و اصطلاحات توابع + مشخص کردن تابع
توابع مورد استفاده در اکثر علوم کمی می‌باشند، برای مثال در فیزیک، هنگامی که می‌خواهیم رابطه بین چند متغیر را بیان کنیم، مخصوصاً در زمانی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیر دیگر است. برای مثال وقتی که می‌خواهیم نشان دهیم که تغییر دمای آب چه تاثیری بر روی چگالی آن می‌گذارد.
توابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدل‌سازی ساختمان داده‌ها و تاثیرات الگوریتم می‌بینیم. این کلمه در رویه‌ها و زیرروال‌ها بسیار دیده می‌شود.
به یک مقدار ورودی مشخص در یک تابع، آرگومان تابع می‌گویند. برای هر آرگومان x، مقدار منحصر به فرد y در مجموعه اعداد برد تابع وجود دارد که با آن مطابقت می‌کند، و به آن مقدار در x یا تصویر x تحت f می‌گویند. تصویر x می‌تواند با (f(x و یا y نشان داده شود.
گراف تابع f مجموعه تمام زوج مرتب‌های ((x, f(x) به ازای تمام xهای درون دامنه X است. اگر X و Y زیرمجموعه‌هایی از R (اعداد حقیقی) باشند، در این صورت این تعریف مانند شهود «گراف» به عنوان یک تصویر یا نمودار تابع به همراه زوج مرتب‌های نقاط در محور مختصات است.
مفهوم تصویر را می‌توان اتصال مجموعه‌ای از نقاط تصویر به هم دانست. اگر A زیرمجموعه‌ای دامنه باشد، آن گاه (f(A هم زیرمجموعه‌ای از برد است که شامل تمام تصویرهای‌های مقادیر A می‌شود. در این صورت می‌گوییم که (f(A تصویر A تحت f است.
به یاد داشته باشید که برد f همان تصویر (f(X در مقادیر دامنه‌است و برد f زیرمجموعه‌ای از مجموعه تمام مقادیر ممکن برای f است.
وارون (یا معکوس) مجموعه B که مجموعه مقایر ممکن برای Y تحت تابع f است زیرمجموعه‌ای از دامنه X است که به این صورت تعریف می‌شود:
f −1(B) = {x in X | f(x) is in B}
برای مثال، وارون مجموعه {4, 9} تحت تابع مربع مجموعه {−3,−2,+2,+3} است.
به طور کلی، وارون یک نقطه منحصر به فرد (نقطه‌ای که فقط یک مقدار برای آن وجود داشته باشد)، می‌تواند مجموعه تمام اعداد را دربرگیرد. برای مثال اگر f(x) = 7 باشد، آن گاه وارون {5} تهی است اما وارون {7} برابر مقادیر دامنه آن است. در این صورت وارون یک مقدار در برد زیرمجموعه‌ای از دامنه آن است. طبق قرارداد وارون یک مقدار یعنی f −1(b) ویا همان f −1({b}) به صورت زیر است:
f −1(b) = {x in X | f(x) = b}
مهمترین توابع عبارتند از:
تابع یک‌به‌یک، که در آن این خاصیت وجود دارد که اگر f(a) = f(b) باشد آن گاه a هم باید با b برابر باشد.
تابع پوشا، که در آن این خاصیت وجود دارد که برای هر y در برد، یک مقدار x در دامنه وجود داشته باشد یعنی f(x) = y.
توابعی که هم یک‌به‌یک و هم پوشا هستند.
اگر از تعریف اول تابع که در بالا گفته شد استفاده شود، تا موقعی که برد تعریف نشده باشد، «یک‌به‌یک» بودن تابع باید وضعیتی مانند پوشا بودن را داشته باشد. می‌توان از ترکیب دو یا چند تابع به عنوان یک تابع استفاده کرد. برای مثال، f(x) = sin(x2) ترکیب یک تابع سینوسی و یک تابع درجه دو است. توابع f: X → Y و g: Y → Z می‌توانند با هم ترکیب شوند، به طوری که ابتدا این عمل بر روی تابع f انجام شود و y = f(x) به دست آید و یک بار هم بر روی g اعمال شود و z = g(y) به دست آید. تابع مرکب g و f به صورت زیر نوشته می‌شود:
ابتدا تابع سمت راست عملیات را انجام می‌دهد و سپس تابع سمت چپ (برعکس زبان انگلیسی) و این تابع را «جی‌اُاِف» می‌خوانیم.
در تعریفی غیرعلمی، تابع وارون f تابعی است که اثر تابع f را خنثی کند، به این صورت که هر مقدار (f(x را به آرگومان x نسبت دهد. تابع مربع (درجه دو) وارون تابع غیرمنفی جذر (ریشه دوم) است، به طوری که اگر f دارای دامنه X و برد Y و گراف G باشد، آن گاه وارون آن دارای دامنه Y و برد X و گراف است.
G−1 = { (y, x) : (x, y) ∈ G }
برای مثال اگر گراف f برابر G = {(1,5), (2,4), (3,5)} باشد، آن گاه گراف f−1 برابر G−1 = {(5,1), (4,2), (5,3)} می‌شود.
رابطه f−1 یک تابع است اگر و تنها اگر برای هر y در برد فقط یک آرگومان x مانند f(x) = y وجود داشته باشد، به عبارت دیگر، وارون تابع f یک تابع است اگر و تنها اگر f پوشا و یک‌به‌یک باشد. در این مثال، برای هر x درون X f−1(f(x)) = x و برای هر y درون Y f(f−1(y)) = y است. گاهی اوقات می‌توان یک تابع را تغییر داد و این کار اغلب با جایگذاری دامنه‌ای جدید که زیرمجموعه‌ای از دامنه قبلی باشد صورت می‌گیرد، و همینطور باید تغییرات را در برد و گراف اعمال کرد که در این صورت تابع تغییر داده شده دارای وارونی است که خود یک تابع است.
برای مثال وارون تابع y = sin(x)، یعنی f(x) = arcsin (x)، به صورت y = arcsin (x) تعریف می‌شود اگر و تنها اگر x = sin(y) باشد، و این یک تابع نیست زیرا گراف آن شامل دو زوج مرتب (0, 0) و (0, 2π) است. اما اگر دامنه y = sin(x) را به −π/2 ≤ x ≤ π/2 تغییر دهیم، برای برد داریم −1 ≤ y ≤ 1 و در این صورت وارون تابع مورد نظر یک تابع است، و برای بیان آن از A در حرف اول آن استفاده می‌کنیم، یعنی (f(x) = Arcsin (x.
اما این روش برای همه توابع عملی نیست، زیرا در بعضی موارد پیدا کردن وارون توابع غیرممکن است.
اگر دامنه X تعریف شده باشد، تابع f را می‌توان با جدول‌بندی کردن آرگومان‌های x و جواب آنها در f(x) تعریف کرد.
چیزی که برای تعریف کردن تابع رایج‌تر است استفاده از فرمول و به طور کلی استفاده از الگوریتم است، که در آن نشان داده می‌شود چه عملیاتی باید بر روی xهای دامنه انجام گیرد تا f(x) به دست آید. برای تعریف یک تابع می‌توان از عمل ریاضی که با آرگومان x رابطه‌ای داشته باشد استفاده کرد. البته راه‌های زیاد دیگری برای تعریف یک تابع وجود دارد؛ از جمله استفاده از روش بازگشتی، استفاده از بسط‌های تجزیه و عبارات جبری، حدها، دنباله‌ها، سری‌ها و استفاده از معادلات دیفرانسیل.
در ریاضیات توابع زیادی وجود دارد که نمی‌توانند مفهوم خود را به طور دقیق برسانند. یکی از نتایج اصلی نظریه شمارش این است که توابع زیادی وجود دارند که تعریف می‌شوند اما قابل محاسبه نیستند.
