تعیین دقیق ریشه های معادله درجه 4

فرم کلی معادله درجه چهارم :
[b](1) Ax4 +B x3 + C x2 + D x + E= 0.[/b]
ابتدا ضریب x^4 یعنی A رو تبدیل به 1 میکنیم بنابراین طرفین معادله (1) رو به A تقسیم میکنیم و معادله رو به فرم استاندارد زیر تبدیل میکنیم:
(2) x4 + a x3 + b x2 + c x + d = 0
که: a=B/A ; b=C/A ; c=D/A;d=E/A
*******
قدم بعد حذف توان 3 در معادله هست بنابراین تبدیل زیر را انجام میدهیم :
(3) x=y-b/4
و معادله ای جدید به فرم زیر خواهیم داشت (بر حسب متغیر y):
(4) y4 + e y2 + f y + g = 0
نکته : هدف از ایجاد این معادله اینه که بتونیم معادله درجه 4 فاقد درجه سوم رو به حاصلضرب دو عبارت درجه دوم تبدیل کنیم.
رابطه ضرایب معادله 4 با 2 :
e = b - 3 a2/8
f = c + a3/8 - a b/2
(5) g = d - 3 a4/256 + a2 b/16 - a c/4

بسط زیر را در نظر بگیرید که درجه 4 رو به حاصلضرب دو معادله درجه 2 تقسیم کرده:

(6) ( y4 + e y2 + f y + g = (y2 + h y + j) (y2 - h y + g/j

از بسط سمت راست معادله فوق و برابر قرار دادن ضرایب نتایج زیر بدست میاد:

e = g/j + j - h2
(f = h (g/j - j

بنابراین

g/j + j = e + h2
g/j - j = f/h

اضافه و جمع نمودن معادلات بالا رابطه j , h,g/j رو بخوبی نشان میده
(7) 2/( g/j =(e + h2 + f/h
2/ ( j =( e + h2 - f/h
حاصلضرب روابط (7):
4g=e2 + 2 e h2 + h4 - f2/h2
مرتب سازی:

h6 + 2 e h4 + (e2-4 g) h2 - f2 = 0
که معادله فوق یک معادله درجه سوم بر حسب h2 هست با فرض h2 =z :

(8) z3 + k*z2 + m *z +n= 0
که:
k=2 e
( m= (e2-4 g
(9 ) n= - f2

از حل معادله فوق سه مقدار h2 =z بدست میاد که یکی از اونا رو انتخاب کرده(ترجیحا مقدار مثبت ) و در معادلات (7) جایگزین میکنیم و پارامترهای g/j و j رو بدست میاریم . حالا تمام ضرایب طرف راست معادله (6)معلوم شدند. بنابراین دستگاه معادلات زیر را حل میکنیم :

y2 + h y + j=0 و پس از محاسبه 4 مقدار y با جایگزینی x=y-b/4 مفادیر x بدست میان
y2 - h y + g/j=0

نکته مهم : برای اینکه محاسبات سریعتر انجام بشه در دو دستگاه معادلات فوق مستقیما تبدیل y=x+b/4 رو وارد میکنیم و نتایج زیر رو داریم:
x2 + Fx + G=0
(10) x2 +H x+ I=0 که ضرایب F,G,H,I عبارتند از:

F=a/2 + h ,H=a/2 - h
(11) G= a^2/16 + ah/4 + j , I= a^2/16 - ah/4 + g/j

با جایگذاری مستقیم ضرایب فوق مستقیما دستگاه معادلات (10) رو مستقیما حل میکنیم .
البته روشهای محاسبات عددی هم مبتنی بر روش سعی وخطا، برای حل مساله هم وجو داره اما این روش دقیق و با حدااقل خطا به حساب میاد