فیزیک - اثر کوانتومی هال

اثر هال

يکي از پديده های هال جالب توجه مبحث مغناطيسي است که در سال 1879 به وسيله ادوين هر برت هال کشف شد و اثر هال ناميده شد. هال در آن زمان دانشجوي دانشگاه جانزها پکینز

بود و بعدها به استادی دانشگاه هاروارد رسيد.

اثر هال از حرکت ذرات باردار در دو ميدان توام الکتريکي، مغناطيسي ناشي مي شود. وقتي يک جريان الکتريکي در طول يک رسانا يا نيم رسانای تيغه اي شکل بر قرار باشد در اين رسانا ( يا نيم رسانا ) در ميداني مغناطيسي عمود بر سطع تيعه باشد بر همکنش حامل هاي بار و ميدان مغناطيسي موجب مي شود که يک اختلاف پتانسيل الکتريکي به تدريج در راستاي عمود بر ميدان مغناطيسي، جريان الکتريکي در رسانا يا نيم رسانا به وجود آيد. فرض کنيد که در يک تيغه رسانا يا نيم رسانا به شکل مکعب مستطيل و به سطح مقطع ab، جرياني الکتريکي به شدت I، در راستاي محور x بر قرار باشد.پس از برقراري جريان الکتريکي، حامل Y بار يک سرعت پيشروي Vd پيدا مي کنند که در مورد الکترون 2 در خلاف جهت و در مورد حفره ها در جهت ميدان الکتريکي است. در غياب ميدان مغناطيسي، اختلاف پتانسيل بين نقاط P و Q ديواره هاي جانبي، که در روي يکي از صفحات هم پتانسيل قرار دارند. برابر صفر است. اکنون اگر يک ميدان مغناطيسي B، در جهت محور Z ( عمود برE سطح تيغه)بر این تیغه اعمال شود در نتیجه نیروی لورنتس ناشی از میدان مغناطیسی حامل های بار به قسمت ديواره هاي جانبي منحرف می شوند و در اين ديواره ها انباشته میشوند و در نتيجه يک اختلاف پتانسيل فزاينده: VH بين ديواره هاي جانبي به وجود مي آيد که نتيجه آن توليد يک ميدان الکتريکي E در جهت محور Y است پس حامل های بار تحت تاثیرنیروی حاصل از این میدان الکتریکی اضافی هم قرار می گیرند وقتی دو نیروی ناشی از میدان الکتریکی هال و ميدان مغناطيسي اعمال شد.( که در دوجهت مخالف يکديگرند) مساوي هم شوند حامل های بار ديگر تمايلي به تجمع در ديواره ها نشان نمی دهند و حالت تعادل بر قرار و افزايش اختلاف پتانسيل متوقف مي شود. البته اگر شدت ميدان B افزايش يابد- الکترون هاي بيشتري به طرف ديواره منحرف مي شوند و در نتيجه اختلاف پتانسيل افزايش مي يابد. اين پتانسيل به پتانسيل هال معروف است.

تجربه نشان داده است که در مواقعي که ميدان مغناطيسي خيلي قوي نيست VH با القاي مغناطيسي B و شدت جريان I و عکس ضخامت تيغه متناسب است:

چگالي متوسط جريان حامل ها بار در نمونه

ضريب CH را ثابت هال گويند.

نيروي لورنتس وارد بر هر الکترون با بار e :

ميدان حاصل از تجمع بارها در ديوارها ناشي ازنیروی لورنتس :

نيروي وارد بر حامل بار ناشي از EH :

تجمع بارها در ديواره هاي تا زماني ادامه پيدا مي کند که داشته باشيم:

پس از اين لحظه عمل تجمع يافتن حامل های بار متوقف مي شود و حامل هاي بار چنان حرکت مي کنند که گويي فقط تحت تاثير ميدان الکتريکي اعمال شده هستند پيشروی آن ها در امتداد محور X خواهد بود.

از طرفي چگالي جريان در هر رسانا عبارت است از j=envکه در آن n غلظت الکترون هاي است \

بنابراين به طور نظري براي VH رابطه اي به دست مي آيد که با آنچه از آزمايش حاصل شده بود سازگار است پس ثابت هال عبارت است از:

حدود صد سال پس از کشف اثر کلاسيک هال، کادوس کليتسينک، دردا و پير رفتار عجيبي را در مقاومت هال مشاهده کردند در اين آزمايش کوانتينه، بودن مقاومت هال کشف شد يعني متوجه شدندتغييرات مقاومت هال به صورت پله اي است و مقدار مقاومت مربوط به هر يک از اين پله ها يا سکوها به طوراعجاب انگيزي ثابت است. اين مقدار به جنس ماده مورد آزمايش، شکل هندسي نمونه و ساير عوامل بستگي ندارند و با دقت زياد فقط تابع دو"ثابت بنيادی فيزيک، عدد پلانک h و بار الکتريکي الکترون e است.از همه مهمتر اين که، مقدار مقاومت هال از يک سکوبه سکوي ديگر به صورت تقسيماتي از يک واحد بنيادي کوانتوحي تغيير مي کند:

همزمان با ثابت بودن مقاومت هال در سکوها، مقاومت الکتريکي طولي نمونه نيز به شدت افت می کند

و به مقداري به مراتب کمتر از مقاومت بهترين فلزات معمولي می رسد.

اثر کوانتومي هال تحت شرايطي مشاهده شده است که در مقايسه با شرايط اثر کلاسيک هال غير عادي است. بدين معني که در اين اندازه گيري ها ميدان مغناطيسي بسيار قوي (B>10T) و دمای نزدیک به صفر کلوین(T<4K) مورد نیاز است.نمونه به کار رفته نيز به خودي خود استثنايي است. اولين نمونه به کار رفته، نوع بسيار مرغوب ترانزيستوري به نام ماسفت(MOSFET) بوده است.

(Metal- Oxide- Semiconductor – Field – Effect Transistor) یک

نوع ترانزيستور اثر ميدان که از فلز- اکسيد- نيمرسانا ساخته شده و با کمک يک ميدان الکتريکي مي توان غلظت حاملهای بار را در آن تغيير داد.

اولين نمونه به کار رفته، ماسفت سيلسيوم بود.

اين گونه قطعات نيم رسانا که براي اندازه گيري اثر هال به کار مي روند، مکعب مستطيلي به عرض چند دهم ميليمتر و به طول چند ميليمترند.بدنه يا بستر اين ترانزيستور معمولاً سيلسيوم نوع P است. که يک لايه نازک اکسيد سيلسيوم به ضخامت 300 تا 1500 )آنگستروم)بر سطح آن رشد داده شده است و در اين لايه سوراخهایی

درست مي کنند تا بتوانند سراتصال های چشمه و دررو(درین)را بسازند که به عنوان اتصالهای جریان وپروپهای پتانسیل مورد استفاده قرار می گیرند

آن گاه يک لایه رسانا که به آن گيت ( دريچه ) گفته مي شود از جنس يک فلز و يا سيلسيوم زياد تزريق شده در روی اين لايه اکسيدی مي نشاند. مجموعه فلز- لايه اکسيدي و سيلسيوم يک خازن مسطح موازي تشکيل مي دهند- وقتي ولتاژي به دريچه اعمال نشود جرياني بين چشمه و درروبرقرار نمي شود، زيرا اين دو ناحيه در واقع دواتصال p-n پشت به پشت را تشکيل مي دهند. اعمال يک ولتاژ به دريچه که نسبت به بدنه مثبت باش. حفره ها را از فصل مشترک si-sio2به عقب مي راندو در عوض یک لایه الکترون را به سمت فصل مشترک جلب مي کند.اين لايه الکتروني رااصطلاحاً لايه معکوس مي نامند زيرا در واقع با اعمال ولتاژ به دريچه،قطبيت حامل هاي اکثريت رادر فصل مشترک سيلسيوم معکوس کرده ايم .

لايه معکوس مقاومت کمی دارد و وقتي ولتاژی بين چشمه و درروبرقرار شود، جريان الکتريکي بين اين دو جاري مي شود.

خاصيت مهم ماسفت سيلسيوم اين است که غلظت حامل هاي بار لايه معکوس آن با ولتاژ دريچه تناسب مستقيم دارد. پس غلظت حامل هاي بار موجود در فصل مشترک si-sio2و در نتيجه شدت جريان بين چشم و در رو رامي توان به‌ آساني با تغيير ولتاژ دريچه تغيير داد.لايه معکوس بسيار نازک و حداکثر ضخامت آن به 80(آنگستروم) هم نمي رسد و در نتيجه حامل هاي بار در يک ناحيه بسيار باريک در سطح مشترک بين دو ماده محصور شده اند و فقط مي توانند در اين لايه صفحه (x-y) آزادانه حرکت کنند ولي براي حرکت در امتداد عمود بر فصل مشترک ( امتدادzها)آزادي عمل ندارند.

پس الکترون ها درچاه باريکي به ضخامت حداکثر 80(آنگستروم) محصورند و در نتيجه از ديدگاه مکانيک کوانتومي، درست مثل، ذره داخل جعبه به فصل مشترک دو ماده وابسته اند و حرکتشان، بويژه در دماهاي خيلي کم عمدتاً دو بعدي است.

به اين سيستم الکتروني گاز الکتروني دو بعدي مي گويند.

اگر بتوان لايه معکوس تشکيل داد، رفتار الکترون هايي که در چاه پتانسيل باريک اين لايه محبوس مي شوند رفتاری کلاسيک نخواهد بود و انرژيشان کونتومي است.

امروزه از ديدگاه مکانيک کوانتومي ثابت شده است که در گاز الکتروني دو بعدي،حرکت الکترون ها امروزه در جهت عمود بر فصل مشترک به صورت زير – باندهاي الکتريکي گسسته …, E2,E1,E0 کوانتومي است. در حالي که حرکت الکترون ها، در سطح موازي با فصل مشترک si-sio2 محدودیتی ندارد، زيرا در صفحه لايه معکوس يک دسته حالت هاي الکتروني تقريباً پيوسته در اختيار الکترونها است.

اکنون برای مشاهده؛ اثر هال يک ميدان مغناطيسي قوي عمود بر اين لايه دو بعدي الکتروني اعمال مي شود.

روابط بين مقاومت هال، RH ( يا مقاومت عرضيRxy )،مقاومت طولي Rhttp://www.pnu-club.com/imported/2009/03/6.gif يا

Rxx) اين نمونه دوبعدی با مقاومت ويژه هال pxy و مقاومت ويژه طولي pxx

آن به صورت زير است.

در دما هاي نسبتاً زياد به اين لايه هاي الکتروني دو بعدي، اثر کلاسيک هال( اما نوع دو بعدي آن ) از خو دبروز می دهند. بدين معني که مقاومت هال با ميدان مغناطيسي به طور خطي تغيير مي کند و تغييرات آن بر حسب چگالي حامل های بار ns يک منحني همواره نزولي خواهد بود.

در هر حال چون چگالي حامل ها نسبتاً کم است مقاومت هال بسيار بزرگ خواهد بود. همچنين بستگي مقاومت ويژه طولي pxx به ميدان مغناطیسی ضعيف است.مقدار مقاومت ويژه طولی pxx عملاً معادل مقدار مقاومت نمونه در حالت B=0 خواهد بود.

ولي در دماهاي به اندازه کافي کم تقریبا (2k ) و ميدان های مغناطيسي به اندازه کافي شديد تقریبا (13 T) اوضاع بکلي فرق مي کند و رفتار گاز الکتروني دو بعدي با تغيير چگالي حامل ها( که با ولتاژ دريچه متناسب است) و با اندازه ميدان مغناطيسي کاملاً دگرگون مي شود.

در اين منحني ها، علاوه بر اينکه RH سکوها با دقت زيادي به دو "ثابت بنیادی فیزیک " يعني ثابت پلانک،h، و بار الکتريي، e،بستگي دارد،ابدا به جنس نمونه و نوع ترکيب آن، نحوه ساخت و پرداخت و شکل هندسي و ميزان يکنواختي آن و ساير عوامل خارجي و حتي ميزان يکنواختي ميدان مغناطيسي ، بستگي ندارد و اين خاصيتي بي نظیر است.

بر خلاف مقاومت معمولي هال که مثل همه مقاومت ها به خواص مذکور وابسته است.

با پايين رفتن تدريجي دما، سکوها نيز صاف و صافتر مي شوند.

Rxاين نواحی نيز با کاهش دما کاهش مي يابد و قله هاي منحني باريکتر مي شوند.

واضع است که در دماي T=0 در شرايط سکوها، هر جريان الکتريکي که در نمونه برقرار باشد بدون هيچگونه اتلافي از آن عبور خواهد کرد. در نتيجه يک گاز الکتروني دو بعدي واقع در يک ميدان مغناطيسي قوي مناسب ،بدون مقاومت است و نمايشگر يک رساناي الکتريکي ايده ال مي باشد.

حال در سوال پيش مي آيد:

علت وجودي سکوهاي کوانتومي چيست؟
گفتيم مقاومت هال برای يک سيستم دو بعدي عبارت است از:

گفتيم که ساختمان الکتروني لايه معکوس به صورت زير باندهاي گسسته است (کوانتيزاسیون ابعادي )

در يک ميدان مغناطيسي قوي عمود بر لايه معکوس ويژگي هاي ديگري در اين سيستم الکتروني بروز مي کند.به اين معني که حرکت الکترون ها در صفحه لايه معکوس را نيز مي توان کاملاً کوانتيزه کرد. ( کوانتيزاسيون مولدي ) و به صورت ترازهاي گسسته اي با انرژي

که اصطلاحاً به آن ها ترازهاي لاندائو مي گويند ،که در آن عبارت

را فرکانس سيکلوترونی و m* را جرم موثر الکترون در فضاي دو بعدي مي نامند.

توجيه اين کوانتيز اسيون ترازهاي انرژي به تعبير نيم کلاسيک چنين است: الکترون هاي متحرک که فقط در يک ميدان مغناطيسي قرار مي گيرند،مسیر دايره اي شکل را طي مي کنند که شعاع آن با عکس B متناسب است. پس همين طور که شدت B افزايش مي يابد، شعاع مدار کلاسيک سيکلوترونی الکترون کاهش مي يابد. در ميدان هاي شديد که شعاع مدار به حدود 100(آنگستروم) مي رسد، اثرات کوانتومي اهميت پيدا مي کنند،زيرا محيط مدار با طول موج دو بروی الکترون قابل مقايسه مي شود.چون اين محيط بايد مضرب صحيحي از طول موج باشد، الکترون نمي تواند هر مداري را اختيار کند .

يعني براي حرکت الکترون های اين سيستم دو بعدي به موازات لايه معکوس، فقط يک دسته مدارهاي گسسته در اختيار الکترون ها قرار دارد. در نتيجه اين الکترون ها فقط مي توانند حالتهاي گسسته اي با انرژي مشخص را اشغال کنند.

در اينجا با دو موضوع روبرو هستيم.

الف) تعداد خيلي زياد الکترون ها

ب) اصل طرد پائولی

که عملاً همپوشاني مدارهاي سيکلوترونی را مجاز نمي شود.در نتيجه تعداد الکترون هايي که مي توانند در واحد سطح هر که از تراز لاندائو را اشغال مي کنند محدود مي کند. اين تعداد را که برابر است با تعداد مدارهاي سيکلوترونی موجود در واحد سطح دژنرسانس يا چندگانگي تراز لا ندائو مي نامند،و با رابطه زير بيان مي شود:

با افزايش B ،NL افزايش مي يابد.زيرا با افزايش B ، شعاع مدار سيکلوتروني کاهش مي يابد؛ پس تعداد بيشتري مدار نا همپوشان را مي توان در هر واحد سطح جا داد.

در دماهاي خيلي کم، الکترون ها ترازهاي مجازيي را اشغال مي کنند که انرژيشان کمترين مقدار ممکن است. پس در سيستمي متشکل از الکترون هاي دو بعدي با تعداد ns الکترون در واحد سطح تعداد Ne الکترون، پايين ترين تراز لا ندائو را اشغال مي کند و انرژي هر يک از آن ها خواهد بود . همین تعداد نيز تراز بعدي را که انرژيش است پر خواهد کرد. به همين ترتيب تا آخر معمولاً آخرين تراز کاملاً پر نمي شود و قسمتي از آن انتقال نشده باقی

می ماندزيرا معمولاً ns مضرب صحيح از Ne نيست.

نکته مهم اين است که در موقع توزيع الکترون ها ميان تراز هاي مختلف، هر وقت که يک يا چند تراز لا ندائو به طور کامل پر شود يعني داشته باشيم:

سوال 2: علت صفر

شدن مقاومت طولي چيست؟

هر الکترون که با يک مرکز ناکاملي بلور روبرو شود،پراکنده شده و از مدارش ( حالت اولیه) به مدار جديدي ( حالت نهايي ) منتقل مي شود.چنين پراکندگي فقط موقعي مي تواند روی دهد که مدارهاي خالي در دسترس الکترون پراکنده شده قرار داشته باشد.

پس پراکندگي الکترون ها محدود به تعداد مدار هاي خالي موجود در يک تراز لا ندائو است وقتي تمام مدارهاي موجود در تراز های اشغال شده لا ندائو ، کاملاً پروتمام ترازهاي بالاتر لاندائو به طور کامل، خالي باشند پراکندگي نمي تواند روی دهد.

در نتيجه به از بين رفتن مقاومت الکتريکي طولي نمونه مي انجامد.

:104:
گردآونده:طه-Borna66