بررسی اجمالی انتگرال دو گانه و سه گانه در ریاضیات مهندسی

[Borna66]

انتگرال دو گانه

همان‌طور که تعریف مساحت زیر منحنی انگیزه تعریف انتگرال (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A 7%D9%84) توابع با یک متغیر است، مفهوم حجم زیر یک سطح نیز ما را به تعریف انتگرال توابع با دو متغیر ، به نام انتگرال دو گانه ، رهنمون می کند. انتگرال دو گانه بسیار شبیه انتگرال می‌باشد، با این تفاوت که در این نوع انتگرال قلمرو در صفحه دو بعدی http://pnu-club.com/imported/2009/12/41.png واقع شده است.

انتگرال دو گانه روی نواحی مستطیلی

فرض می کنیم http://pnu-club.com/imported/2009/12/42.png بر ناحیه ی مستطیلی http://pnu-club.com/imported/2009/12/43.png زیر تعریف شود:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/44.png

و فرض می کنیم http://pnu-club.com/imported/2009/12/43.png با شبکه ای از خطوط موازی با محور های http://pnu-club.com/imported/2009/12/45.png و http://pnu-club.com/imported/2009/12/46.png پوشیده شده باشد. مساحت هر کدام از این قطعه های کوچک برابر است با : http://pnu-club.com/imported/2009/12/47.png

این قطعات را شماره گذاری می کنیم و در هر قطعه ای مانند http://pnu-club.com/imported/2009/12/48.png نقطه ی http://pnu-club.com/imported/2009/12/49.png را بر می گزینیم و مجموع زیر را تشکیل می دهیم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/50.png

اگر http://pnu-club.com/imported/2009/12/51.png در سراسر http://pnu-club.com/imported/2009/12/43.png پیوسته یاشد، با کوچک کردن خانه های شبکه یعنی میل دادن http://pnu-club.com/imported/2009/12/52.png و http://pnu-club.com/imported/2009/12/53.png به صفر،مجموع مشخص شده در رابطه ی فوق به حدی میل می کند که آن را انتگرال دوگانه ی http://pnu-club.com/imported/2009/12/51.png روی http://pnu-club.com/imported/2009/12/43.png می نامیم.
نماد انتگرال دوگانه عبارت است از :
http://pnu-club.com/imported/2009/12/54.png

یا
http://pnu-club.com/imported/2009/12/55.png

بنابر این:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/56.png


قضیه فوبینی (صورت اول):

اگرhttp://pnu-club.com/imported/2009/12/42.png بر ناحیه مستطیلی http://pnu-club.com/imported/2009/12/57.png پیوسته باشد، داریم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/58.png


قضیه فوبینی (صورت قوی تر):

فرض می کنیم http://pnu-club.com/imported/2009/12/42.png روی ناحیه ای چون http://pnu-club.com/imported/2009/12/43.png پیوسته باشد.


اگرتعریفhttp://pnu-club.com/imported/2009/12/43.png عبارت باشد از : http://pnu-club.com/imported/2009/12/59.png، http://pnu-club.com/imported/2009/12/60.png با این شرط که http://pnu-club.com/imported/2009/12/61.png و http://pnu-club.com/imported/2009/12/62.png بر http://pnu-club.com/imported/2009/12/63.png پیوسته باشد، آنگاه :

http://pnu-club.com/imported/2009/12/64.png



اگرتعریفhttp://pnu-club.com/imported/2009/12/43.png عبارت باشد از : http://pnu-club.com/imported/2009/12/65.png، http://pnu-club.com/imported/2009/12/66.png با این شرط که http://pnu-club.com/imported/2009/12/67.png و http://pnu-club.com/imported/2009/12/68.png بر http://pnu-club.com/imported/2009/12/69.png پیوسته باشد، آنگاه :

http://pnu-club.com/imported/2009/12/70.png


دامنه در انتگرال دو گانه

دو دامنه در انتگرال دو گانه وجود دارد:


دامنه منظم: دامنه‌ای است که هر خط موازی محورهای مختصات محیط آن را حداکثر در دو نقطه قطع کند. مانند مربع ، مثلث (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%A A) ، دایره (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AF%D8%A7%DB%8C%D8%B1%D9%87). در این نوع دامنه تعویض حدود انتگرال نسبتا ساده است.
دامنه غیرمنظم: دامنه‌ای که هر خط موازی محورهای مختصات آن را در بیش از دو نقطه قطع کند مانند سطح بین دو دایره یا دو مربع. در این نوع دامنه ها تعویض حدود باید با احتیاط صورت گیرد.


برخی از انواع دامنه‌های منظم در انتگرال دو گانه



http://pnu-club.com/imported/2009/12/71.png: این دامنه به شکل مربع یا مستطیلی است که اضلاع آن موازی محورهای مختصات است.
دامنه‌های مثلثی مانند: http://pnu-club.com/imported/2009/12/72.png و در صورت تعویض انتگرال گیری می‌توان آن را به صورت http://pnu-club.com/imported/2009/12/73.png نوشت.
دامنه‌های دایره‌ای؛ دامنه‌های دایره‌ای در دستگاه دکارتی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AE%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%A A+%D8%AF%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D8%AA%DB%8C) و قطبی (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%AE%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%A A+%D9%82%D8%B7%D8%A8%DB%8C) به صورت زیر نوشته می‌شوند:

دایره‌ای که مرکز آن در مبدا مختصات و شعاع آن http://pnu-club.com/imported/2009/12/74.png باشد.




دکارتی: http://pnu-club.com/imported/2009/12/75.png
قطبی: http://pnu-club.com/imported/2009/12/76.png


تعویض انتگرال ها ی دوگانه



مانند مشتقات جزئی، انتگرال نیز دارای ترتیب است. وقتی انتگرال به صورت http://pnu-club.com/imported/2009/12/77.png باشد، یعنی باید ابتدا http://pnu-club.com/imported/2009/12/46.png را ثابت فرض کرده و نسبت به متغیر http://pnu-club.com/imported/2009/12/45.png انتگرال گرفت و در مرحله دوم نسبت به http://pnu-club.com/imported/2009/12/46.png انتگرال بگیریم.
چنانچه حدود به صورت http://pnu-club.com/imported/2009/12/78.png و http://pnu-club.com/imported/2009/12/59.png باشد می‌توانیم در صورت لزوم http://pnu-club.com/imported/2009/12/45.png را بر حسب تابعی از http://pnu-club.com/imported/2009/12/46.png نوشته و حدود http://pnu-club.com/imported/2009/12/46.png را از روی شکل دامنه بدست آورده و در انتگرال قرار ‌دهیم یا:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/79.png و http://pnu-club.com/imported/2009/12/65.png

که در این صورت می‌توان نوشت:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/80.png

ویژگی‌های انتگرال دوگانه



اگر ناحیه بسته و محدود http://pnu-club.com/imported/2009/12/43.png اجتماع دو ناحیه بسته و محدود http://pnu-club.com/imported/2009/12/81.png باشد، به طوری که تنها در نقاط مرزی مشترک باشند، آنگاه انتگرال دوگانه تابع http://pnu-club.com/imported/2009/12/82.png در ناحیه http://pnu-club.com/imported/2009/12/43.png برابر است با انتگرال دوگانه تابع http://pnu-club.com/imported/2009/12/51.png در http://pnu-club.com/imported/2009/12/83.png بعلاوه انتگرال دوگانه تابع http://pnu-club.com/imported/2009/12/51.png در http://pnu-club.com/imported/2009/12/84.png.




اگر http://pnu-club.com/imported/2009/12/82.png و http://pnu-club.com/imported/2009/12/85.png روی ناحیه بسته و محدود http://pnu-club.com/imported/2009/12/43.png پیوسته باشند آنگاه انتگرال دوگانه مجموع این دو تابع برابر است با مجموع انتگرالهای هر کدام از این توابع.




اگر انتگرال دو گانه http://pnu-club.com/imported/2009/12/82.png روی http://pnu-club.com/imported/2009/12/43.png وجود داشته و http://pnu-club.com/imported/2009/12/86.png عدد حقیقی باشد. آنگاه انتگرال دوگانه http://pnu-club.com/imported/2009/12/87.png برابر است با حاصلضرب http://pnu-club.com/imported/2009/12/86.png در انتگرال دوگانه http://pnu-club.com/imported/2009/12/88.png.

انتگرال دوگانه درمختصات قطبی

گاهی محاسبه یک انتگرال دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آن درمختصات دکارتی است.
فرض کنیم ناحیه http://pnu-club.com/imported/2009/12/43.png در مختصات قطبی، بین دو نمودار هموار http://pnu-club.com/imported/2009/12/89.png و http://pnu-club.com/imported/2009/12/90.png محدود شده باشد که در آن http://pnu-club.com/imported/2009/12/91.png باشد در این صورت انتگرال دوگانه را می‌توان توسط انتگرال مکرر زیر نشان داد:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/92.png


تبدیل انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی به انتگرال دوگانه در مختصات قطبی

برای تبدیل یک انتگرال مکرر در مختصات دکارتی به یک انتگرال مکرر در مختصات قطبی، به جای http://pnu-club.com/imported/2009/12/45.png،http://pnu-club.com/imported/2009/12/46.png وhttp://pnu-club.com/imported/2009/12/93.png (یا http://pnu-club.com/imported/2009/12/94.png) به ترتیب http://pnu-club.com/imported/2009/12/95.png، http://pnu-club.com/imported/2009/12/96.png وhttp://pnu-club.com/imported/2009/12/97.png (یا http://pnu-club.com/imported/2009/12/98.png) قرار داده و حدود انتگرال گیری را به مختصات قطبی تبدیل می‌کنیم و در نهایت عملیات انتگرال گیری را بر حسب پارامتر های http://pnu-club.com/imported/2009/12/74.png و http://pnu-club.com/imported/2009/12/99.png انجام می دهیم.
انتگرال سه‌گانه

انتگرال سه‌گانه در مورد توابع سه متغیره ی حقیقی تعریف می‌شود. این تعریف مشابه با تعریف انتگرال دوگانه توابع دو متغیره است. در حالت کلی http://pnu-club.com/imported/2009/12/59.png، http://pnu-club.com/imported/2009/12/100.png و http://pnu-club.com/imported/2009/12/101.png است.
در دستگاه ها ی مختصات مختلف، انتگرال سه ‌گانه به صورت زیر نوشته می‌شود:


دستگاه مختصات دکارتی: http://pnu-club.com/imported/2009/12/102.png
دستگاه مختصات استوانه‌ای: همان طور که محاسبه برخی از انتگرال های دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آنها در مختصات دکارتی است، برخی از انتگرال های سه‌گانه نیز در دستگاه غیر دکارتی ساده‌تر محاسبه می‌شوند. یکی از این دستگاههای مختصات، مختصات استوانه‌ای است.

فرض می‌کنیم http://pnu-club.com/imported/2009/12/103.png مختصات دکارتی نقطه ی P در فضا باشد. اگر http://pnu-club.com/imported/2009/12/104.png مختصات قطبی نقطه ی http://pnu-club.com/imported/2009/12/105.png باشد، آنگاه http://pnu-club.com/imported/2009/12/106.png را مختصات استوانه‌ی http://pnu-club.com/imported/2009/12/107.png می‌نامیم.
رابطه بین مختصات دکارتی، استوانه‌ای و کروی

http://pnu-club.com/imported/2009/12/108.png

http://pnu-club.com/imported/2009/12/109.png

http://pnu-club.com/imported/2009/12/110.png

http://pnu-club.com/imported/2009/12/111.png