مرکز جرم

[Borna66]

مرکز جرم نقطه‌ای است که به نمایندگی از کل جسم یا کل ذرات یک سیستم می‌‌تواند بیانگر حرکت سیستم یا جسم باشد. به بیان دیگر ، فرض می‌‌شود که کل نیروهای وارد بر سیستم بر مرکز جرم اعمال می‌‌شود.


دید کلی
فرض کنید دو جعبه میخ به ما داده شده است که در یکی از آنها تعداد n میخ با طول http://pnu-club.com/imported/2009/04/208.png و در جعبه دیگر تعداد http://pnu-club.com/imported/2009/04/209.png میخ با طول http://pnu-club.com/imported/2009/04/210.png وجود دارد. اگر چنانچه http://pnu-club.com/imported/2009/04/211.png باشد، میانگین طول میخها برابر با نصف مجموع دو طول http://pnu-club.com/imported/2009/04/208.png و http://pnu-club.com/imported/2009/04/210.png خواهد بود، اما اگر http://pnu-club.com/imported/2009/04/212.png باشد، در این صورت تعداد مربوط به یک نوع از میخها از تعداد نوع دیگر بیشتر خواهد بود. بنابراین برای تعیین طول میانگین میخها باید یک ضریب وزنی برای هر طول در نظر بگیریم. به عنوان مثال ، ضریب میانگین وزنی برای میخهای نوع اول برابر http://pnu-club.com/imported/2009/04/213.png و برای میخهای نوع دوم http://pnu-club.com/imported/2009/04/214.png http://pnu-club.com/imported/2009/04/214.png خواهد بود. به این ترتیب ، اگر میانگین طول میخها را با http://pnu-club.com/imported/2009/04/215.png نشان دهیم، خواهیم داشت:

http://pnu-club.com/imported/2009/04/216.png
مرکز جرم چیزی شبیه به کمیت فوق است.





رابطه مرکز جرم
سیستمی ‌در نظر بگیرید که از دو ذره با جرمهای http://pnu-club.com/imported/2009/04/217.png و http://pnu-club.com/imported/2009/04/218.png تشکیل شده است. اگر مختصات این دو ذره را به ترتیب با (x1 , y1 , z1) و (x2 , y2 , z2) نشان دهیم، در این صورت مختصات مرکز جرم از روابط زیر محاسبه می‌‌شود:

http://pnu-club.com/imported/2009/04/219.png
http://pnu-club.com/imported/2009/04/220.png
http://pnu-club.com/imported/2009/04/221.png

در رابطه فوق مختصات مرکز جرم به صورت (xc.m , yc.m , zc.m) است.
رابطه مرکز جرم در یک جسم صلب
در مورد یک جسم صلب که تقریبا حالت پیوسته وجود دارد، یعنی می‌‌توان چنین تصور کرد که جسم صلب از تعداد بینهایت ذره تشکیل شده است، علامت (+) در رابطه قبلی به انتگرال تبدیل می‌شود و بسته به اینکه جسم به صورت یک سطح با ضخامت ناچیز باشد (توزیع سطحی جرم) و یا به صورت یک جسم با حجم معین (توزیع حجمی ‌جرم) انتگرال سطحی یا حجمی ‌خواهیم داشت. بطور کلی می‌‌توان گفت که در بررسی حرکت جسم صلب اولین و شاید اصلی‌ترین کاری که انجام می‌‌گیرد، تعیین موقعیت مرکز جرم است. چون بعد از تعیین موقعیت مرکز جرم ، شتاب و سرعت آن به راحتی قابل محاسبه است.
مشخصات مرکز جرم
معادله حرکت سیستم ذرات
هرگاه به یک سیستم تعداد زیادی نیرو (به عنوان مثال n نیرو) وارد شود، در این صورت حاصل‌ضرب جرم کل گروهی از ذرات در شتاب مرکز جرم آنها ، برابر است با حاصل‌جمع برداری تمام نیروهای وارد بر آنها. به عبارت دیگر داریم:


http://pnu-club.com/imported/2009/04/222.png

در عبارت فوق http://pnu-club.com/imported/2009/04/223.png شتاب مرکز جرم و M برابر مجموع جرم تمام ذرات سیستم (و یا در مورد یک جسم صلب برابر با جرم کل جسم) می‌‌باشد.





شتاب مرکز جرم
مرکز جرم یک سیستم و یا یک دستگاه ذرات طوری حرکت می‌‌کند که گویی تمام جرم آن دستگاه در آن نقطه متمرکز شده است و تمام نیروهای خارجی بر آن نقطه وارد می‌‌شوند:

http://pnu-club.com/imported/2009/04/224.png




در رابطه فوق http://pnu-club.com/imported/2009/04/225.png نمایشگر برایند نیروهای خارجی وارد بر سیستم است.
تکانه کل یک سیستم ذرات
تکانه یا اندازه حرکت خطی کل هر دستگاه یا سیستم ذرات ، با حاصل‌ضرب جرم کل دستگاه (یا مجموع جرم ذرات سیستم) در سرعت مرکز جرم آن ، برابر است.



دانشنامه رشد