###مساله هاي جالب رياضي###

[Borna66]

- سکه های تقلبی

صورت مساله: 12 سکه داریم که یکی از آنها تقلبی است(معلوم نیست سنگین تر از بقیه است یا سبکتر) میخواهیم با سه بار وزن کردن اون سکه تقلبی رو پیدا کنیم.

و اما راه حل:

12 سکه را به 3 دسته 4 تایی تقسیم می کنیم و با انتخاب 2 دسته تا از آنها توزین اول را انجام می دهیم 2 حالت پیش می آید:

الف)2 دسته برابرند: پس دسته باقی مانده حاوی سکه تقلبی است. از بین 4 سکه این دسته 2 تا را انتخاب و توزین دوم را انجام می دهیم. اگر برابر بودند سکه تقلبی در بین 2 تای دیگر است، کافی است که یکی از آنها را با یک سکه معمولی بسنجیم(توزین سوم) که سکه تقلبی معلوم می شود. اگر برابرنبودند سکه تقلبی در بین همین 2 تا است، باز کافی است که یکی از آنها را با یک سکه معمولی بسنجیم(توزین سوم) که سکه تقلبی معلوم می شود.

ب) 2 دسته نا برابرند: یکی از 2 دسته حاوی سکه تقلبی است و مساله قدری سخت تراز حالت الف می شود . با خارج کردن 3 سکه از یک دسته و جابجایی 2 سکه از دسته دیگر به این دسته و افزودن 1 سکه معمولی به دسته دیگر توزین دوم را بین 2 دسته 3 تایی ایجاد شده انجام می دهیم .3 حالت پیش می آید:

ب-1) دو دسته برابرند
پس سکه تقلبی در بین 3 تای خارج شده است. با توجه به اینکه میدانیم از کدام دسته این 3 تا برداشته شده اند نوع نابرابری ان دسته در توزین اول سبکتر یا سنگینتر بودن سکه را معلوم می کند پس با توزین سوم سکه تقلبی بین این 3 سکه معلوم می شود. یعنی 2 تارا با هم می سنجیم اگر برابر بودند سومی تقلبی است واگرنابرابربودند همانی که نوع نابرابری را داشته باشد تقلبی است.

ب-2) دو دسته نابرابری خلاف توزین اول دارند پس سکه تقلبی بین 2 سکه جابجا شده است که با توزین سوم معلوم میشود.

ب-3) دو دسته نابرابری مشابه توزین اول دارند. پس سکه های خارج شده وسکه های جابجا شده (*) سکه های معمولی هستند و سکه تقلبی بین آنهایی است که جابجا نشده اند. در کل از 8 سکه مشکوک 5 تا کنار میرود و 3 سکه مشکوک باقی میماند. از دسته ای که 2 سکه دارد یکی را خارج می کنیم و1 سکه را به دسته دیگر منتقل می کنیم و در سمت دیگر 2 سکه معمولی می گذاریم توزین سوم را بین این 4 سکه انجام می دهیم .2 حالت پیش می آید:

ب-3-1) دو دسته برابرند پس سکه تقلبی سکه خارج شده است .
ب-3-2) دو دسته نابرابری خلاف توزین اول دارند پس سکه جابجا شده همان سکه تقلبی است.
ب-3-3) دو دسته نابرابری مشابه توزین اول دارند. پس سکه های خارج شده وجابجا شده سکه های معمولی هستند و سکه غیر این دو تقلبی است.

- آمارگيری

یه آمار گیر میره در یه خونه ای و راجع به خودش و بچه هاش سوال میکنه.

طرف میگه: "برای سن بچه هام یه معما میگم باید حلش کنی تا سنشون رو پیدا کنی. من سه پسر دارم که حاصل ضرب سن اونا میشه 36 و حاصل جمع سنشون 2 تا از شماره پلاک همسایه سمت راستی کمتره".

آمار گیره یه خورده فکر میکنه و میگه: "با این اطلاعات نمیتونم حلش کنم میشه یه راهنمایی بکنین".

صابخونه میگه: "پسر بزرگترم حلوا شکری عقاب خیلی دوست داره!!!" و آمارگیره مساله رو حل میکنه.

حالا شما میتونین بگین سن بچه ها به ترتیب چند بوده؟

اگه اعدادی که حاصل ضربشون میشه 36 رو بنویسین میشه این لیست:
1 1 36 -> که حاصل جمعشون میشه 38
1 2 18 -> 21
1 3 12 -> 16
1 4 9 -> 14
1 6 6 -> 13 *
2 2 9 -> 13 *
2 3 6 -> 11
3 3 4 -> 10

آمارگیر پلاک خونه همسایه رو میدیده ولی گفته با این اطلاعات نمیتونه حلش کنه. پس حتما ابهامی تو قضیه بوده و این ابهام تنها از دو سری 1 6 6 و 2 2 9 ناشی میشه که جمع هر دو 13 میشه. حالا از این که صابخونه گفته "پسر بزرگترم" میتونیم نتیجه بگیریم که از بین پسراش یه پسری باید سنش از همه بیشتر باشه و یعنی دوقلو نداشته باشه. پس جواب میشه 2 2 9. به جای حلوا شکری عقاب هم هر چیز دیگه ای میتونه باشه.

- احتمالات

- اگه يه خانواده ای پسر داشته باشن چقدر احتمال داره فرزند ديگه شون دختر باشه؟

اين مساله اگه نتونين خوب استدلال کنين به يه پارادوکس شبيه ميشه. از يه طرف ميتونين بگين احتمال پسر و دختر شدن ۵۰ درصده در نتيجه پسر بودن يه فرزند ربطی به جنسيت فرزند ديگه نداره و اين دو پيشامد کاملا مستقلند و نتيجه بگيرين که جواب ميشه ۵۰ درصد.

از طرف ديگه ميتونين برای دو فرزند چهار حالت رو متصور بشين (پسر-پسر)، (پسر-دختر)، (دختر-پسر) و (دختر-دختر) حالتی که يکی از فرزندان پسر باشه و يکی دختر ميشه دو حالت از چهار حالت در نتيجه با اين استدلال، جواب ميشه ۵۰ درصد.

اما هر دو اينها غلطه. شما در اينجا به يه احتمال شرطی روبرو هستين. احتمال دختر بودن يکی از فرزندان به شرط اينکه فرزند ديگه پسر باشه. از چهار حالتی که در بالا گفته شد حالت (دختر-دختر) حذف ميشه چون با شرط پسر بودن يک فرزند جور در نمياد. ميمونه ۳ حالت و از اين سه حالت دو تاش حالت مورد نظر ماست. در نتيجه احتمال دختر بودن فرزند ديگه ميشه دو سوم.

مساله ي انيشتن

آیا شما در زمره دو درصد افراد باهوش در دنیا هستید؟ پس مساله زیر را حل کنید و دریابید در میانه افراده باهوش جهان قرار دارید یا خیر! هیچگونه کلک و حقه ای در این مساله وجود ندارد، و تنها منطق محض می تواند شما را به جواب برساند. (موفق باشید)

۱) در خیابانی، پنج خانه در پنج رنگ متفاوت وجود دارد.
۲) در هر یک از این خانه ها یک نفر با ملیتی متفاوت از دیگران زندگی می کند.
۳) این پنج صاحبخانه هر کدام نوشیدنی متفاوت می نوشند، سیگار متفاوت می کشند و حیوان خانگی متفاوت نگهداری می کنند. سئوال: کدامیک از آنها در خانه، ماهی نگه می دارد؟
راهنمایی:
۱) کبوتر در خانه قرمز زندگی می کند.
۲) مرد سوئدی، یک سگ دارد.
۳) مرد دانمارکی چای می نوشد.
۴) خانه سبز رنگ در سمت چپ خانه سفید قرار دارد.
۵) صاحبخانه خانه سبز، قهوه می نوشد.
۶) شخصی که سیگار Pall Mall می کشد پرنده پرورش می دهد.
۷) صاحب خانه زرد، سیگار Dunhill می کشد.
۸) مردی که در خانه وسطی زندگی میکند، شیر می نوشد.
۹) مرد نروژی، در اولین خانه زندگی می کند.
۱۰) مردی که سیگار Blends می کشد در کنار مردی که گربه نگه می دارد زندگی می کند.
۱۱) مردی که اسب نگهداری می کند، کنار مردی که سیگار Dunhill می کشد زندگی می کند.
۱۲) مردی که سیگار Blue Master می کشد، آبجو می نوشد.

۱۳) مرد آلمانی سیگار Prince می کشد.
۱۴) مرد نروژی کنار خانه آبی زندگی می کند.
۱۵) مردی که سیگار Blends می کشد همسایه ای دارد که آب می نوشد.

آلبرت انیشتن این معما را در قرن نوزدهم میلادی نوشت، به گفته وی ۹۸% از مردم جهان نمی توانند این معما را حل کنند! شماچطور؟؟؟

منبع مساله: وبلاگ روبوتيک

حتماً بايد چپ به راست بگذاريد خونه ها رو يعني 5-4-3-2-1

راه حل:

۹ - خونه ي ۱ مال نروژيه هست.
۱۴ - تنها همسايه ي نروژيه خونه ي شماره ي ۲ هست كه اون هم آبيه.
۸ - كسي كه تو خونه ي ۳ زندگي ميكنه شير دوست داره.
۱ - خونه ي انگليسيه كه قرمزه بايد ۳ يا ۴ يا ۵ باشه. / ۴ - خونه ي سبز بايد ۳ يا ۴ باشه.
بنا بر اين ترتيب رنگها مي تواند يكي از دو حالت زير باشد:

قرمز، سفيد، سبز،‌ آبي، زرد
سفيد، سبز، قرمز، آبي، زرد

پس خونه ي نروژيه زرد هست

۵ - خونه ي سبز قهوه دوست داره، ولي خونه ي ۳ طبق بند ۸ شير دوست داره. پس خونه ي ۴ سبز هست كه قهوه هم دوست داره و خونه ي ۵ سفيد و خونه ي ۳ هم قرمز كه انگليسيه.

۷ - نروژيه (خونه ي ۱) دان هيل مي كشه.
۱۱ - تنها همسايه ي نروژه كه خونه ي ۲ باشه اسب نگه ميداره.

تا اينجا داريم:

5 - 4 - 3 - 2 - 1
سفيد - سبز - قرمز - آبي - زرد
ـــــــــ - ـــــــ - انگليسي - ـــــــــ - نروژي
ـــــــــ - قهوه - شير - ــــــــ - ــــــــ
ــــــــ - ــــــــ - ــــــــ - ــــــــ - دان هيل
ــــــــ - ــــــــ - ــــــــ - اسب - ــــــــــ

۲ - سوئديه كه سگ هم نگهداري مي كنه بايد توي خونه ي ۴ يا ۵ باشه.
۳ - دانماركيه كه چاي دوست داره بايد توي خونه ي ۲ يا ۵ باشه.
۱۳ - آلمانيه كه سيگار پرنس مي كشه بايد توي خونه ي ۲ يا ۴ يا ۵ باشه.


حالا يك فرض را در نظر مي گيريم:

فرض كنيم آلمانيه توي خونه ي ۲ باشه، پس دانماركيه توي خونه ي ۵ هست و سوئديه تو خونه ي ۴ هست. طبق بند ۱۲ كسي كه بلو مستر مي كشه و آبجو دوست داره مي تونه ۲ يا ۵ باشه؛ ولي طبق فرضي كه كرديم، آلمانيه كه پرنس مي كشه توي خونه ي ۲ هست و دانماركيه كه توي خونه ي ۵ هست هم چاي دوست داره!!!

پس فرضي كه كرديم غلط بود!!!

حالا يه فرض ديگه

فرض كنيم آلمانيه توي خونه ي ۴ باشه. پس سوئديه توي خونه ي ۵ هست و دانماركيه توي خونه ي ۲

با چيزهايي كه تا الان ميدونيم و فرض كرديم، جدول اين شكلي ميشه:

5 - 4 - 3 - 2 - 1
سفيد - سبز - قرمز - آبي - زرد
سوئدي - آلماني - انگليسي - دانماركي - نروژي
ـــــــــ - قهوه - شير - چاي - ــــــــ
ــــــــ - پرنس - ــــــــ - ــــــــ - دان هيل
سگ - ــــــــ - ــــــــ - اسب - ــــــــــ

طبق بند ۱۲ كسي كه بلو مستر مي كشه، آبجو دوست داره. خونه ي ۱ دان هيل مي كشه، خونه هاي ۲ و ۳ و ۴ هم كه آبجو دوست ندارن! پس كسي كه بلو مستر مي كشه توي خونه ي ۵ هست و آبجو هم دوست داره. تنها نوشيدني باقيمانده آب هست كه اون رو هم نروژيه دوست داره!

طبق بند ۶ كسي كه پال مال مي كشه، پرنده داره. خونه ي ۱ كه دان هيل ميكشه. خونه ي ۲ هم اسب داره. خونه ي ۴ هم پرنس مي كشه و خونه ي ۵ هم سگ داره! پس تنها خونه ي باقيمونده ۳ هست كه پال مال مي كشه و پرنده داره.

تنها سگار باقيمونده بلندز هست كه مال خونه ي ۲ ميشه.

طبق بند ۱۰ كسي كه بلندز مي كشه (يعني خونه ي ۲) همسايه اي داره (۱ يا ۳ ) كه گربه داره. خونه ي ۳ كه پرنده داره! پس اين نروژه هست كه گربه داره!!!

حالا جدول اين جوري ميشه:

5 - 4 - 3 - 2 - 1
سفيد - سبز - قرمز - آبي - زرد
سوئدي - آلماني - انگليسي - دانماركي - نروژي
آبجو - قهوه - شير - چاي - آب
بلو مستر - پرنس - پال مال - بلندز - دان هيل
سگ - ــــــــ - پرنده - اسب - گربه

تنها حيوان باقيمانده ماهي است كه صاحبش هم آلمانيه باشه!!!!

اين هم از يه راه ديگه:

با توجه به بند ۹ و بند ۸ و بند ۱۴ خواهيم داشت:

نروژي ------- -------- -------- --------
------ آبي** -------- ------- --------
------ -------- -------- -------- --------
------ ------- شير** -------- --------
------ -------- -------- -------- --------

از آنجايي كه رنگ خانه نروژي نميتواند سبز و سفيد(چون سبز و سفيد همسايه اند)و قرمز(رنگ خانه انگليسي است)و آبي(رنگ خانه همسايه نروژي)باشد پس زرد است:

نروژي ------- -------- -------- --------
زرد** آبي** -------- ------- --------
------ -------- -------- -------- --------
------ ------- شير** -------- --------
------ -------- -------- -------- --------

اما با توجه به بند ۷ صاحب خانه زرد رنگ دانهيل ميكشد پس نروژي دانهيل ميكشد:

نروژي ------- -------- -------- --------
زرد** آبي** -------- ------- --------
------ -------- -------- -------- --------
------ ------- شير** -------- --------
دانهيل -------- -------- -------- --------

و با توجه به بند ۱۱ نتيجه ميگيريم صاحب خانه دو اسب نگه ميدارد:

نروژي ------- -------- -------- --------
زرد** آبي** -------- ------- --------
------ اسب -------- -------- --------
------ ------- شير** -------- --------
دانهيل -------- -------- -------- --------

خانه دوم نميتواند به انگليسي (چون رنگ خانه انگليسي قرمز است)و سوئدي(چون سوئدي سگ دارد ولي اينجا صاحب خانه دوم اسب دارد)و نروژي متعلق باشد پس يا به الماني متعلق است يا به دانماركي. به الماني تعلق ندارد زيرا اگر تعلق داشته باشد خواهيم داشت:
(((نوشيدني مورد علاقه الماني نميتواند شير(چون صاحب خانه سوم شير دوست دارد)،چاي(چون دانماركي چاي دوست دارد)،ابجو(چون دوست دار ابجو بلو مستر ميكشد ولي الماني پرنس ميكشد)و قهوه(چون صاحب خانه سبز رنگ قهوه دوست دارد ولي خانه دوم ابي رنگ است)باشد،پس آب است. و از طرفي اگر الماني آب دوست داشته باشد،نروژي آبجو دوست خواهد داشت زيرا نميتواند آب،شير،قهوه(صاحب خانه سبز رنگ قهوه دوست دارد)و چاي(دانماركي چاي دوست دارد)باشد. يعني فرض قرار گرفت الماني در خانه دوم ما را رساند به اينجا كه نروژي آبجو دوست دارد كه با دانهيل كشيدن نروژي تناقض دارد)))

پس الماني نميتواند در خانه دوم باشد،يعني گزينه ممكن ديگر يعني دانماركي در خانه دوم خواهد بود و از انجا كه دانماركي چاي دوست دارد خواهيم داشت:

نروژي دانماركي -------- -------- --------
زرد** آبي*** -------- ------- --------
------- اسب* -------- -------- --------
------- چاي** شير ** -------- --------
دانهيل -------- -------- -------- -------- و چون نروژي نميتواند چاي،شير،قهوه(مورد علاقه صاحب خانه سبز)و آبجو(مورد علاقه كسي كه بلو مستر ميكشد)باشد پس آب است و از طرفي با توجه به بند ۱۵ كسي كه بلندز ميكشد همسايه اي دارد كه آب دوست دارد پس به ناچار دانماركي بايد بلندز بكشد:

(۱) نروژي دانماركي -------- -------- --------
زرد** آبي*** -------- ------- --------
------ اسب* -------- -------- --------
آب** چاي** شير** -------- --------
دانهيل بلندز* -------- -------- --------

چون خانه سبز سمت چپ خانه سفيد است پس انگليسي يا در خانه سوم است يا پنجم،اگر پنجم باشد خواهيم داشت:

نروژي دانماركي -------- -------- انگليسي
زرد** آبي*** --------- -------- قرمز
------ اسب** ---------- -------- --------
آب** چاي** شير** -------- آبجو(چون قهوه نميتواند باشد)
دانهيل بلندز* ---------- -------- بلو مستر(بند ۱۲)


و سپس:

نروژي دانماركي-------- -------- انگليسي
زرد** آبي***--------- -------- قرمز
------- اسب** -------- -------- --------
آب***چاي**شير**قهوه** آبجو(چون قهوه نميتواند باشد)
دانهيل بلندز*-------- -------- بلو مستر(بند ۱۲)

و در ادامه: نروژي دانماركي-------- -------- انگليسي
زرد** آبي***--------- سبز**قرمز
------- اسب** -------- -------- --------
آب***چاي**شير**قهوه** آبجو(چون قهوه نميتواند باشد)
دانهيل بلندز*-------- -------- بلو مستر(بند ۱۲)

ادامه: نروژي دانماركي-------- -------- انگليسي
زرد** آبي*** سفيد سبز**قرمز
------- اسب** -------- -------- --------
آب***چاي**شير**قهوه** آبجو(چون قهوه نميتواند باشد)
دانهيل بلندز*-------- -------- بلو مستر(بند ۱۲)
حال جالب اينجاست كه سوئدي در هيچيك از خانه هاي سوم و چهارم نميتواند باشد،زيرا در هر كدام باشد بايد سگ نگه دارد و سيگار پالمال بكشد(چون ديگر سيگار باقي مانده يعني پرنس را الماني ميكشد)و اين با بند ۶ در تناقض است.يعني فرض قرار گرفتن انگليسي در خانه پنجم در هر صورتي به تناقض مي انجامد)))

يعني انگليسي در خانه سوم است و خواهيم داشت: (۱) نروژي دانماركي انگليسي -------- --------
زرد آبي قرمز ------- --------
------ اسب -------- -------- --------
آب چاي شير -------- --------
دانهيل بلندز -------- -------- --------

و چون خانه سبز سمت چپ خانه سفيد است:

نروژي دانماركي انگليسي -------- --------
زرد آبي قرمز سفيد سبز
------ اسب -------- -------- --------
آب چاي شير -------- --------
دانهيل بلندز -------- -------- --------

بند۵

نروژي دانماركي انگليسي -------- --------
زرد آبي قرمز سفيد سبز
------ اسب -------- -------- --------
آب چاي شير -------- قهوه
دانهيل بلندز -------- -------- --------

و به ناچار صاحب خانه دوم آبجو دوست دارد:

نروژي دانماركي انگليسي -------- --------
زرد آبي قرمز سفيد سبز
------ اسب -------- -------- --------
آب چاي شير آبجو قهوه
دانهيل بلندز -------- -------- --------

و چون كسي كه بلو مستر ميكشد ابجو دوست دارد:

نروژي دانماركي انگليسي -------- --------
زرد آبي قرمز سفيد سبز
------ اسب -------- -------- --------
آب چاي شير آبجو قهوه
دانهيل بلندز -------- بلو مستر --------

و چون آلماني پرنس ميكشد پس نميتواند در خانه چهارم باشد و با سيگارش يعني پرنس در خانه پنجم است و سوئدي در خانه چهارم كه البته سگش همراهش است:

نروژي دانماركي انگليسي سوئدي آلماني
زرد آبي قرمز سفيد سبز
------ اسب -------- سگ --------
آب چاي شير آبجو قهوه
دانهيل بلندز -------- بلو مستر پرنس

انگليسي مجبور است پالمال دوست داشته باشد كه بنا به بند ۶ پرنده هم خوهد داشت:

نروژي دانماركي انگليسي سوئدي آلماني
زرد آبي قرمز سفيد سبز

------ اسب پرنده سگ -------- آب چاي شير آبجو قهوه
دانهيل بلندز پالمال بلو مستر پرنس

وبنا به بند ۱۰ نروژي بايد گربه داشته باشد و در نتيجه آلماني ماهي:

نروژي دانماركي انگليسي سوئدي آلماني
زرد آبي قرمز سفيد سبز
گربه اسب پرنده سگ ماهي
آب چاي شير آبجو قهوه
دانهيل بلندز پالمال بلو مستر پرنس

البته براي اين حالت راست به چپ هم قطعا پاسخ كوتاه تري وجود دارد

[Borna66]

###مساله هاي جالب رياضي###(2)

- پدری از دو پسر تیزهوش خود می خواهد که هر کدام یک عدد انتخاب نمایند و بدون آنکه دیگری متوجه شود، عدد خود را به او بگویند. پدر بعد از شنیدن اعداد میگوید: حاصلضرب دو عددی که آنها انتخاب کرده اند، 8 یا 16 می باشد. سپس از پسر بزرگتر سئوال می کند: " آیا میدانی عددی که برادرت انتخاب کرده است چند می باشد؟"
پسر بزرگ: " نمی دانم! "
پدر از پسر کوچکتر همین سئوال را می پرسد.
پسرکوچک : " نمی دانم! "
پدر از پسر بزرگ مجددا همین سئوال را می پرسد.
پسر بزرگ: " نمی دانم! "
پدر از پسر کوچک مجددا همین سئوال را می پرسد.
پسرکوچک : " نمی دانم! "
پدر از پسر بزرگ بازهم همین سئوال را می پرسد.
پسر بزرگ: " می دانم! "
شما مي دانيد عددی که پسر کوچک انتخاب نموده است چند است؟

-> جواب : بزرگه میگه نمیدونم، پس عدد وی 16 نیست چون اگر 16 بود با توجه به حاصلضرب اعلام شده فقط عدد 1 برای پسر کوچک باقی می ماند و در آن صورت می توانست به راحتی عدد پسر کوچک را بگوید. .....
B- کوچیکه میگه نمیدونم، پس عدد وی 1 و 16 نیست. چون اگر 1 بود فقط عدد 8 ، و اگر 16 بود فقط عدد 1 برای بزرگه باقی می ماند. .....
C- بزرگه میگه نمیدونم، پس عدد وی 1 و 8 نیست. .....
D- کوچیکه میگه نمیدونم، پس عدد وی 2 و 8 نیست. .....
در این لحظه که از بزرگه سوال میشود ، او تنها عدد باقی مانده برادرش را که 4 می باشد، میتواند اعلام کند!


- به دنبال ایجاد سوء تفاهمی بین پادشاه و وزیر زیرک ، شاه دستور می دهد وزیر را در طول هفته آینده " در روزی که او نمی داند وی را در آن روز می کشند !" ، به قتل برسانند. وزیر پس از شنیدن این دستور ، کمی فکر می کند و سپس میگوید: شما هیچ روزی نمی توانید مرا بکشید!!! پادشاه از او میخواهد که شرح دهد طبق چه استدلالی جلادان نمیتوانند او را بکشند؟ اگر شما جای وزیر باهوش باشید چه پاسخی می دهید؟!!!

-> جواب: چون وزير اين استدلال را کرده بنابراين اطمينان دارد که در هيچ روزی کشته نمی شود. پس پادشاه هرروزی که بخواهد می تواند او را بکشد چون وزير مطمئن است طبق استدلال قبل که کشته نمی شود!
با فرض اين که شنبه اول هفته باشد؛ روز جمعه نمی‌تواند روز قتل وزير باشد. چرا که در اين صورت وزير روز قبل از آن (پنجشنبه)مي‌داند که فردا کشته خواهد شد و اين خلاف قول شاه است. با حذف روز جمعه اگر روز قتل پنجشنبه باشد وزير روز قبل يعنی چهار‌شنبه می‌داند که فردا کشته خواهد شد و اين خلاف قول شاه است. به اين ترتيب روز پنجشنبه هم حذف می‌شود. با استدلال مشابه روزهای ديگر هفته هم نمی‌تواند روز قتل وزير باشد. بنابراين در هيچ روزی پادشاه نمی‌تواند قول خود را عملی کند. احتمالا اين استدلال پادشاه است. ولی مشخص است که اين استدلال برخلاف ظاهر صحيح ان نمی‌تواند صحيح باشد و مثلا پادشاه می‌تواند روز دوشنبه سروقت وزير رفته و او را به قتل برساند بدون آنکه وزير از قتل خود خبر داشته باشد.


- همنهشتی:صفحه ساعتهاي عقربه دار تنها ساعتهاي از ۱ تا ۱۲ را نشان ميدهد.از اين رو وقتي اعلام شود ساعت ۱۳ است , عقربه ها ساعت ۱ را نشان ميدهند و وقتي گفته شود ساعت ۱۸ است عقربه ها ساعت ۶ را نشان ميدهند.اگر اكنون ساعت ۲۱ باشد پس از گذشتن۲۰ ساعت ديگر عقربه هاي ساعت ۵ را نشان خواهند داد.زيرا ۲۱ با ۲۰ ميشود ۴۱ كه برابر ۵+۳۶ و به معني ان است كه عقربه ها سه دور گشته اند و به ساعت ۵ رسيده اند.اين گونه حساب كردن را حساب ساعتي ميگويند.در حساب ساعتي به جاي هر عدد باقيمانده تقسيم ان بر ۱۲ قرار ميگيرد.حساب ساعتي حالت ويژه اي از حسابي است كه ان را همنهشتي مينامند.
در حساب همنهشتي يك عدد طبيعي به عنوان پيمانه برگزيده ميشود و به جاي هر عدد ديگر باقيمانده تقسيم ان بر پيمانه قرار ميگيرد.مثلا اگر پيمانه ۵۰ باشد به جاي عدد ۱۶۷ عدد ۱۷ قرار ميگرد زيرا ۱۶۷ كه بر ۵۰ تقسيم شود باقيمانده ۱۷ بدست مي ايد.دو عدد ۱۶۷ و ۱۷ را همنهشت به پيمانه ۵۰ مينامند.در حساب ساعتي دو عدد ۲۱ و ۹همنهشت به پيمانه ۱۲ هستند. يك گونه رمز نويسي از راه به كار بردن حساب همنهشتي انجام ميگيرد:حرفهاي الفبا يه ترتيب از ۰ تا ۳۱ شماره گذاري ميشوند و به جاي هر حرف عددي گزيده ميشود كه به پيمانه ۳۲ با شماره ان حرف همنهشت باشند.مثلا حرف ﴿﴿ ع ﴾﴾ كه شماره اش ۲۰ است با عددي نشان داده ميشود كه به پيمانه ۳۲ همنهشت ۲۰ باشد اين عدد ميتواند ۵۲,۸۴ يا ۱۸۰ يا هر عدد ديگري باشد كه چون بر ۳۲ بخش شود مانده ۲۰ بدست ايد.افزون بر اين در هر رمز نويسي يك كليد رمز نيز به كار ميرود كه بنابر ان به جاي هر حرف چند شماره بعد از ان مورد نظر است چنان كه اگر كليد رمز عدد ۱۳۷۵ باشد حرفهاي نوشته اي كه بنا هست به رمز در ايد چهار تا چهار تا از هم جدا مي شوند و در هر جهار تايي ,يكمين حرف يك شماره , دومين حرف ۳ شماره, سومين حرف ۷ شماره و چهارمين حرف ۵ شماره به جلو برده ميشود.براي مثال اگر كلمه اي كه به رمز در امده با عدد هاي ۵۷ , ۷۰,۱۰۳,۳۲۶ نموده شده باشداز اولي ۱ را , از دومي ۳ را , از سومي ۷ را و از چهارمي ۵ را كم ميكنيم ۶۵,۹۶,۳۲۳,۵۶ بدست مي ايد.اكنون اين عدد ها را بر ۳۲ تقسيم كنيم مانده هاي ۱,۰,۳,۲۴ بدست مي ايند كه به ترتيب شماره هاي ك ت ا ب از حرفهاي الفبايند و كلمه كتاب را ميسازند.


- شانزده سكه هم اندازه را چنان در كنار هم بگذاريد كه دو مربع ۳ * ۳ را تشكيل دهند؟

->

http://pnu-club.com/imported/mising.jpg


- ديوفانت از رياضي دانان يونان باستان بوده كه بويژه روي مساله هاي مربوط به عدد صحيح كار ميكرده است.پس از در گذشت ديوفانت شاگردانش نوشته زير را بر روي سنگ گور او حك كردند:
﴿﴿ اينجا ارامگاه ديوفانتوس است.او عمري طولاني داشت يك ششم سالهاي عمرش را در كودكي گذراند , پس از ان يك دوازدهم سالهاي عمرش را در جواني سپري كرد , انگاه پس از انكه يك هفتم از سالهاي عمرش هم گذشت ازدواج كرد. پنج سال پس از انكه ازدواج كرد, همسرش براي او يك پسر اورد.سرنوشت چنين بود كه اين پسر پيش از او درگذرد در حالي كه تعداد سالهاي عمرش نصف تعداد سالهايي بود كه پدرش زندگي كرد.﴾﴾ديوفانتوس چند سال عمر كرد و مرگ او چند سال پس از در گذشت پسرش روي داد؟

-> جواب:هر گاه طول عمر ديوفانت ۱ فرض شود تعدا سالهاي كه پيش از ازدواج گذرانده يك ششم بعلاوه ۱ دوازرهم بعلاوه يك هفتم سال ميشود و وقتي عدد صحيح است كه فرض برابر با مضربي از كوچكترين مضرب مشترك عددهاي 6,12 و 7 يعني مضربي از 84 باشد.اما از مضربهاي صحيح 84 تنها خود 84 پذيرفتني است.بنابراين:ديوفانت 84سال و پسرش 42 سال عمر كرده است و با محاسبه كسرهايي از عمرش كه ياد شده اند به دست خواهد امد كه پسرش وقتي زاده شده كه او 38 سال داشته و 4 = (42+38) - 84 سال پس از مرگ پسرش در گذشته است.


- روي يك صفحه كاغذ ۹ نقطه نشان كنيد و با اغاز از يكي از انها و بدون برداشتن قلم از روي كاغذ,خطي شكسته چهار پهلو ﴿چهار تكه﴾ را چنان رسم كنيد كه از همه ۹ نقطه بگذرد.

http://pnu-club.com/imported/mising.jpg

->

[Borna66]

مسله هاي جالب رياضي 3
- فرض كنيد :
- ۱۰۰ نفر آدم با هوش در يك سالن زنداني هستند.
- حداقل يك نفر و حداكثر همه آنها داراي يك خال بر روي صورتشان هستند.
- هيچ كدام از اين افراد نمي دانند كه آيا خود داراي خال هستند يا نه.
- به آنها گفته شده كه به ازاي هر آدم خال دار يك شبانه روز ( نه كمتر و نه بيشتر) مهلت دارند كه آدم هاي خال دار از سالن بيرون بيايند.
- اين افراد نمي توانند هيچ ارتباطي با افراد ديگر موجود در سالن برقرار كنند.
- تنها ارتباط موجود ديدن صورت افراد ديگر است.
- به هيچ امكاني هم دسترسي ندارند كه صورت خود را ببينند.
- خلاصه پيغام و پيام و آينه و .... ممنوع است.
- تعداد افراد خال دار معلوم نيست.
سؤال : با چه روشي ممكن است كه فقط افراد خال دار در پايان مهلت تعيين شده (n روز به ازاي n خال دار) از سالن خارج شوند؟

جواب - > فرض کنین یه نفر تو قبیله خال داشته باشه. اون فرد خالدار بقیه قبیله رو میبینه که هیچ کس خالدار نیست ولی چون رییس قبیله گفته اینجور افراد حتما وجود دارند، نتیجه میگیره فقط خودش خالداره و همون روز اول خودش رو میکشه. از طرف دیگه بقیه افراد بدون خال میبینن یه نفر خال داره ولی خودشون نمیدونن خال دارن یا نه. مثل بالا برای خودشون استدلال میکنن که اگه خودشون خال نداشته باشن اون فرد خالدار باید امروز خودش رو بکشه و اگر خودشون خال داشته باشن اون فرد ديگه امروز رو منتظر خواهد موند. اون فرد خالدار روز اول خودشو ميکشه و بقيه ميفهمن که خودشون خالدار نبودن. اين از يکی.
حالا برای دو نفر همين استدلال رو تکرار کنين. فرض کنين دو نفر تو قبيله خال دارن. اونی که خالداره ميبينه يه نفر تو قبيله خال داره ولی نميدونه خودش هم خال داره يا نه. با خودش ميگه اگه من خال نداشته باشم اون فرد خالدار بايد امروز خودش رو بکشه و اگر خال داشته باشم بايد منتظر بمونه. اون فرد ديگه هم همين جور استدلال ميکنه و هر دوشون روز اول رو کاری نميکنن و منتظر ميمونن. در نتيجه ميفهمن که هر دو تا خالدارن و روز دوم خودشون رو ميکشن. اما اونايی که خال ندارن ميبينن دو نفر تو قبيله خال دارن. اونا دو روز صبر ميکنن تا سرنوشت اين دو تا معلوم بشه و چون روز دوم اون دو نفر خودشون رو ميکشن ميفهمن که خودشون خال نداشتن.
به همین ترتیب میتونین برای سه نفر و چهار نفر و ... تکرار کنین استدلال رو. در نتیجه اگه n نفر خالدار باشن تا روز n-1 ام صبر ميکنن و بقيه که خال ندارن تا روز n ام. روز n ام افراد خالدار دسته جمعی خودشون رو ميکشن و از اينجا بقيه ميفهمن که خودشون خال ندارن. يعنی تا صبح روز n+1 فرد خالداری تو قبيله وجود نخواهد داشت. پس تو این قبیله ما 7 نفر خالدار بودن چون تا صبح روز هشتم دیگه فرد خالداری تو قبیله نبوده


- معماي حساب استدلالي
در زمان قديم كه روستاييان محصولات خودشان را بميدان براي فروش مي آ وردند يك زن روستايي يك سبد تخم مرغ بميدان آورده كه بفروشد. هنوز هيچ نفروخته بود كه اسب يك سوار پاش خورد بسبد تخم مرغ. نتيحتا بيشتر تخم مرغ ها شكستند.
اسب سوار خيلي نا راحت شد واز روستايي پوزش خوا ست و حاضر شد پول همه آنهارا بپردازد.
اسب سوار از روستايي سوال كرد": "مادر جون چند تا تخم مرغ داشتي؟"
خانم در حواب گفت:
"تعدادشونو نميدو نم اما وقتي آنهارا دوتا دوتا بر ميداشتم يكي باقي ميموند وقتي سه تا سه تا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, وقتي چهارتا چهارتا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, وقتي پنحتا پنحتا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, وقتي شش تا شش تا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, اما وقتيكه هفت تا هفت تا بر ميداشتم هيچي باقي نميموند. اسب سوار حساب كرد و پول تخم مرغاي زن را داد.
سوال كمترين تعداد تخم مرغي كه زن روستايي ميتوانست داشه باشد چندتا بود؟

جواب-> مي‌شه ۳۰۱
منطقش اينه كه بايد كوچكترين عددي رو پيدا كنيم كه باقيمانده‌اش وقتي تقسيم به اعداد ۲ تا ۶ مي‌شود بايد يك باشه و اين عدد مضربي از هفت باشه از روش ديگر اگر بخواهيم بررسي كنيم مي بينيم كه a-1بر ۲و۳و۴و۵و۶ بخشپذير است و از طرف ديگر aبر ۷ بخشپذير مي باشد.ك.م.م اعداد ۲و۳و۴و۵و۶ عدد ۶۰ مي باشد اما ۶۰ نمي تواندa-1 باشد زيرا ۶۱ بر۷ بخشپذير نيست.60*2را بجاي a-1 در نظر مي گيريم مطلوب نيست ۳*۶۰ را در نظر مي گيريم بازهم نمي شود.۴*۶۰ نيز همينطور زيرا ۲۴۱ بر۷ بخشپذير نيست.اما ۶۰*۵ درست است زيرا عدد ۳۰۱ بر ۷ بخشپذير است.بنابراين كوچكترين عدد با شرايط مساله ۳۰۱ مي باشد كه صابر با برنامه اش به آن رسيد.
منبع: گفتمان


- يك فردي اسير است و بايد نجات پيدا كند و براي او دو مسير فرار وجود دارد.يكي نجات و ديگري نابوديست سر هر كدام از اين راهها يك نفر ايستاده يكي كاملا دروغ گو و ديگري كاملا راستگو اين فرد با يك سوال چگونه مي تواند راه صحيح را پيدا كند ؟( فقط يك سوال و فقط از يك نفر - راستگو و دروغگو مشخص نيست - راه برگشتي هم نيست )

جواب -> از یکی از انها، فرق ندارد کدام، میپرسه:
اگر از ان نگهبان ديگری بپرسم که آیا او سر راه آزادی ایستاده اون چه میگويد؟
این نگهبان هر چی گفت بر عکسش راه نجات خواهد بود...
اگر گفت آره، برعکسش ، یعنی ان راه نجات نیست و همینی که این ايستاده درست است...
اگر گفت نه، بازم برعکسش ، یعنی آری ان راه نجات است و اینی که ما ازش پرسیدیم راه نابودی...
این معمّای زیبا از اصل ریاضیات جدید (قوانین گزاره ها) حل میشه. برای این مساله :
p) = p~) ~ ، که یعنی نقیض نقیض هر گزاره هم ارز است با خود گزاره...
بدهی


- سوال:100 جعبه قند داريم كه در هر كدام 100 حبه قند موجود است و وزن هر حبه قند a گرم است.اگر يكي از جعبه هاي قند شامل حبه هايي به وزن a-1 گرم باشد چگونه مي توان با يكبار وزن كردن،جعبه شامل حبه هاي داراي وزن كمتر را يافت؟

-> جواب:جعبه ها را به ترتيب چيده و از 1 تا 100 شماره گذاري مي كنيم،سپس از هر جعبه به تعداد شماره جعبه حبه هايي بر مي داريم(مثلا از جعبه شماره 1 يك حبه،از جعبه 2 دو حبه و ...و از جعبه 100 صد حبه)بعد از آن كل حبه هاي انتخاب شده را وزن مي كنيم و وزن آنرا m گرم فرض مي كنيم.اگر m‌را از 5050a كم كنيم شماره جعبه شامل حبه هاي سبكتر به دست مي آيد.

[Borna66]

مسئله هاي جالب رياضي 4

- بازي شطرنج باچند نفر به طور هم زمان :

پسربچه اي به نام علي را در نظر ميگيريم كه در دبستان درس ميخواند و استعداد رياضي فوق العاده اي دارد ولي بازي شطرنج را بتازگي آغاز كرده و تنها مي داند مهره ها را چگونه بايد حركت داد . در عوض 2 فرد دبيرستاني به نامهاي محسن و حسن ، افرادي هستن كه اميدهاي بزرگي براي شطرنجند و شطرنج بازان بزرگ آنها را مي شناسند و براي پيروزي به آنها ارزش قايلند .وقتي اين سه نفر دور هم جمع بودند و در مورد شطرنج صحبت ميكردند محسن و حسن روايت كردند كه چگونه استادان بزرگ شطرنج بدون هيچ زحمتي با 40 تا 50 نفر به طور هم زمان شطرنج بازي مي كنند .علي بلافاصله گفت : من همين حالا حاضرم در مقابل 2 نفر به طور هم زمان شطرنج بازي كنم ، نمي خواهيد با من بازي كنيد ؟؟
محسن و حسن مات و مبهوت شدند كه چگونه يك بچه دبيرستاني ، كه تازه با حركت مهره ها آشنا شده به خود جرات ميدهد تا 2 شطرنج باز قوي و پر تجربه را به مبارزه دعوت كند .علي پيشنهاد كرد تنها اجازه بدهيد نحوه انتخاب مهره ها براي بازي با من باشد.اما حسن قبول نكرد و مهره خود را انتخاب كرد و بعد علي انتخاب كرد و بعد محسن انتخاب كرد . محسن گفت : علي عزيز ، اگر تو بتواني دست كم در برابر يكي از ما 2 نفر شكست نخوري من حاضرم كلاه خودم را بخورم .در پايان مبارزه خطري جدي كلاه محسن را تهديد ميكرد و تنها بعد از آن كه علي از قرار اوليه و حق خود صرف نظر كرد ، كلاه محسن سالم ماند و خود محسن از خورد آن معاف شد . علي چگونه توانست دست كم در يكي از بازيها از شكست خود جلوگيري كند ؟؟علي در بازي تكي با هر كدام از آن دو شكست ميخورد اما حالا توانست يكي از آن دو را شكست دهد چگونه ؟؟در ضمن فرد چهارمي هم وجود نداشت كه علي را راهنمايي كند !!!!!!!

جواب --> اون فقط كاري كه ميكرد اين بود كه حركت هركدام را براي ديگري انجام ميداد ... يعني در اصل اون فقط يك واسطه بود و از خودش حركتي انجام نمي داد

- در يك مهماني كه من در آن شركت كرده بودم جز من كه فقط با يك نفر ديگر دست دادم هر يك از مهمانان با سه نفر ديگر دست داد. پرسش اول : ايا شما ميتوانيد دست كم تعداد حاضران در اين مهماني را حدس بزنيد؟ پرسش دوم:ايا تعداد شركت كنندگان در اين مهماني ميتواند ۲۱ نفر باشد؟

جواب --> دست كم ۶ نفر
اما بيست و يك نفر نميتوانند باشند زيرا 19*3+2=59 كه يك عدد زوج نيست.
اما درباره اينكه چرا نميتوانند بيست و يك نفر باشند.
اگر در شكل فوق مدير را كنار بگذاريم يك گراف خواهيم داشت با پنج گره .گره آبي از درجه دو(فراموش نكنيم كه مدير را كنار گذاشته ايم)و چهار گره سبز از درجه سه،پس مجموع درج هاي گره ها برابر ۳*۴+۲=۱۴ ميباشد.از طرفي مشخص است كه مجموع درجه هاي يك گراف بايد زوج باشد و نميتواند فرد باشد(در اين مثال چون دست دادن يك رابطه دوطرفه است پس مجموع دست دادن ها بايد يك عدد زوج باشد).
حال اگر شمار افراد برابر ۲۱ نفر باشد با كنار گذاشتن مدير بيست نفر خواهيم داشت كه يك نفر با دو نفر دست داده است و ۱۹ نفر با سه نفر دست داده اند كه مجموع دست دادن ها برابر ۲+۳*۱۹=۵۹ ميشود كه بطور روشن غير ممكن است.

- دو مرد يك كوزه هشت ليتري پر از روغن دارند.دو كوزه خالي سه و پنج لتري هم دارند.چگونه ميتوانند با استفاده از اين سه كوزه روغن را بطور مساوي و دقيق بين خود تقسيم كنند؟
*** ۷ بار جابجايي



- احتمالا تا به حال ايستادن يا نشستن بر روي چهار پايه اي كه طول پاهايش مساوي نيست تجربه كرده ايد.و لق زدن ان شما را هم كلافه كرده است. حالا فكر ميكنيد سه پايه هم ممكن است لق بزند؟

جواب --> هر جسمي داراي يك مركز ثقل (گرانيگاه ) ميباشد و بر حسب وضع قرارگيري جسم بر روي زمين نسبت به ماندگاري خود در آن وضعيت داراي دو نوع تعادل است يعني يا تعادل آن پايدار است يا نا پايدار .
مثلا يك كره همگن را اگر در نظر بگيريد درست در وسط آن مركز ثقل آن قرار دارد ولي به علت كروي بودن سطح آن تعادل آن نا پايدار است .حال براي اينكه جسمي داراي وضعيت تعادل باشد ميبايست :
۱- نيروي مركز ثقل عمور بر سطح زمين (هموار) يا در امتدار (در راستاي) جاذبه زمين باشد .۲- راستاي(بردار) مركز ثقل در وسط جسم و در مركز نقاط تماس جسم با زمين قرار بگيرد .
در نتيجه اگر بخواهيم سه پايه ما داراي وضعيت تعادل پايدار باشد (كاري به شكل ظاهري آن نداريم )
ميبايست آن را به گونه اي طراحي نمود كه فاصله مركز ثقل از پيرامون نشيمنگا (محل نشستن )سه پايه به يك اندازه باشد و اگر از اين فقطه فرضي (مركز ثقل ) ما شاقولي آويزان كنيم فاصله شاقول تا تكيه گاه هاي سه پايه به يك اندازه باشد .
با اين اوصاف حتي در سطوح شيبدار هم مي توان سازهاي ساخت كه داراي تعادل پايدار باشد يعني مركز ثقل در راستاي جاذبه وخط (بردار ) بيانگر مركزثقل درست در وسط تكيه گاهها باشد يعني فاصله آن از تمام تكيه گاه به يك اندازه باشد .

- كم كردن حجم مبادلات پول
در سيستم پول ايالات متحده امريكا هر دلار به 100 قسمت تقسيم ميشود .هر يك صدم دلار يك سنت است و سكه هاي 1- سنتي (پني )، 5- سنتي (نيكل )، 10 – سنتي (دايم) و 25 - (كوارتر ) رايج مي باشند . اگر شما خريدي 29 سنتي انجام دهيد و يك اسكناس يك دلاري خرج كنيد ، فروشنده به شما 2 كوارتر ، 2 دايم و 1 پني خواهد داد ، همچنين ميتواند 7 دايم و 1 پني به شما بدهد. بهر حال 5 سكه بايد مبادله شود . آيا راهي براي كم كردن حجم مبادلات وجود دارد؟؟

جواب --> بر اساس تحقيقي كه جفري شاليت از دانشگاه واترلو انجام داده است ،در سيستم چهار سكه اي جاري، به طور متوسط در هر مبادله 7/4 سكه رد و بدل مي شود شاليت كشف كرده است كه در سيستم 4 سكه اي ، تركيب 1- سنتي ، 5- سنتي، 18- سنتي و 25- سنتي حجم مبادلات را به 89/3 سكه در هر مبادله كاهش مي دهد . جالب اينجاست كه تركيب سكه هاي 1- سنتي، 5- سنتي ، 18- سنتي و 29- سنتي نيز نتيجه اي مشابه بدست مي دهد . بنابر اين با بكارگيري هر يك از سيستمهاي فوق 17 درصد در مبادلات سكه صرفه جويي خواهد شد .پس با عوض كردن دايم با سكه 18- سنتي خدمات سريعتري مي توان به مشتريان ارائه داد . البته نبايد فراموش كرد كه محاسبات ذهني با يك سكه 18 – سنتي مشكل تر و وقت گير تر از كار كردن با سكه هاي موجود است . به جاي تعويض دايم با يك سكه 18- سنتي ، تحقيق درباره امكان اضافه كردن يك سكه به سيستم موجود نيز قابل بررسي است:
اضافه كردن يك 32- سنتي ، حجم مبادلات را به 46/3 سكه در هر مبادله كاهش مي دهد.نكته جالب تر اينكه اگر استفاده از سكه غير معمول 50- سنتي نيز بيشتر شود، سكه اي كه حجم مبادلات را حداقل مي كند يك 18- سنتي است. براي اطلاعات بيشتر مي توانيد به مقاله : آنچه اين كشور احتياج دارد يك سكه 18 سنتي است . چاپ شده در شماره 2 جلد 25، مجلهMathematical Intelligencer يا به نشانيwww.math.uwaterloo.ca/~shalit/papers.html مراجعه كنيد.


- در قانوني در باره ئ پرچم فرانسه، نوشته شده بود كه اين سه رنگ عمودي در كنار هم، نبايد با پهناي يكسان، بلكه به نسبت آبي ٣٠ ؛ سفيد ٣٧ ؛ سرخ ٣٣ ،.دليل اين قانون چه بوده است؟

جواب -->به علت خطاي ديد، اگر پهناي سه نوار آبي، سفيد و قرمز يكسان باشد، چشم ما آنها را يكسان نخواهد ديد؛ بنا بر اين، فرانسوي ها خودشان اين خطا را اصلاح كرده اند و پهناي نوار ها را به گونه اي انتخاب كرده اند كه در عمل يكسان ديده مي شوند