معرفي تمامی مجموعه اعداد ریاضی

[Borna66]

عَدَد یا یکی از مفاهیم پایه ریاضیات است. در آغاز عدد برای شمارش و اندازه‌گیری به‌کار می‌رفت ولی بعدها ریاضی‌دانان مفهوم آن را توسعه دادند و مفهوم عدد صفر و عدد منفی و عدد موهومی و عدد مختلط را ابداع کردند.

عدد را نباید با رقم اشتباه کرد. رقم نشانه‌ای است که برای نوشتن عدد به‌کار می‌رود.



تاریخ پیدایش عدد
در آغاز، عدد به صورت محدود خود بود. حتی عدد را تا ۲ بیشتر نمی‌توانستند بشمارند. برای عدد، مرزی برای شمار داشتند. برای نمونه،زمانی در بسیاری جاها، مرز شمار، عدد ۶ بود. تا ۶ میشمردند و پس از آن را میگفتند «بسیار». هنوز هم در بسیاری زبان‌ها «هفت» به معنای بسیار است. در زبان فارسی، ضرب المثلی است که می‌گوید: «هفت بار گز کن، یکبار پاره کن.» در این ضرب المثل، منظور دقیقاً هفت بار عمل کردن نیست، بلکه منظور این است که پس از عمل «بسیار»، نتیجه بگیر. در زبان روسی نیز ضرب المثلی است به این مفهوم که «هفت نفر منتظر یک نفر نمی‌مانند» که باز هم منظور این است که تعداد زیادی منتظر یک نفر نمی‌مانند.

همچنین در داستان‌ها ،وقتی از پادشاهی صحبت می‌شود که در قصریست که هفت برج و بارو دارد، و یا هفت دریا، هفت سرزمین، هفت آسمان و ... همه جا «هفت»،به معنای بسیار به کار رفته‌است.

عدد سیزده نیز چنین سرنوشتی دارد. دوازده را «دوجین» میگفتند و چون پس از آن را نمیشناختند، روی آن نام «دوجین شیطانی» گذاشتند. از اینجا، عدد سیزده نحس شد، چرا که پس از دوازده برای آنها ناشناخته بود و خبر از ابهام و تاریکی میداد. البته پیش آمدها یا روایتهایی هم به نحسی سیزده کمک کرد؛ مانند روایتی که در شام آخر، نفر سیزدهم به عیسای مسیح خیانت کرد و او را لو داد، وگرنه عدد ۱۳ با عددهای دیگر هیچ تفاوتی ندارد. (نمونه‌های دیگری هم از اینگونه، برای برخی عددها داریم. چهل چراغ به معنای درست ۴۰ چراغ نیست. هزار پا به معنای این نیست که این جانور ۱۰۰۰ پا دارد.)

برخی عددها هم نشانه عدد شماری بوده‌است. دست پنج انگشت دارد و اغلب چیزها را به یاری انگشتان دست و پا میشمردند. واژه پنج از پنجه گرفته شده است؛ زیرا پنجه دارای ۵ انگشت است. در زبان فارسی، واژه سی با واژه سه، هم ریشه‌است. همینطور چهل با چهار، پنجاه با پنج و ... ولی واژه بیست، هیچ ربطی به واژه «دو» ندارد. این نشانه آن است که عدد ۲۰ به معنای مجموعه انگشتان دست و پاست و در زمانهای دور، مبنای عدد شماری بوده‌است. در زبان فرانسوی به بیست می‌گویند «وَن» که هیچ ربطی به (دو=deux) ندارد. به جز آن، به هشتاد می‌گویند «چهار بیست تاً و به نود می‌گویند»چهار بیست تا و ده تاً.

تنها در دوره‌ای از پیشرفت تمدن به بی پایان بودن عددهای طبیعی پی بردند و به عنوان نمونه، اقلیدس (سده سوم پیش از میلاد) ثابت کرد، تعداد عددهای اول، بی نهایت است.

[Borna66]

اعداد طبیعی، اعدادی هستند که برای شمردن به کار می‌روند. مجموعه اعداد طبیعی {... ,۳ ,۲ ,۱} است.

در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک

مجموعه نامتناهی است.

در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای

طبیعی، گرفته شده است.

[Borna66]

اعداد طبیعی، اعدادی هستند که برای شمردن به کار می‌روند. مجموعه اعداد طبیعی {... ,۳ ,۲ ,۱} است.

در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک

مجموعه نامتناهی است.

در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای

طبیعی، گرفته شده است.

[Borna66]

اعداد اول اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشند. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است.

عدد یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است اعداد ۱، ۳، ۷، ۹ باشد.

اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.

سری اعداد اول به این صورت شروع می‌شود: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ ...

قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.

برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات می‌کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد. حال عدد M را که برابر حاصل‌ضرب این اعداد به علاوه ۱ را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم‌علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.

قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ را به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.

قضیه ۳ (قضیه چپیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد. قضيه ۴ هر عدد زوج را می‌توان بصورت جمع سه عدد اول نوشت.

قضيه ۵ هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می‌توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پايه قضيه ۴)

قضيه 6-هر عدد فرد را می‌توان به صورت دو برابر يك عدد اول بعلاوه يك عدد اول ديگر نوشت.

خواص اعداد اول:

1- هر عدد اول برابر است با 6n+1 يا 6n-1 كه n يك عدد صحيح است.

2-مجذور هر عدد اول برابر است با 24n+1.

3-تفاضل مجذورهاي دو عدد اول مضربي از 24 است.

4-حاصلضرب هر دو عدد اول بجز 2و3 مضربي از 6 بعلاوه يا منهاي يك است.

توان چهارم هر عدد اول بجز 2و3 مضربي از 240 بعلاوه يك است.


بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ‪ ۳۰‬ميليون و ‪ ۴۰۲‬هزار و ‪ ۴۵۷‬منهاي يك است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر 2 به توان n منهای یک است.

لازم به ذكر است كه تعداد 3000 عدد اول در سايت مگاسندر megasender.org (http://www.megasender.org) وجود دارد و افرادي كه مايل به دريافت بيشتر اين اعداد هستند مي توانند با سايت مذكور تماس گرفته و تعداد بيشتري از آنها را بر روي لوح فشرده دريافت نمايند و طراحان اين سايت خودشان اين اعداد را محاسبه نموده اند

[Borna66]

اعداد جبری در ریاضیات اعدادی هستند که جواب معادله‌ای به شکل زیر باشند:


anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 = 0


ضریب‌های a0 تا an در این معادله چند جمله‌ای اعداد گویا هستند.

تمام اعداد گویا اعداد جبری هم هستند. بعضی از اعداد حقیقی عدد جبری نیستند. عددی که جبری نباشد عدد متعالی (یا غیرجبری) نامیده می‌شود.

[Borna66]

اعداد حقیقی


میدان تمام اعداد گویا و گنگ را اعداد حقیقی گویند و آن را با R نمایش می‌دهند. اعداد حقیقی را می‌توان با اضافه کردن عدد موهومی(http://pnu-club.com/imported/2009/04/51.png ) بسط داد. اعدادی به فرم a + bi که در آن a و b هر دو عدد حقیقی هستند را اعداد مختلط مینامند.

[Borna66]

اعداد صحیح به مجموعهٔ اعداد طبیعی مثبت، اعداد طبیعی منفی، و عدد صفر گفته می‌شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی‌ست.

شاخه‌ای‌ از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد.


خواص جبری
همانند اعداد طبیعی، Z نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحيح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به Z تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما Z تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.

برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستندhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg

جمع ضرب
بسته بودن: a + b یک عدد صحیح است a × b یک عدد صحیح است
شرکت پذیری: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
تعویض پذیری: a + b = b + a a × b = b × a
وجود یک عنصر واحد: a + 0 = a a × 1 = a
وجود یک عنصر عکس: a + (−a) = 0
توزیع پذیری: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
نداشتن مقسوم علیه‌های صفر: اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0

مطابق بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت پذیری و جابه جایی (یا تعویض پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.


در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ Z به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که نسبتZ به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد.


مجموعهٔ ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.

اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.

همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.)

[Borna66]

اعداد گویا1 حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگرست، به شرطی که عدد دوّم (مقسوم علیه) صفر نباشد. به بیان دیگر، هر عدد گویا را می‌توان به شکل a/b یا آ بيم نوشت (که a و b اعداد صحیح‌اند).

در ریاضیات، مجموعه اعداد گویا را، عموماً، با Q نمایش می‌دهند. به عنوان مجموعه‌ای شمارا (یا قابل شمارش)، ولی نامتناهی، مجموعهٔ اعداد گویا، خود، زیرمجموعه‌ای‌ست چگال (dense) از مجموعهٔ بزرگ‌تر و عمومی‌تر اعداد حقیقی.


به عنوان یک اشتباه نسبتاً رائج، گاهی اعداد کسری را با اعداد گویا یکی می‌دانند. این در حالی‌ست که، اعداد گویا فقط کسرهایی هستند که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل‌آمده باشد. به عنوان نمونه، نسبت راديكال سه دوم کسر هست، ولی، گویا نیست.

[Borna66]

عدد مختلط عددی به فرم a + bi است که در آن a و b از اعداد حقیقی و i عدد موهومی برابر با ریشهٔ دوم عدد ۱- است.

اعداد مختلط از کجا آمدند
همان طور که میدانید یک معادله درجه دو مثل ax2 + bX + c = 0 در اعداد حقیقی وقتی که Delta = b2 − 4avc مقداری منفی باشد گوئیم جواب ندارد.این یعنی اداد حقیقی شمول همه اعداد نیست پس اعداد مختط تعریف شدد. عدد مختلط a + bi را می‌توان به صورت (a,b) نوشت. برای اینکه مفهوم اعداد مختلط را نتوجه شوید ،ابتدا باید با اعداد مختلط آشنایی کامل داشته باشید. عداد مختلط: می خواهیم معادله را حل کنیم.این معادله درمجموعه های دارای جواب نیست. برای اینکه هیچ عددی بتوان 2 و به علاوه 1 صفر نمیشود.همچنین اگرعددی به توان زوج برسد،غیرممکن است که علامت آن منفی شود.«با به پشت مساوی بردن معلوم معادله(1+) می بینیم که مجهول عددیست که به توان رسیده ومنفی شده که محال است».اما باید گفت که اعداد را با علامت دیگری غیر از+و- شان میدهیم؛ آن علامت شامل اعداد مختلط و متناهی می شود. در اعداد متناهی این قانون هست که عددی با بتوان زوج رسیدن منفی هم بشود.این اعداد رابا علامت نشان می دهند. برای یک عدد حقیقی( )عدد متناهی را به صورت زیر نشان میدهند: اعدادی راکه دارای علامت i هستند را موهومی می گوئیم. پس باتوجه به مطالب فوق دریافته ایدکه:جواب معادله درمجموعه ی اعداد متناهی دارای دو جواب است: i,+i- اعداد متناهی: به نظر شما اگر دلتای معادله ی درجه دومی منفی بودچطور می توان ریشه معادله موردنظر را پیداکرد؟ می خواهیم معادله ی را حل کنیم. حل:

ازطرفی: ملاحظه می کنیم دو جوابی که بدست آمده اند بطورخالص نه حقیقی و نه موهومی به شمار می روند. لذاچنین اعدادی را در گروه اعداد مختلط جای دارند. یک عدد مختلط به صورت زوج مرتب :z=(x,y)معرفی می شوند.x: مولفه حقیقی و y: مولفه موهومی نام دارد. اعداد مختلط را می توان بصورت روبرو نشان داد: z=x+iy مزدوج آنر بصورت روبرو نشان می دهیم: 85.133.173.228 ۱۷:۲۸, ۱۹ ژوئیه ۲۰۰۶ (UTC) هرگاه مولفه های دو عدد مختلط دو به دو برابر بود؛آنرا؛دو عدد مختلط برابرنامیده می شود.

نکته:این اعداد همچون سایر مجموعه اعداد دارای خواصص توزیع پذیری،شرکت پذیری و جابجایی نیز هست.



میدان اعداد مختلط () میدان اعداد حقیقی () را به صورت زیر میدان، شامل می‌شود. درضمن z=(x,y) --->: x:مولفه حقیقی است و y:مولفه موهومی است.

[Borna66]

عدد ای (e) یکی از ثابت‌های ریاضی و پایه لگاریتم طبیعی است. عدد e تا ۲۹ رقم پس از ممیز چنین است:

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135

ثابت شده است که e عددی گنگ و نیز عددی متعالی است.

[Borna66]

اعداد حسابی همان اعداد طبیعی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده است. به عبارت دیگر به مجموعه‌ی اعداد زیر ،‌ اعداد صحیح یا اعداد درست گویند و آن را با z نمایش می‌دهند:

{ ... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} = z
درواقع اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است. این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است. شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگی‌های اعداد صحیح می پردازدنظریه اعداد نام دارد.

صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمی‌تواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد.