منطق مقدماتي

[Y@SiN]

تعاريف متعددي از منطق موجود است ، اما چون بحث در حوزه رياضيات است، به يكي از تعاريف رياضي آن بسنده مي كنم.
منطق بررسي اصول و روشهايي است كه براي تمييز دادن استدلالهاي درست از استدلالهاي نادرست به كار مي روند.
منطق با لغت "گزاره" كه به معناي خاصي به كار مي رود شروع مي شود.

تعريف گزاره :‌ يك جمله خبري است كه يا راست است يا دروغ، ولي هم راست و هم دروغ نيست.
لازم نيست كه بدانيم يك گزاره راست است يا دروغ، بلكه كافي است بدانيم كه تنها داراي يكي از اين دو ارزش است (اگر گزاره راست باشد مي گوييم ارزش راستي گزاره راست است(T) و اگر دروغ باشد مي گوييم ارزش راستي آن دروغ است(F)). معمولا به آساني ديده مي شود كه گزاره راست است يا دروغ، اما در بعضي موارد تعيين ارزش گزاره مستلزم كمي دقت است، و در مواردي ممكن است تعيين ارزش آن محال باشد.
(*)مثلا عبارت هاي زير گزاره هستند :
1-شيراز شهري در استان فارس است. T
2 - 2+1 برابر 5 است. F
3-در مريخ جاندار با شعور وجود ندارد – ارزش اين گزاره (راست يا دروغ) برما معلوم نيست
4-هوا باراني است – ارزش اين گزاره بستگي به زمان گفتنش دارد.
اما عبارت هاي زير هيچكدام از لحاظ رياضيات كلاسيك گزاره نيستند :
1-به مهماني ما بيا!
2-حال شما چطور است؟
3-خداحافظ
گزاره هاي مثال (*) همگي گزاره هاي ساده هستند. تركيبي از چند گزاره ساده يك گزاره مركب تشكيل مي دهد.
مثلا " 2+1 برابر 5 است و شيراز شهري در استان فارس است"
در منطق رياضي ، گزاره ها را با حروف p ، q، r و... نمايش مي دهند كه همگي ساده هستند. اما براي گزاره هاي مركب از حروف بزرگ آنها استفاده مي شود.
گزاره نما : جمله ايست شامل يك يا چند مجهول بطوريكه وقتي بجاي مجهولات اسامي خاص قرار مي گيرد اين جمله به يك گزاره ساده تبديل مي شود.
ميان رابط هاي منطقي : براي بدست آوردن گزاره هايي مركب از گزاره هاي ساده از ميان رابط هاي منطقي سود مي بريم كه شامل " تركيب عطفي(و)، تركيب فصلي(يا)، نقيض، تركيب شرطي، تركيب دو شرطي و.. " مي شود.
كه در ادامه به بيان نحوه ارزشيابي گزاره هايي با اين رابط ها مي پردازم.

[Y@SiN]

1- نقيض
گيريم p يك گزاره باشد. آنگاه گزاره p ~ بخوانيد "نفي p" يا "نقيضp" راست است هرگاه p دروغ باشد و دروغ است هرگاه p راست باشد. به عنوان مثال، اگر p گزاره " اين درس آساني است" باشد، نقيض آن~p ، گزاره "اين درس آساني نيست" يا " چنين نيست كه اين درست آسان است" مي باشد.
ارزشp ~ بستگي به ارزش p دارد. براي نشان دادن اين بستگي از جدول "ارزش" زير استفاده مي كنيم:

http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
در ستون اول دو ارزش ممكن يعني درست يا غلط (T , F) را براي گزاره p نوشته ايم. و به اين ترتيب در ستون دوم ارزش گزاره p ~را نمايش داده ايم. كه اين جدول بسيار ساده است.

[Y@SiN]

2- تركيب عطفي (و):
ميان رابط "Λ" را عاطف يا "و" منطقي مي نامند واز تركيب 2 گزاره p و q تركيب عطفي pΛq ايجاد مي شود(مي خوانيم pوq) كه ارزش اين تركيب در جدول زير ديده مي شود:

http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
مثلا گيريم p گزاره " آسمان آبي است" و q گزاره " گل سرخ قرمز است" باشد. آنگاه گزاره عطفي pΛq، عبارت " آسمان آبي است و گل قرمز است" مي باشد.
در يك گزاره مركب مانند p Λq ، هر يك از گزاره هاي p،q را مؤلفه گويند. مولفه ممكن است يك گزاره ساده يا يك گزاره مركب باشد. در گزاره هاي مركب با دو مؤلفه، مانند p Λq، حداكثر 4 (=2*2) حالت وجود دارد، كه حالتهاي منطقي يا امكانهاي منطقي ناميده مي شوند.
اگر كمي با دقت به جدول بالا بنگريم، ملاحظه مي كنيم كه گزاره تركيب عطفي فقط وقتي راست كه هر دوي pوq راست باشند و در بقيه موارد p Λq دروغ است كه در واقع روش استفاده عاطف "و" در محاورات روزانه را منعكس مي كند.

بگذاريد يك مثال ديگر بزنيم :
گيريم:
p گزاره " آسمان آبي است"
q گزاره " گل سرخ قرمز است" باشد

مي خواهيم بدانيم ارزش عبارت { چنين نيست كه" آسمان آبي نباشد و گل سرخ قرمز نيست"} با امكانهاي منطقي آن چيست. اين عبارت را مي توانيم به صورت زير بنويسيم :

[(p) Λ (~q~)]~
كه پرانتز ها و براكت ها براي روشن شدن بحث است. اما غالبا در رياضيات به مختصر نويسي معتقديم. براي اين منظور توافق مي كنيم ~ بر Λ است. كه عبارت بالا به صورت زير در مي آيد :

[p Λ ~q~]~
كه جدول ارزش گذاري آن به صورت زير است: