شا خصهاي مركزي

[donya88]

ميانگين حسابي كه آن را ميانگين نيز مي گويند متداول ترين اندازه مركزي مي باشد كه از رابطه به دست مي‌آيد.

(تعداد اندازه ها)/ (مجموع اندازه ها) = ميانگين

ميانگين محاسبه شده براي داده هاي نمونه را با علامت http://pnu-club.com/imported/mising.jpgو ميانگين جمعیت را با علامتhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg نشان مي‌دهند. به عبارت ديگر اگر اندازه نمونه انتخاب شده برابر با n و اندازه جمعیت برابر با N (جمعیت محدود) و اندازه صفت عضـوhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpgام جمعیت با نشان داده شود، آنگاه

http://pnu-club.com/imported/mising.jpg(معمولاً در بررسي هاي آماريhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpgمجهول است)

مثال: میانگین حسابی چهار داده 3، 5، 7 و 2 عبارت است از:

http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
اگر داده هاي جمع آوري شده در يك جدول توزيع فراواني در http://pnu-club.com/imported/mising.jpgطبقه تنظيم شده باشند، ميانگين از رابطه‌هاي
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg( براي جدول فراواني رده‌بندي شده ) ( براي جدول فراواني طبقه‌بندي شده )
كه در آن http://pnu-club.com/imported/mising.jpg مقدار رده، http://pnu-club.com/imported/mising.jpg فراواني و http://pnu-club.com/imported/mising.jpg مركز طبقةhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpgام جدول است.

مثال: جدول زیر توزیع بیماران مراجعه کننده به یک درمانگاه را بر حسب تعداد دندانهای فاسد آنها نشان می دهد.
میانگین حسابی این داده ها را محاسبه نمایید.







مثال: جدول فراوانی سنی نوزادان در یک بیمارستان در جدول زیر تنظیم شده است. میانگین سن این نوزادان عبارت است از:


11-8
7-4
3-0
فاصله سنی بر حسب ماه


10
20
10
فراوانی
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
9.5
5.5
1.5
مرکز طبقه
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg


مقدار ميانگين محاسبه شده با استفاده از جدول فراواني طبقه بندي با مقدار واقعي ميانگين تفاوت دارد، زيرا در محاسبه، مركز هر طبقه به جاي كل داده هاي آن طبقه در نظر گرفته شده است (يك يكنواختي رد اينجا فرض مي شود كه با حالت واقعي آن تفاوت چنداني ندارد و قابل چشم پوشي است).
داده هاي پرت يا مقادير فرين و تأثير آنها روي ميانگين: بعضاً مجموعه اي از داده ها ممكن است شامل چند عدد خيلي كوچك و يا چند عدد حقيقي بزرگ باشد، كــــه آنها را ” دادة پرت” مي گويند. به طور كلي اندازه هائي كه مقدار آنها در ميقايسه با اكثر داده ها بسيار كوچك و يا بسيار بزرگ مي باشد را داده پرت و يا مقادير فرين مي گويند. بهترين راه تشخيص داده هاي پرت، استفاده از نمودار ”باكس” مي باشد. يك از معايب ميانگين به عنوان اندازه مركزي حساسيت آن به داده هاي پرت است كه براي رفع اين مشكل معيار ميانه به كار برده مي شود.

ميانه يكي از اندازه هاي مهم مركزي مي باشد كه به صورت زير تعريف مي شود. ميانه مجموعه اي از داده ها، كه آن را باhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpgنشان مي دهند، اندازه اي است كه حداقل نيمي از داده ها از آن عدد كمتر باشند.

محاسبه میانه برای داده های گسسته:
براي محاسبه ميانه با استفاده از داده هاي خام به ترتيب زير عمل مي كنيم.
١- داده ها را به ترتيب صعودي يا نزولي مرتب مي كنيم
٢- به داده هاي مرتب شده رتبه اختصاص مي دهيم به طوريكه به اولين عدد رتبه 1 ، و به آخرين عدد رتبه n تعلق مي گيرد.جايگشتي مرتب شده از مقادير http://pnu-club.com/imported/mising.jpg داده هاي اصلي هستند.
٣- چنانچه n فرد باشد ميانه عددي است كه رتبه را داردhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg و چنانچه n زوج باشد ميانه ميانگين دو عددي است كه رتبه هايhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg و http://pnu-club.com/imported/mising.jpg را اخيتار كرده اند، يعني
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg

مثال1: میانه داده های زیر را بدست آورید:
77, 79, 80, 86, 87, 87, 94, 99
حل:تعداد داده ها برابر با 8 است. با توجه به اینکه داده ها مرتب شده هستند،بنابراین میانه داده ها عبارت است از:

http://pnu-club.com/imported/mising.jpg

مثال2: میانه داده های زیر را بدست آورید:
80, 75, 90, 95, 65, 65, 85, 70, 100

حل: ابتدا داده ها را از کوچک به بزرگ مرتب می نماییم.
65, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100
تعداد داده ها برابر با 9 است. ،بنابراین میانه داده ها عبارت است از:

http://pnu-club.com/imported/mising.jpg

محاسبه میانه برای داده های پیوسته:
مقدار ميانه را نيز مي توان با استفاده از جدول فراواني محاسبه نمود
براي بدست آوردن ميانه با استفاده از جدول فراواني قرمهاي زير را بر مي‌داريم
١- مقدارhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg را محاسبه نموده با ستون فراواني تجمعي جدول مقايسه و اولين طبقه يا رده اي كه فراواني تجمعي آن بزرگتر يا مساوي http://pnu-club.com/imported/mising.jpg است را تعيين و آن را طبقه يا رده ميانه مي ناميم.
٢- چنانچه از جدول فراواني رده بندي شده استفاده مي كنيم اندازه ميانه همان رده ميانه است و چنانچه از جدول فراواني طبقه بندي استفاده مي شود ميانه تقريبي از رابطه زير بدست مي آيد.
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
كه در اين رابطه
حد طبقه پايين طبقه ميانه=http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
فراواني تجمعي طبقه قبل از طبقه ميانه= http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
فراواني طبقه ميانه= http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
طول طبقه = http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
فرمول فوق با فرض يكنواختي در داخل هر طبقه و بر اساس يك تناسب ساده به دست مي آيد.
ميانه نيز مركز هيستوگرام را تعيين مي كند به طوريكه معمولاً نصف داده ها در طرف راست و نصف ديگر در طرف چپ آن قرار مي گيرند.
مزيت ميانه به عنوان يك اندازه مركزي بر ميانگين در اين است كه ميانه تحت تأثير داده هاي پرت قرار نمي گيرد، اما از طرف ديگر با توجه به اينکه ميانه از اندازه همه داده ها به دست نمي آيد معيار قابل قبولي براي بسياري از بررسي هاي آماري نيست.

نما - نما ترجمه كلمه مد است، كه يك لغت فرانسوي و به معناي ” متداول ترين” است. نما، براي مجموعه اي از داده‌ها عبارتست از اندازه اي كه بيشترين فراواني را دارا مي باشد. برخلاف ميانگين و ميانه كه براي مجموعه اي از داده‌ها وجود داشته و يكتا است، نما، لزوماً چنين خاصيتي را ندارد. اگر فراواني داده ها يكسان باشد، توزيع آنها نما ندارد. به عبارت دیگر داده ها بدون نما هستند.
اگر دو اندازه از داده ها فراواني يكسان و بيشترين فراواني را داشته باشند توزع آنها دو نمائي است. به همين ترتيب ممكن است توزيع چند نمائي براي مجموعه اي از داده ها داشته باشيم. نما را با حرف M یا Mo نمایش می دهیم.
شکل منحنی های یک نمایی و دو نمایی
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
محاسبه نما برای داده های گسسته:
١- پیدا کردن فراوانی داده ها
٢- داده ای که فراوانی آن بیشتر باشد را به عنوان نما انتخاب می کنیم.
توضیح: اگر دو داده دارای فراوانی مساوی باشند،بیشتر از سایر فراوانی ها، هر دو را به عنوان نما انتخاب می کنیم. مشروط بر اینکه این دو داده کنار هم نباشند. اگر کنار هم بودند، نصف مجموع آنها را نما می خوانیم.

مثال: برای داده های 3،1،3،1،3،1،3،2،4،5،3،3،1 نما برابر است با M=3 .
مثال: برای داده های 1،1،3،2،1،4،3،3،5 دو داده 1 و 3 که کنار هم نیستند و فراوانی مشترک آنها بیش از سایر فراوانی هاست، هر دو به عنوان نما اختیار می شوند.
مثال: برای داده های1،3،1،1،2،1،3،2،2،4،5،2 نصف دو داده 1 و 2 که کنار هم نیستند و دارای فراوانی 4 (بیش از سایر فراوانی ها) هستند به عنوان نما اختیار می شود. یعنیM=5/1

محاسبه نما برای داده های پیوسته:
١- خلاصه کردن داده ها در یک جدول فراوانی
٢- نماینده رده ای را که دارای فراوانی بیشتر می باشد و رده نمایی نامیده می شود را به عنوان نما اختیار می کنیم.
برای دقت بیشتر می توان نما را از فرمول
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
بدست آورد. در این فرمول نما، مرز پایین رده نمایی، اختلاف فراوانی های نسبی رده نمایی و رده بلافاصله قبل از آن، اختلاف فراوانی های نسبی رده نمایی و رده بلافاصله بعد از آن و طول رده می باشد.
مقايسه اندازه هاي مركزي ميانگين، ميانه و نما: براي مجموعه اي از داده ها نمي توان به سادگي نتيجه گرفت كه كداميك از اندازه هاي مركزي ميانگين، ميانه و نما بهترين معيار است. لذا در اين قسمت به ويژگيها و موارد استفاده آنها اشاره مي شود تا استفاده كننده با شناخت بهتري بتواند معيار مناسب را انتخاب نمايد.
الف) ميانگين حسابي
١- ميانگين با استفاده از ارزش همه داده ها محاسبه مي گردد.
٢- مقدار ميانگين نسبت به دو معيار ديگر در نمونه گيري هاي متفاوت از يك جمعیت كمتر تغيير مي‌يابد .
٣- از ميانگين براي محاسبه معيارهاي پراكندگي استفاده مي شود.
٤- ميانگين را نمي توان براي يك جدول توزيع فراواني كه طبقه اول و طبقه آخر آن محدود نمي باشند محاسبه نمود.
٥- ميانگين براي مجموعه اي از داده ها يكتا است.
٦- اندازه ميانگين تحت تأثير مقادير بسيار بزرگ و يا مقادير بسيار كوچك قرار مي گيرد و به همين دليل مي تواند معيار مركزي نامناسبي باشد.
ب) ميانه
١- ميانه زماني محاسبه مي گردد كه نياز به شناخت ارزش مياني داده ها باشد.
٢- براي تشخيص اينكه اندازه اي از داده ها در نيمه بالا و يا نيمه پايين توزيع قرار مي گيرد، محاسبه ميانه لازم است.
٣- ميانه معيار مركزي مناسبي براي داده هاي جدول توزيع فراواني است كه طبقه اول و طبقه آخر آن محدود نيست.
٤- ميانه كمتر تحت تأثير مقادير بسيار كوچك و بسيار بزرگ قرار مي گيرد.
ج) نما
١- براي تعيين متداول ترين اندازه داده ها از معيار نما استفاده مي شود.
٢- محاسبه معيار مركزي نما از ساير معيارها ساده تر است
٣- نما را مي توان به عنوان يك معيار مركزي براي داده هاي كيفي نيز به كار برد
٤- ممكن است براي مجموعه اي از داده ها نما وجود نداشته باشد و يا بيش از يك نما موجود باشد.

رابطه بين ميانگين، ميانه و نما: رابطه بين معيارهاي مركزي ميانگين، ميانه و نما براي توزيع هاي متقارن و چوله به شرح زير مي باشد.
١- براي مجموعه اي از داده ها با هيستوگرام متقارن و يك نمائي، مقادير ميانگين، ميانه و نما يكسان بوده و در مركز توزيع قرار دارند.
٢- براي هيستوگرامي كه چوله به راست مي باشد، مقدار ميانگين بزرگترين اندازه و نما كوچكترين اندازه مركزي و ميانه بين اين دو اندازه قرار دارد. دليل بزرگ بودن ميانگين، تأثير اندازه هاي بسيار بزرگ در طرف راست هيستوگرام مي باشد.
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg٣- براي هيستوگرامي كه چوله به چپ است. ميانگين كوچكترين اندازه و نما بزرگترين اندازه را دارا است و ميانه بين اين دو اندازه قرار مي گيرد.
http://pnu-club.com/imported/mising.jpgهرگاه میزان چولگی خفیف باشد، بین میانگین و میانه و مد، رابطه تقریبی زیر برقرار است:

اگر ازhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg و و http://pnu-club.com/imported/mising.jpgسه خط موازی محور ها رسم کنیم، از نظر هندسی خطی که از رسم می شود از نقطه ماکزیمم منحنی فراوانی می گذرد، خطی که از رسم می شود مساحت زیر منحنی فراوانی را نصف می کند و خطی که از http://pnu-club.com/imported/mising.jpgمی گذرد محور تعادل منحنی را مشخص می سازد.
[/URL][URL="http://pnu-club.com/redirector.php?url=http%3A%2F%2Fwww.stat4allir.inf o%2Fp_7_2_41.html%23top"] (http://pnu-club.com/redirector.php?url=http%3A%2F%2Fwww.stat4allir.inf o%2Fp_7_2.html%3Fm%3Dmenu7%26p%3Dp72)
http://pnu-club.com/imported/mising.jpgديگر اندازه هاي مركزي
http://pnu-club.com/imported/mising.jpgفرض کنیدداده به صورتhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg با فراوانی های http://pnu-club.com/imported/mising.jpgداشته باشیم. (در صورتی که داده ها پیوسته باشند،http://pnu-club.com/imported/mising.jpg ها را نماینده رده ها/طبقات در نظر می گیریم.
ميانگين وزني ـ در برخي از داده ها براي محاسبه ميانگين حسابي، به دليل اينكه مقادير مشاهده شده ارزش هاي متفاوت دارند لازم است به هر مشاهده وزني را اختصاص داده و سپس ميانگين داده هاي وزن داده شده را محاسبه نمود.
ميانگين وزني از فرمول زير محاسبه مي شود
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
ميانگين پيراسته ـ همانگونه كه پيش از اين ذكر شد اندازه ميانگين تحت تأثير مقادير بسيار بزرگ و يا مقادير بسيار كوچك قرار مي گيرد و به همين دليل مي تواند معيار مركزي نامناسبي باشد در چنين شرايطي شايد مناسب باشد از معيار ميانگين پيراسته كه از از تاثير مقادير فرين مصون مي‌باشد استفاده نماييم.

يك ميانگين پيراستة http://pnu-club.com/imported/mising.jpgكه با نمايش داده ميشود به ميانگين حسابي گفته ميشود كه پس از كنار گذاردن نسبتhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpgاز مشاهدات دو انتهاي مجموعة دادة مرتب شده محاسبه شود. براي محاسبه ميانگينhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpgپيراسته با استفاده از داده هاي خام به ترتيب زير عمل مي كنيم.
١- داده ها را به ترتيب صعودي يا نزولي مرتب مي كنيم
٢- به داده هاي مرتب شده رتبه اختصاص مي دهيم به طوريكه به اولين عدد رتبه 1 ، و به آخرين عدد رتبه n يا تعلق مي گيرد. جايگشتي مرتب شده از ‌مقاديرhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpgداده هاي اصلي هستند.
٣- مقدار صحيح عبارتhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg را محاسبه مي‌كنيم و مي‌ناميم
٤- ميانگين حسابي مشاهدات را محاسبه‌ مي‌كنيم

ميانگين هارمونيك یا توافقی ـ ميانگين هارمونيك به صورت عكس ميانگين معكوس اندازه ها تعريف شده است. در صورتی که همگی غیرصفر باشند، ميانگين هارمونيك از رابطه زير به دست مي آيد.
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
كاربرد اين ميانگين در موارد خاص مي باشد. مثلاً براي محاسبه متوسط سرعت اتومبيل وقتي كه اتومبيل فاصله بين دو شهر را با سرعت هاي متفاوت طي مي كند، سرعت متوسط را نمي توان از ميانگين حسابي به دست آورد. فرض كنيد راننده اي مسافت 100 كيلومتر را با سرعت 80 كيلومتر در ساعت طي مي كند و در برگشت همان مسافت را با سرعت 90 كيلومتر در ساعت، در اين صورت سرعت متوسط رانند 85 كيلومتر در ساعت نيست زيرا
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg



به طور كلي ميانگين هارمونيك زماني استفاده مي شود ه مشاهدات به صورت معكوس براي ميانگين مورد نظر بيان شده اند. مثلاً اگر متوسط قيمت يك كالا خواسته شود و اطلاعات به صورت تعداد كالاها براي يك قيمت معين داده شده باشد، از ميانگين هارمونيك استفاده مي شود. این میانگین در عینک سنجی و مطالعه شبکه های برق به کار می رود.

ميانگين هندسي - ميانگين هندسي معيار مركزي مناسب براي داده هايي از نوع درصد، نسبت، نرخ، شاخص ها و غيره است. براي محاسبه ميانگين هندسي، در صورتی کهhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg همگی مثبت باشند، از رابطه
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
استفاده مي شود.
برای محاسبه این میانگین آسانتر است که قبلا لگاریتم آن راحساب کرد. لگاریتم این میانگین برابر است با میانگین حسابی
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg

ميانگين رتبه دو- این میانگین به صورت
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
تعریف می شود و در حقیقت برابر است با جذر میانگین حسابی .
می توان ثابت کرد که میان چهار نوع میانگین حسابی، هندسی، توافقی و رتبه دو، رابطه زیر برقرار است:
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg