Borna66
12-31-2009, 04:40 PM
تعاریف وکلیات
به طور ساده هر معادله‌ای که شامل مشتق باشد یک معادله دیفرانسیل است. این مشتق می‌تواند یک مشتق ساده یا یک مشتق جزئی باشد.
یکی از معادلات دیفرانسیلی که همه‌ی ما با آن آشنایی داریم، قانون دوم نیوتون است. اگر جسمی با جرم m، تحت تاثیر نیروی F، با شتاب a به حرکت در آید، طبق قانون دوم نیوتون:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/985.jpg (1)
برای اینکه مشخص شود این معادله واقعا یک معادله‌ی دیفرانسل است کمی آن را بازنویسی می‌کنیم. اول از همه به خاطر داشته باشید که می‌توان شتاب را به یکی از دو فرم زیر نوشت:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/986.jpg or http://pnu-club.com/imported/2009/12/987.jpg (2)
که در آنها v، سرعت جسم است، و u، تابع مکان جسم در هر لحظه (t) می‌باشد. همچنین به خاطر داشته باشید که نیروی F خود می‌تواند تابعی از زمان، سرعت و/یا مکان باشد.
با این تعاریف می‌توان قانون دوم نیوتون را به صورت معادله‌ی دیفرانسیلی از سرعت یا مکان به صورت زیر نوشت:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/988.jpg (3)
http://pnu-club.com/imported/2009/12/989.jpg (4)
این اولین معادله‌ی دیفرانسیل ما بود. در فصول آینده در مورد هر دو صورت این معادله بیشتر بحث خواهیم کرد.
چند مثال دیگر از معادلات دیفرانسیل:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/990.jpg (5)
http://pnu-club.com/imported/2009/12/991.jpg (6)
http://pnu-club.com/imported/2009/12/992.jpg (7)
http://pnu-club.com/imported/2009/12/993.jpg (8)
http://pnu-club.com/imported/2009/12/994.jpg (9)
http://pnu-club.com/imported/2009/12/995.jpg (10)
مرتبه (Order)
مرتبه‌ی یک معادله دیفرانسیل عبارت است از بالاترین مرتبه‌ی مشتقی که در آن معادله به کار رفته.
در معادلات بالا، معادله‌ی سوم یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول و معادلات (4)، (5)، (6)، (8) و (9) معادلات دیفرانسیل مرتبه‌ی دوم هستند. (10) یک معادله دیفرانسیل مرتبه‌ی سوم و (7) یک معادله دیفرانسیل مرتبه‌ی چهارم است.
توجه داشته باشید اینکه مشتقات از نوع معمولی یا جزئی باشند فرقی نمی‌کند.
ما نگاه بخصوصی به معادلات دیفرانسیل مرتبه‌ی اول و دوم خواهیم داشت. همان طور که خواهید دید اکثر تکنیک‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه‌ی دوم می‌توانند برای حل معادلات دیفرانسل مراتب بالاتر تعمیم یابند. در آینده بیشتر در مورد آن بحث خواهیم کرد.
معادلات دیفرانسیل معمولی ومعادلات دیفرانسل با مشتقات جزئی (Ordinary & Partial)
اگر معادله دیفرانسیلی تنها شامل مشتقات معمولی باشد به آن معادله دیفرانسیل معمولی یا ODE می‌گویند. به همین صورت، به معادله دیفرانسلی که شامل مشتقات دیفرانسیلی (جزئی) باشد، به آن معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی یا PDE می‌گویند. در معادلات دیفرانسیل بالا، معادلات (3) تا (7) از نوع ode و معادلات (8) تا (10) pde می‌باشند.
اکثر بحث ما روی odeها خواهد بود. تنها استثنا فصل آخر است که در آن نگاه کوتاهی به یک راه حل کلی و پایه برای حل pdeها خواهیم پرداخت.
معادلات دیفرانسیل خطی (Linear)
هر معادله دیفرانسلی که بتوان آن را به فرم زیر نوشت یک معادله دیفرانسیل خطی است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/996.jpg (11)
نکته‌ی مهم در مورد معادلات دیفرانسیل خطی این است که در این نوع معادلات، هیچ حاصلضربی از (y(t و مشتقات آن وجود ندارد، همچنین این تابع و هیچکدام از مشتقاتش به توان نرسیده‌اند (توان آنها یک است).
ضرایب a0 تا an و (g(t می‌توانند توابعی صفر یا غیر صفر، توابعی ثابت یا متغیر ویا توابعی خطی یا غیرخطی، باشند. تنها تابع (y(t و مشتقات آن هستند که برای تشخیص خطی یا غیر خطی بودن معادله دیفرانسیل به کار می‌روند.
اگر معادله دیفرانسیلی را نتوان به فرم (11) نوشت، آنگاه به آن یک معادله دیفرانسیل غیرخطی می‌گوییم.
در بین معادلات (5) تا (7) در بالا، فقط معادله‌ی (6) غیر خطی است. سایرین همه معادلات دیفرانسیل خطی هستند. در مورد (3) و (4) نمی‌توان نظری داد چراکه نمی‌دانیم تابع F چه فرمی دارد. این معادلات بسته به تابع F می‌توانند خطی یا غیرخطی باشند.
جواب
جواب یک معادله‌ی دیفرانسیل در بازه‌یhttp://pnu-club.com/imported/2009/12/997.jpgمی‌تواند هر تابع http://pnu-club.com/imported/2009/12/998.jpgای که معادله را در بازه‌ی فوق برآورده کند، باشد.
این نکته مهم است که بدانیم جواب‌ها معمولا همراه با بازه بیان می‌شوند که این بازه‌ها اطلاعات مهمی را درباره‌ی جواب در بر دارند. مثال زیر را در نظر بگیرید:
مثال 1
نشان دهید کهhttp://pnu-club.com/imported/2009/12/999.jpgیکی از جواب‌های http://pnu-club.com/imported/2009/12/1000.jpg در بازه‌ی x>0 است.
جواب
مشتقات اول و دوم تابع y نسبت به t به صورت زیرند:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1001.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1002.jpg
این دو مشتق و خود تابع را در معادله دیفرانسیل اصلی جایگزاری می‌کنیم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1003.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1004.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1005.jpg
بنابراین http://pnu-club.com/imported/2009/12/999.jpg معادله را برقرار می‌کند و بنابراین یک جواب است.
اما چرا شرط http://pnu-club.com/imported/2009/12/1006.jpg را بیان کردیم؟
شاید به نظر آید وجود این شرط برای رسیدن به جواب الزامی نیست. برای درک این مطلب نگاهی دوباره به تابع y داریم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1007.jpg
در این نما مشخص است که x نمی‌تواند صفر باشد چراکه منجر به تقسیم به صفر خواهد شد.
برای راحتی کار در این کلاس، یک قانون داریم که میگوید هر گاه با اعداد حقیقی شروع کردید، با اعداد حقیقی به پایان برسانید. http://pnu-club.com/imported/2009/12/121.gif به عبارت دیگر اگر معادله دیفرانسیل ما فقط شامل اعداد حقیقی بود ما دنبال جواب‌های موهومی نمی‌گردیم.
در این مثال برای دور زدن جواب‌های موهومی، باید مقادیر منفی x را نیز دور بزنیم.
در این مثال ما دیدیم با وجود اینکه یک تابع می‌تواند به صورت نمادین، جواب یک معادله دیفرانسیل باشد، به علت محدودیت‌هایی که ما برای جواب قائل می‌شویم، برخی مقادیر متغیر مستقل برایمان قابل قبول نخواند بود. و بنابراین لازم است محدودیت‌هایی برای متغیر مستقل در نظر گرفته شود تا جواب‌های نامطلوب حذف گردند. این موضوع مربوط به جایی است که معادلات دیفرانسیل ما جواب‌های زیادی داشته باشند.
در آخرین مثال، به این موضوع توجه کنید که برای معادله دیفرانسیل داده شده، جواب‌های زیاد دیگری قابل تصور است. برای مثال تمام موارد زیر نیز می‌توانند جواب باشند:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1008.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1009.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1010.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1011.jpg
اثبات اینکه اینها نیز جواب معادله هستند به عهده‌ی شما. اما با داشتن این جواب‌ها آیا می‌توانید هیچ جواب دیگری برای معادله دیفرانسیل مذکور به دست آورید؟ در حقیقت بی‌نهایت جواب برای این معادله دیفرانسیل وجود دارد.
حال که می‌دانیم بی‌نهایت جواب برای معادله دیفرانسیل مثال قبل وجود دارد (فرض می‌کنیم شما حرف مرا در این زمینه قبول دارید) طبیعتا سوالی به ذهن می‌رسد: «کدام یک از این جواب‌ها، جوابی است که ما به دنبال آن هستیم؟ و آیا اساسا تفاوتی می‌کند که ما از کدام جواب استفاده کنیم؟» این سوال ما را به تعریف بعدی هدایت می‌کند:
شرط/شرایط اولیه initial conditions
شرایط اولیه، شرایطی هستند، در مورد جواب، که به ما کمک می‌کنند بفهمیم به دنبال کدام جواب هستیم. شرایط اولیه (که با حروف i.c مخفف می‌کنیم) دارای فرم کلی زیرند:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1012.jpg and/or http://pnu-club.com/imported/2009/12/1013.jpg
به عبارت دیگر می‌توان گفت، شرایط اولیه، مقادیری از جواب و/یا مشتقات آن، در نقاط بخصوص هستند.
همان گونه که به زودی خواهیم دید، جواب معادلات دیفرانسیلی که به اندازه کافی خوش رفتار باشند، منحصر به فرد است و در نتیجه تنها یک جواب در شرایط گفته شده صدق خواهد کرد.
همان طور که خواهیم دید، تعداد شرایط اولیه‌ای که برای حل یک معادله دیفرانسیل لازم است، به مرتبه‌ی معادله دیفرانسیل وابسته خواهد بود.
مثال 2
http://pnu-club.com/imported/2009/12/999.jpg یک جواب برای معادله‌ی http://pnu-club.com/imported/2009/12/1000.jpg و شرایط اولیه‌ی http://pnu-club.com/imported/2009/12/1014.jpg و http://pnu-club.com/imported/2009/12/1015.jpg است.
جواب
در مثال قبل اثبات کردیم که تابع داده شده یک جواب است و حال داریم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1016.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1017.jpg
و نتیجه می‌گیریم که این جواب شرایط اولیه‌یhttp://pnu-club.com/imported/2009/12/1014.jpgو http://pnu-club.com/imported/2009/12/1015.jpg را نیز پوشش می‌دهد.
در حقیقت http://pnu-club.com/imported/2009/12/999.jpg تنها جواب معادله‌ی دیفرانسیل است که در دو شرط مذکور صدق می‌کند.
مسئله‌ی مقدار اولیه Initial Value Problem
مسئله‌ی مقدار اولیه (یا به طور اختصار IVP) یک معادله دیفرانسیل همراه با تعداد مناسبی شرایط اولیه است.
مثال 3
آنچه در زیر آمده یک IVP است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1000.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1014.jpg , http://pnu-club.com/imported/2009/12/1015.jpg
مثال 4
یک نمونه IVP دیگر.
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1018.jpg http://pnu-club.com/imported/2009/12/1019.jpg
همان طور که قبلا اشاره شد، تعداد شرایط اولیه‌ی لازم برای حل، به مرتبه‌ی معادله دیفرانسیل بستگی دارد.
بازه‌ی اعتبار Validity Interval
بازه‌ی اعتبار یک IVP با شرایط اولیه‌ی:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1012.jpg and/or http://pnu-club.com/imported/2009/12/1013.jpg
بزرگترین بازه‌ی ممکنی است که در آن جواب معتبر باشد و شاملhttp://pnu-club.com/imported/2009/12/1020.jpg شود.
برخلاف تعریف ساده، یافتن آن مشکل است، بنابراین در حال حاضر دیگر حرفی از آنها نمی‌زنم و موضوع را به زمانی که واقعا به حل معادلات دیفرانسیل می‌پردازیم و بازه‌ی اعتبار را لازم داریم موکول می‌کنم.
جواب عمومی General Solution
جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل، عمومی‌ترین و کلی‌ترین جوابی است که آن معادله می‌تواند داشته باشد، بدون اینکه شرایط اولیه را در نظر بگیریم.
مثال 5
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1021.jpg جواب عمومی معادله‌ی http://pnu-club.com/imported/2009/12/1022.jpg است.
اثبات اینکه این تابع در واقع یک جواب معادله دیفرانسیل است را به شما واگذار می‌کنم.
در حقیقت تمام جواب‌های معادلات دیفرانسیل چنین فرمی دارند.
این یکی از اولین معادلات دیفرانسلی خواهد بود که شما حل کردن آن را خواهید آموخت و به زودی خودتان این جواب را به دست خواهید آورد.
جواب واقعی Actual Solution
جواب واقعی یک معادله دیفرانسیل، جواب بخصوصی است که نه تنها در معادله صدق می‌کند، بلکه در شرایط اولیه نیز صدق کند.
مثال 6
جواب واقعی IVP زیر چیست؟
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1022.jpg http://pnu-club.com/imported/2009/12/1019.jpg
جواب
در واقع حل این مسئله از آنچه در ابتدا به نظر می‌رسد ساده‌تر است. از مثال قبل فهمیدیم که همه جواب‌های این معادله دیفرانسیل به شکل کلی http://pnu-club.com/imported/2009/12/1021.jpg هستند. (البته فرض را بر این می‌گذاریم که شما این حرف من را در این زمینه قبول دارید)
تنها کاری که لازم است انجام دهیم، یافتن مقدار c به گونه‌ای است که در جواب مورد نظر ما صدق کند. برای پیدا کردن آن کافیست از شرط اولیه به صورت زیر استفاده کنیم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1023.jpg
بنابراین جواب واقعی IVP به صورت زیر خواهد بود:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1024.jpg
از این مثال آخر درمی‌یابیم که پس از پیدا کردن جواب عمومی معادله دیفرانسیل، پیدا کردن جواب واقعی معادله، تنها با به کار بردن شرایط اولیه و حل معادلات حاصله برای یافتن مقادیر ثابت مجهولِ جواب عمومی، امکان پذیر است.
جواب مشهود/غیرمشهود Implicit/Explicit
در این مورد ساده‌تر است که ابتدا جواب مشهود را تعریف کنیم و سپس بگوییم که چه چیزهایی جواب غیرمشهود نیستند، و سپس با مثالی تفاوت‌ها را بیان می‌کنیم.
هر جوابی که به فرم http://pnu-club.com/imported/2009/12/1025.jpg باشد یک جواب مشهود است. به عبارت دیگر تنها جایی که y را می‌بینیم سمت چپ معادله است و تنها به توان یک رسیده است.
جواب غیر مشهود، هر جوابی است که مشهود نباشد.
به این نکته توجه کنید که می‌توان جواب مشهود/غیرمشهودِ عمومی، یا جواب مشهود/غیرمشهودِ واقعی برای یک معادله متصور شد.
مثال 7
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1026.jpg جواب واقعی غیرمشهود برای http://pnu-club.com/imported/2009/12/1027.jpg است.
در حال حاضر از شما می‌خواهم به من در مورد اینکه این جواب واقعا یک جواب معادله است اعتماد کنید. شما نحوه‌ی بدست آوردن این جواب را در فصول بعدی خواهید آموخت.
نکته‌ی مهم در این مثال این است که چون در سمت چپ معادله، به جای یک http://pnu-club.com/imported/2009/12/998.jpg تنها، یک http://pnu-club.com/imported/2009/12/1028.jpg وجود دارد، این جواب نمی‌تواند یک جواب مشهود باشد.
مثال 8
یک جواب واقعی مشهود برای http://pnu-club.com/imported/2009/12/1027.jpg بیابید.
جواب
از مثال قبل می‌دانیم جواب غیرمشهود IVP، http://pnu-club.com/imported/2009/12/1026.jpg است. برای پیدا کردن جواب مشهود، تنها کاری که باید بکنیم حل این معادله بر حسب http://pnu-club.com/imported/2009/12/998.jpg است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1029.jpg
حالا اینجا مشکلی داریم. در اینجا دو تابع بدست آوردیم در حالی که تنها یکی از آنها را می‌خواهیم و در واقع تنها یکی از آنها درست است! جواب درست را با اعمال دوباره‌ی شرایط اولیه می‌توان پیدا کرد. تنها یکی از آنها در شرایط اولیه صدق می‌کنند.
در این مورد می‌توان دید که جواب منفی جواب صحیح است. بنابراین جواب مشهود واقعی عبارتست از:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1030.jpg
در این مورد ما توانستیم یک جواب مشهود برای معادله دیفرانسیل بیابیم. ولی باید توجه داشت که همیشه امکان پیدا کردن جواب مشهود وجود ندارد.
همچنین توجه کنید که در این مورد خاص ما تنها قادر بودیم جواب مشهود واقعی را به واسطه‌ی داشتن شرایط اولیه بدست آوریم که به ما کمک کرد بفهمیم کدام یک از دو تابع، جواب درست است.
تا به اینجا اکثر تعاریف اولیه‌ی لازم را آموخته‌ایم و بنابراین آماده‌ایم وارد مباحث بعدی شویم.
به طور ساده هر معادله‌ای که شامل مشتق باشد یک معادله دیفرانسیل است. این مشتق می‌تواند یک مشتق ساده یا یک مشتق جزئی باشد.
یکی از معادلات دیفرانسیلی که همه‌ی ما با آن آشنایی داریم، قانون دوم نیوتون است. اگر جسمی با جرم m، تحت تاثیر نیروی F، با شتاب a به حرکت در آید، طبق قانون دوم نیوتون:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/985.jpg (1)
برای اینکه مشخص شود این معادله واقعا یک معادله‌ی دیفرانسل است کمی آن را بازنویسی می‌کنیم. اول از همه به خاطر داشته باشید که می‌توان شتاب را به یکی از دو فرم زیر نوشت:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/986.jpg or http://pnu-club.com/imported/2009/12/987.jpg (2)
که در آنها v، سرعت جسم است، و u، تابع مکان جسم در هر لحظه (t) می‌باشد. همچنین به خاطر داشته باشید که نیروی F خود می‌تواند تابعی از زمان، سرعت و/یا مکان باشد.
با این تعاریف می‌توان قانون دوم نیوتون را به صورت معادله‌ی دیفرانسیلی از سرعت یا مکان به صورت زیر نوشت:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/988.jpg (3)
http://pnu-club.com/imported/2009/12/989.jpg (4)
این اولین معادله‌ی دیفرانسیل ما بود. در فصول آینده در مورد هر دو صورت این معادله بیشتر بحث خواهیم کرد.
چند مثال دیگر از معادلات دیفرانسیل:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/990.jpg (5)
http://pnu-club.com/imported/2009/12/991.jpg (6)
http://pnu-club.com/imported/2009/12/992.jpg (7)
http://pnu-club.com/imported/2009/12/993.jpg (8)
http://pnu-club.com/imported/2009/12/994.jpg (9)
http://pnu-club.com/imported/2009/12/995.jpg (10)
مرتبه (Order)
مرتبه‌ی یک معادله دیفرانسیل عبارت است از بالاترین مرتبه‌ی مشتقی که در آن معادله به کار رفته.
در معادلات بالا، معادله‌ی سوم یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول و معادلات (4)، (5)، (6)، (8) و (9) معادلات دیفرانسیل مرتبه‌ی دوم هستند. (10) یک معادله دیفرانسیل مرتبه‌ی سوم و (7) یک معادله دیفرانسیل مرتبه‌ی چهارم است.
توجه داشته باشید اینکه مشتقات از نوع معمولی یا جزئی باشند فرقی نمی‌کند.
ما نگاه بخصوصی به معادلات دیفرانسیل مرتبه‌ی اول و دوم خواهیم داشت. همان طور که خواهید دید اکثر تکنیک‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه‌ی دوم می‌توانند برای حل معادلات دیفرانسل مراتب بالاتر تعمیم یابند. در آینده بیشتر در مورد آن بحث خواهیم کرد.
معادلات دیفرانسیل معمولی ومعادلات دیفرانسل با مشتقات جزئی (Ordinary & Partial)
اگر معادله دیفرانسیلی تنها شامل مشتقات معمولی باشد به آن معادله دیفرانسیل معمولی یا ODE می‌گویند. به همین صورت، به معادله دیفرانسلی که شامل مشتقات دیفرانسیلی (جزئی) باشد، به آن معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی یا PDE می‌گویند. در معادلات دیفرانسیل بالا، معادلات (3) تا (7) از نوع ode و معادلات (8) تا (10) pde می‌باشند.
اکثر بحث ما روی odeها خواهد بود. تنها استثنا فصل آخر است که در آن نگاه کوتاهی به یک راه حل کلی و پایه برای حل pdeها خواهیم پرداخت.
معادلات دیفرانسیل خطی (Linear)
هر معادله دیفرانسلی که بتوان آن را به فرم زیر نوشت یک معادله دیفرانسیل خطی است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/996.jpg (11)
نکته‌ی مهم در مورد معادلات دیفرانسیل خطی این است که در این نوع معادلات، هیچ حاصلضربی از (y(t و مشتقات آن وجود ندارد، همچنین این تابع و هیچکدام از مشتقاتش به توان نرسیده‌اند (توان آنها یک است).
ضرایب a0 تا an و (g(t می‌توانند توابعی صفر یا غیر صفر، توابعی ثابت یا متغیر ویا توابعی خطی یا غیرخطی، باشند. تنها تابع (y(t و مشتقات آن هستند که برای تشخیص خطی یا غیر خطی بودن معادله دیفرانسیل به کار می‌روند.
اگر معادله دیفرانسیلی را نتوان به فرم (11) نوشت، آنگاه به آن یک معادله دیفرانسیل غیرخطی می‌گوییم.
در بین معادلات (5) تا (7) در بالا، فقط معادله‌ی (6) غیر خطی است. سایرین همه معادلات دیفرانسیل خطی هستند. در مورد (3) و (4) نمی‌توان نظری داد چراکه نمی‌دانیم تابع F چه فرمی دارد. این معادلات بسته به تابع F می‌توانند خطی یا غیرخطی باشند.
جواب
جواب یک معادله‌ی دیفرانسیل در بازه‌یhttp://pnu-club.com/imported/2009/12/997.jpgمی‌تواند هر تابع http://pnu-club.com/imported/2009/12/998.jpgای که معادله را در بازه‌ی فوق برآورده کند، باشد.
این نکته مهم است که بدانیم جواب‌ها معمولا همراه با بازه بیان می‌شوند که این بازه‌ها اطلاعات مهمی را درباره‌ی جواب در بر دارند. مثال زیر را در نظر بگیرید:
مثال 1
نشان دهید کهhttp://pnu-club.com/imported/2009/12/999.jpgیکی از جواب‌های http://pnu-club.com/imported/2009/12/1000.jpg در بازه‌ی x>0 است.
جواب
مشتقات اول و دوم تابع y نسبت به t به صورت زیرند:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1001.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1002.jpg
این دو مشتق و خود تابع را در معادله دیفرانسیل اصلی جایگزاری می‌کنیم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1003.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1004.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1005.jpg
بنابراین http://pnu-club.com/imported/2009/12/999.jpg معادله را برقرار می‌کند و بنابراین یک جواب است.
اما چرا شرط http://pnu-club.com/imported/2009/12/1006.jpg را بیان کردیم؟
شاید به نظر آید وجود این شرط برای رسیدن به جواب الزامی نیست. برای درک این مطلب نگاهی دوباره به تابع y داریم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1007.jpg
در این نما مشخص است که x نمی‌تواند صفر باشد چراکه منجر به تقسیم به صفر خواهد شد.
برای راحتی کار در این کلاس، یک قانون داریم که میگوید هر گاه با اعداد حقیقی شروع کردید، با اعداد حقیقی به پایان برسانید. http://pnu-club.com/imported/2009/12/121.gif به عبارت دیگر اگر معادله دیفرانسیل ما فقط شامل اعداد حقیقی بود ما دنبال جواب‌های موهومی نمی‌گردیم.
در این مثال برای دور زدن جواب‌های موهومی، باید مقادیر منفی x را نیز دور بزنیم.
در این مثال ما دیدیم با وجود اینکه یک تابع می‌تواند به صورت نمادین، جواب یک معادله دیفرانسیل باشد، به علت محدودیت‌هایی که ما برای جواب قائل می‌شویم، برخی مقادیر متغیر مستقل برایمان قابل قبول نخواند بود. و بنابراین لازم است محدودیت‌هایی برای متغیر مستقل در نظر گرفته شود تا جواب‌های نامطلوب حذف گردند. این موضوع مربوط به جایی است که معادلات دیفرانسیل ما جواب‌های زیادی داشته باشند.
در آخرین مثال، به این موضوع توجه کنید که برای معادله دیفرانسیل داده شده، جواب‌های زیاد دیگری قابل تصور است. برای مثال تمام موارد زیر نیز می‌توانند جواب باشند:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1008.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1009.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1010.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1011.jpg
اثبات اینکه اینها نیز جواب معادله هستند به عهده‌ی شما. اما با داشتن این جواب‌ها آیا می‌توانید هیچ جواب دیگری برای معادله دیفرانسیل مذکور به دست آورید؟ در حقیقت بی‌نهایت جواب برای این معادله دیفرانسیل وجود دارد.
حال که می‌دانیم بی‌نهایت جواب برای معادله دیفرانسیل مثال قبل وجود دارد (فرض می‌کنیم شما حرف مرا در این زمینه قبول دارید) طبیعتا سوالی به ذهن می‌رسد: «کدام یک از این جواب‌ها، جوابی است که ما به دنبال آن هستیم؟ و آیا اساسا تفاوتی می‌کند که ما از کدام جواب استفاده کنیم؟» این سوال ما را به تعریف بعدی هدایت می‌کند:
شرط/شرایط اولیه initial conditions
شرایط اولیه، شرایطی هستند، در مورد جواب، که به ما کمک می‌کنند بفهمیم به دنبال کدام جواب هستیم. شرایط اولیه (که با حروف i.c مخفف می‌کنیم) دارای فرم کلی زیرند:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1012.jpg and/or http://pnu-club.com/imported/2009/12/1013.jpg
به عبارت دیگر می‌توان گفت، شرایط اولیه، مقادیری از جواب و/یا مشتقات آن، در نقاط بخصوص هستند.
همان گونه که به زودی خواهیم دید، جواب معادلات دیفرانسیلی که به اندازه کافی خوش رفتار باشند، منحصر به فرد است و در نتیجه تنها یک جواب در شرایط گفته شده صدق خواهد کرد.
همان طور که خواهیم دید، تعداد شرایط اولیه‌ای که برای حل یک معادله دیفرانسیل لازم است، به مرتبه‌ی معادله دیفرانسیل وابسته خواهد بود.
مثال 2
http://pnu-club.com/imported/2009/12/999.jpg یک جواب برای معادله‌ی http://pnu-club.com/imported/2009/12/1000.jpg و شرایط اولیه‌ی http://pnu-club.com/imported/2009/12/1014.jpg و http://pnu-club.com/imported/2009/12/1015.jpg است.
جواب
در مثال قبل اثبات کردیم که تابع داده شده یک جواب است و حال داریم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1016.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1017.jpg
و نتیجه می‌گیریم که این جواب شرایط اولیه‌یhttp://pnu-club.com/imported/2009/12/1014.jpgو http://pnu-club.com/imported/2009/12/1015.jpg را نیز پوشش می‌دهد.
در حقیقت http://pnu-club.com/imported/2009/12/999.jpg تنها جواب معادله‌ی دیفرانسیل است که در دو شرط مذکور صدق می‌کند.
مسئله‌ی مقدار اولیه Initial Value Problem
مسئله‌ی مقدار اولیه (یا به طور اختصار IVP) یک معادله دیفرانسیل همراه با تعداد مناسبی شرایط اولیه است.
مثال 3
آنچه در زیر آمده یک IVP است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1000.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1014.jpg , http://pnu-club.com/imported/2009/12/1015.jpg
مثال 4
یک نمونه IVP دیگر.
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1018.jpg http://pnu-club.com/imported/2009/12/1019.jpg
همان طور که قبلا اشاره شد، تعداد شرایط اولیه‌ی لازم برای حل، به مرتبه‌ی معادله دیفرانسیل بستگی دارد.
بازه‌ی اعتبار Validity Interval
بازه‌ی اعتبار یک IVP با شرایط اولیه‌ی:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1012.jpg and/or http://pnu-club.com/imported/2009/12/1013.jpg
بزرگترین بازه‌ی ممکنی است که در آن جواب معتبر باشد و شاملhttp://pnu-club.com/imported/2009/12/1020.jpg شود.
برخلاف تعریف ساده، یافتن آن مشکل است، بنابراین در حال حاضر دیگر حرفی از آنها نمی‌زنم و موضوع را به زمانی که واقعا به حل معادلات دیفرانسیل می‌پردازیم و بازه‌ی اعتبار را لازم داریم موکول می‌کنم.
جواب عمومی General Solution
جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل، عمومی‌ترین و کلی‌ترین جوابی است که آن معادله می‌تواند داشته باشد، بدون اینکه شرایط اولیه را در نظر بگیریم.
مثال 5
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1021.jpg جواب عمومی معادله‌ی http://pnu-club.com/imported/2009/12/1022.jpg است.
اثبات اینکه این تابع در واقع یک جواب معادله دیفرانسیل است را به شما واگذار می‌کنم.
در حقیقت تمام جواب‌های معادلات دیفرانسیل چنین فرمی دارند.
این یکی از اولین معادلات دیفرانسلی خواهد بود که شما حل کردن آن را خواهید آموخت و به زودی خودتان این جواب را به دست خواهید آورد.
جواب واقعی Actual Solution
جواب واقعی یک معادله دیفرانسیل، جواب بخصوصی است که نه تنها در معادله صدق می‌کند، بلکه در شرایط اولیه نیز صدق کند.
مثال 6
جواب واقعی IVP زیر چیست؟
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1022.jpg http://pnu-club.com/imported/2009/12/1019.jpg
جواب
در واقع حل این مسئله از آنچه در ابتدا به نظر می‌رسد ساده‌تر است. از مثال قبل فهمیدیم که همه جواب‌های این معادله دیفرانسیل به شکل کلی http://pnu-club.com/imported/2009/12/1021.jpg هستند. (البته فرض را بر این می‌گذاریم که شما این حرف من را در این زمینه قبول دارید)
تنها کاری که لازم است انجام دهیم، یافتن مقدار c به گونه‌ای است که در جواب مورد نظر ما صدق کند. برای پیدا کردن آن کافیست از شرط اولیه به صورت زیر استفاده کنیم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1023.jpg
بنابراین جواب واقعی IVP به صورت زیر خواهد بود:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1024.jpg
از این مثال آخر درمی‌یابیم که پس از پیدا کردن جواب عمومی معادله دیفرانسیل، پیدا کردن جواب واقعی معادله، تنها با به کار بردن شرایط اولیه و حل معادلات حاصله برای یافتن مقادیر ثابت مجهولِ جواب عمومی، امکان پذیر است.
جواب مشهود/غیرمشهود Implicit/Explicit
در این مورد ساده‌تر است که ابتدا جواب مشهود را تعریف کنیم و سپس بگوییم که چه چیزهایی جواب غیرمشهود نیستند، و سپس با مثالی تفاوت‌ها را بیان می‌کنیم.
هر جوابی که به فرم http://pnu-club.com/imported/2009/12/1025.jpg باشد یک جواب مشهود است. به عبارت دیگر تنها جایی که y را می‌بینیم سمت چپ معادله است و تنها به توان یک رسیده است.
جواب غیر مشهود، هر جوابی است که مشهود نباشد.
به این نکته توجه کنید که می‌توان جواب مشهود/غیرمشهودِ عمومی، یا جواب مشهود/غیرمشهودِ واقعی برای یک معادله متصور شد.
مثال 7
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1026.jpg جواب واقعی غیرمشهود برای http://pnu-club.com/imported/2009/12/1027.jpg است.
در حال حاضر از شما می‌خواهم به من در مورد اینکه این جواب واقعا یک جواب معادله است اعتماد کنید. شما نحوه‌ی بدست آوردن این جواب را در فصول بعدی خواهید آموخت.
نکته‌ی مهم در این مثال این است که چون در سمت چپ معادله، به جای یک http://pnu-club.com/imported/2009/12/998.jpg تنها، یک http://pnu-club.com/imported/2009/12/1028.jpg وجود دارد، این جواب نمی‌تواند یک جواب مشهود باشد.
مثال 8
یک جواب واقعی مشهود برای http://pnu-club.com/imported/2009/12/1027.jpg بیابید.
جواب
از مثال قبل می‌دانیم جواب غیرمشهود IVP، http://pnu-club.com/imported/2009/12/1026.jpg است. برای پیدا کردن جواب مشهود، تنها کاری که باید بکنیم حل این معادله بر حسب http://pnu-club.com/imported/2009/12/998.jpg است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1029.jpg
حالا اینجا مشکلی داریم. در اینجا دو تابع بدست آوردیم در حالی که تنها یکی از آنها را می‌خواهیم و در واقع تنها یکی از آنها درست است! جواب درست را با اعمال دوباره‌ی شرایط اولیه می‌توان پیدا کرد. تنها یکی از آنها در شرایط اولیه صدق می‌کنند.
در این مورد می‌توان دید که جواب منفی جواب صحیح است. بنابراین جواب مشهود واقعی عبارتست از:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1030.jpg
در این مورد ما توانستیم یک جواب مشهود برای معادله دیفرانسیل بیابیم. ولی باید توجه داشت که همیشه امکان پیدا کردن جواب مشهود وجود ندارد.
همچنین توجه کنید که در این مورد خاص ما تنها قادر بودیم جواب مشهود واقعی را به واسطه‌ی داشتن شرایط اولیه بدست آوریم که به ما کمک کرد بفهمیم کدام یک از دو تابع، جواب درست است.
تا به اینجا اکثر تعاریف اولیه‌ی لازم را آموخته‌ایم و بنابراین آماده‌ایم وارد مباحث بعدی شویم.