نکات كاربردي و مهم در مورد آمار و احتمال

[Borna66]

آمار رشته وسیعی از ریاضی است که راههای جمع آوری، خلاصه سازی و نتیجه گیری از داده ها را مطالعه می کند. این علم برای طیف وسیعی از علوم دانشگاهی از فیزیک و علوم اجتماعی گرفته تا انسان شناسی و همچنین تجارت، حکومت داری و صنعت کاربرد دارد.
آمار رشته وسیعی از ریاضی است که راههای جمع آوری، خلاصه سازی و نتیجه گیری از داده ها را مطالعه می کند. این علم برای طیف وسیعی از علوم دانشگاهی از فیزیک و علوم اجتماعی گرفته تا انسان شناسی و همچنین تجارت، حکومت داری و صنعت کاربرد دارد.

هنگامی که داده ها جمع آوری شدند چه از طریق یک شیوه نمونه گیری خاص یا به وسیله ثبت پاسخ ها در قبال رفتارها در یک مجموعه آزمایشی ( طرح آزمایشcf ) یا به وسیله مشاهده مکرر یک فرایند در طی زمان ( سری های زمانی ) خلاصه های گرافیکی یا عددی را می توان با استفاده از آمار توصیفی به دست آورد.

الگوهای موجه در داده ها سازمان بندی می شوند تا استنباط در مورد جمعیت های بزرگتر به دست آید که این کار با استفاده از آمار استنباطی صورت می گیرد و تصادفی بودن و عدم حتمیت در مشاهدات را شناسایی می کند. این استنباط ها ممکن است به شکل جوابهای بله یا خیر به سؤالات باشد ( آزمون فرض )، مشخصه های عددی را برآورد کند ( تخمین ) ، پیش گویی مشاهدات آتی باشد، توصیف پیوند ها باشد ( همبستگی ) ویا مدل سازی روابط باشد ( رگرسیون ).

شبکه توصیف شده در بالا گاهی اوقات به عنوان آمار کاربردی اطلاق می شود. در مقابل، آمار ریاضی ( یا ساده تر نظریه آماری ) زیر رشته ای از ریاضی کاربردی است که از تحلیل و نظریه احتمال برای به کارگیری آمار برروی یک پایه نظری محکم استفاده می کند.

[Borna66]

● احتمال

کلمه احتمال از کلمه لاتین probare ( به معنی اثبات یا آزمایش کردن ) منشأ می گیرد. در زبان محاوره، احتمال یکی از چندین لغتی است که برای دانسته یا پیشامدهای غیر حتمی به کار میرود و کم و بیش با لغاتی مثل مشابه، با ریسک، خطرناک، نامطمئن، مشکوک و بسته به متن قابل معاوضه می باشد. شانس، بخت و شرط بندی از لغات دیگری هستند که نشان دهنده برداشت های مشابهی هستند. همانگونه که نظریه مکانیک تعاریف دقیقی از عبارات متداولی مثل کار و نیرو دارد، نظریه احتمال نیز تلاش دارد تا برداشت های احتمال را کمیت سازی کند.

[Borna66]

● روش های آماری


۱) مطالعات تجربی و مشاهداتی


ـ هدف کلی برای یک پروژه تحقیقی آماری، بررسی حوادث اتفاقی بوده و به ویژه نتیجه گیری روی تأثیر تغییرات در مقادیر شاخص ها یا متغیر های مستقل روی یک پاسخ یا متغیر وابسته است. دو شیوه اصلی از مطالعات آماری تصادفی وجود دارد : مطالعات تجربی و مطالعات مشاهداتی . در هر دو نوع از این مطالعات، اثر تغییرات در یک یا چند متغیر مستقل روی رفتار متغیر های وابسته مشاهده می شود. اختلاف بین این دو شیوه درچگونگی مطالعه ای است که عملاً هدایت می شود.


ـ یک مطالعه تجربی در بردارنده روش های اندازه گیری سیستم تحت مطالعه است که سیستم را تغییر می دهد و سپس با استفاده از روش مشابه اندازه گیری های اضافی انجام می دهد تا مشخص سازد که آیا تغییرات انجام شده، مقادیر شاخص ها را تغییر می دهد یا خیر. در مقابل یک مطالعه مشاهداتی، مداخلات تجربی را در بر نمی گیرد. در عوض داده ها جمع آوری می شوند و روابط بین پیش بینی ها و پاسخ بررسی می شوند.

ـ یک نمونه از مطالعه تجربی، مطالعات Hawthorne مشهور است که تلاش کرد تا تغییرات در محیط کار را در کمپانی الکتریک غربی Howthorne بیازماید. محققان علاقه مند بودند که آیا افزایش نور می تواند کارایی را در کارگران خط تولید افزایش دهد. محققان ابتدا کارایی را در کارخانه اندازه گیری کردند و سپس میزان نور را در یک قسمت از کارخانه تغییر دادند تا مشاهده کنند که آیا تغییر در نور می تواند کارایی را تغییر دهد. به واسطه خطا در اقدامات تجربی، به ویژه فقدان یک گروه کنترل، محققان در حالی که قادر نبودند آنچه را که طراحی کرده بودند، انجام دهند توانستند که محیط را با شیوه Hawthorne آماده سازند.


ـ یک نمونه از مطالعه مشاهداتی، مطالعه ایست که رابطه بین سیگار کشیدن و سرطان ریه را بررسی می کند. این نوع از مطالعه به طور اختصاصی از یک آمار گیری ( پیمایش ) استفاده می کند تا مشاهدات مورد علاقه را جمع آوری کند و سپس تجزیه و تحلیل آماری انجام دهد. در این مورد، محققان مشاهدات افراد سیگاری و غیر سیگاری را جمع آوری می کنند و سپس به تعداد موارد سرطان ریه در هر دو گروه توجه می کنند.

[Borna66]

راحل پایه برای انجام یک تجربه عبارتند از :


ـ برنامه ریزی تحقیق شامل تعیین منابع اطلاعاتی، انتخاب موضوع تحقیق و ملاحظات اخلاقی برای تحقیق و روش پیشنهادی.

ـ طراحی آزمون شامل تمرکز روی مدل سیستم و اثر متقابل متغیر های مستقل و وابسته.

ـ خلاصه سازی از مجموعه مشاهدات برای جامعیت بخشیدن به آنها با حذف جزئیات ( آمار توصیفی ).

ـ رسیدن به اجماع در مورد آنچه مشاهدات درباره دنیایی که مشاهده می کنیم به ما می گویند ( استنباط آماری ).

ـ ثبت و ارائه نتایج مطالعه.

۲) سطوح اندازه گیری

چهار نوع یا مقیاس اندازه گیری در آمار استفاده می شود. چــهار نوع یا سطح اندازه گیری ( ترتیبی، اسمی، بازه ای و نسبی ) دارای درجات متفاوتی از سودمندی در تحقیقات آماری دارند. اندازه گیری نسبی در حالی که هم یک مقدار صفر و فاصله بین اندازه های متفاوت تعریف می شود بیشترین انعطاف پذیری را در بین روش های آماری دارد که می تواند برای تحلیل داده ها استفاده شود. مقیاس تناوبی با داشتن فواصل معنی دار بین اندازه ها اما بدون داشتن میزان صفر معنی دار ( مثل اندازه گیری IQ یا اندازه گیری درجه حرارت در مقیاس سلسیوس ) در تحقیقات آماری استفاده می شود.


۳) تکنیک های آماری

بعضی از آزمون ها و روش های آماری برای مشاهدات تحقیقی آماری شناخته شده عبارتند از :



▪ آزمون تی استیودنت


▪ آزمون توان دوم کای ( خی دو )


▪ آنالیز واریانس ( ANOVA)

▪ آزمون Mann-Whitney U

▪ تحلیل رگرسیون

▪ همبستگی

▪ آزمون کمترین تفاوت معنی دار ( LSD ) فیشر


▪ ضریب همبستگی حاصل ضرب گشتاوری پیرسون


▪ ضریب همبستگی رتبه ای اسپیرمن

[Borna66]

نظریه عمومی احتمال به دو اصل وابسته تقسیم می شود :


▪ احتمال کتّره ای : که نشان دهنده احتمال پیشامدهای آینده است که به وسیله بعضی از پدیده های فیزیکی تصادفی هدایت می شود. این اصل را می توان به پدیده های فیزیکی که با اطلاعات کافی اصولاً قابل پیش بینی اند و پدیده هایی که اساساً قابل پیش بینی نیستند تقسیم بندی کرد. نمونه هایی از نوع اول شامل پرتاب تاس یا بازی رولت در قمار است و یک مثال از نوع دوم از بین رفتن ماده رادیو اکتیویته است.

▪ احتمال شناختیک : که نشان دهنده عدم قاطعیت ما در مورد گزاره ای است وقتی که فرد آگاهی کامل از شرایط اتفاقی ندارد. چنین گزاره هایی ممکن است در مورد پیشامدهای گذشته یا آینده باشد اما نیاز به آن نیست. بعضی مثال ها از احتمال شناختیک آنهایی هستند که در آن ها یک احتمال به گزاره ای داده می شود که در آن یک قانون پیشنهادی فیزیک به وقوع پیوسته است و تعیین اینکه چقدر احتمال است که یک مظنون بر اساس شواهد موجود مرتکب جنایت شده باشد.


یک سؤال کلی وجود دارد که آیا احتمال کتره ای به واسطه عدم توانایی ما در پیش بینی دقیق نیروهایی که ممکن است وقوع مرگ را متأثر سازند به احتمال شناختیک تبدیل شود یا اینکه چنین عدم اطمینانی در ماهیت خود واقعیت وجود دارد به ویژه در پدیده های کوانتومی که توسط اصل عدم حتمیت هایزنبرگ بیان شده است.هرچند قوانین ریاضی مشابهی صرفنظر از تفسیر انتخاب شده اعمال می شوند، گزینه انتخابی از نظر احتمال مورد استفاده دارای معانی مهمی است که برای مدل سازی دنیای واقعی به کار می رود.


● فرموله سازی احتمال


مانند سایر نظریه ها، نظریه احتمال نمادی از اصول احتمال در عبارات رسمی - عباراتی که جدا از معنیشان کاربرد داشته باشند - است. این عبارات رسمی به واسطه قوانین ریاضی و منطق متأثر می شوند و هر نتیجه ای از آن بر اساس دامنه مسئله تفسیر و برداشت می شود.


حداقل دو تلاش موفق برای فرموله کردن احتمال انجام شده است که به نام فرمول بندی کلموگروف و کاکس نامیده می شوند. در فرمول بندی کلموگروف، مجموعه ها به صورت پیشامدها و احتمال خود به عنوان معیاری روی یک سری از مجموعه ها تفسیر می شود. در فرمول بندی کاکس، احتمال به عنوان یک مقدمه اولیه قلمداد می شود ( به این معنی که بعداً آنالیز نمی شود ) و تأکید بر روی ساخت یک رابطه سازگار از مقادیر احتمال برای گزاره ها می باشد.

[Borna66]

در هر دو مورد، قوانین احتمال مشابه هستند به جز در مورد جزئیات عملی :


▪ احتمال عددی بین 0 و 1 می باشد.


▪ مجموع احتمال یک پیشامد یا گزاره و مکمل آن برابر 1 است؛ و

▪ احتمال مشترک دو پیشامد یا گزاره برابر با حاصل ضرب احتمال یکی از آن ها و احتمال دومی است به شرطی که اولی رخ دهد.


● نمایش و تفسیر مقادیر احتمال


احتمال یک پیشامد عموماً به صورت یک عدد حقیقی بین 0 و 1 نمایش داده می شود. یک پیشامد غیر محتمل دارای یک احتمال دقیقاً 0 و یک پیشامد حتمی دارای یک احتمال 1 است، اما عکس آن همیشه صادق نیست؛ پیشامدهای با احتمال 0 همیشه غیر ممکن نیستند و همچنین پیشامدهای با احتمال 1 همیشه واقعیت نمی پذیرند.


اغلب احتمالاتی که عملاً رخ می دهند اعدادی بین 0 و 1 هستند که نشان دهنده موقعیت پیشامد روی پیوستگی بین غیر ممکن و حتمیت است. هر چه احتمال پیشامد به 1 نزدیکتر باشد، احتمال وقوع آن بیشتر است.


مثلاً اگر احتمال وقوع دو پیشامد متقابلاً ناسازگار یکسان تصور شود مثل رو یا پشت در پرتاب سکه، ما می توانیم احتمال هر پیشامد را به صورت 1 از 2 یا %50 یا ½ نمایش دهیم.


احتمالات مشابهاً به صورت بخت ها هم نمایش داده می شوند که نسبت احتمال یک پیشامد به احتمال سایر پیشامدهاست. بخت رو شدن در پرتاب سکه (1/2)/(1 - 1/2) است که مساوی با 1/1 است که به صورت بخت 1 به 1 نمایش داده می شود و اغلب به صورت 1:1 نوشته می شود.


بخت های a:b برای یک پیشامد معادل با احتمال a/(a+b) است. مثلاً بخت 1:1 معادل با احتمال ½ است و نمایش 3:2 معادل با احتمال 3/5 است.

این سؤال عملاً باقی می ماند که از احتمال چه انتظاری می توان داشت و چگونه از اعداد و ارقام می توان استفاده کرد. این سؤال همان تفاسیر و برداشت های از احتمال است. افرادی هستند که مدعیند احتمال را می توان بر هر نوع از گزاره های منطقی غیر حتمی به کار برد که همان استنباط بیزی است. در مقابل، افرادی هستند که با این ایده توافق دارند که احتمال برای پیشامدهای تصادفی همانند برآمد بعضی آزمایش های تصادفی خاص کاربرد دارد؛ به عنوان مثال نمونه گیری از یک جمعیت که این تفسیر فراوانی گراست. چندین تفسیر دیگر نیز وجود دارد که فرم اصلاح شده ای از یکی از این دو تفسیر هستند و در حال حاضر از مقبولیت کمتری برخوردار هستند.

[Borna66]

● توزیع ها

توزیع احتمال، تابعی است که احتمال را به پیشامدها یا گزاره ها تخصیص می دهد. برای هر مجموعه از پیشامدها یا گزاره ها راه های مختلفی برای تخصیص احتمالات وجود دارد به طوری که شانس یک توزیع یا دیگری معادل با داشتن تصورات متفاوت درباره پیشامدها یا گزاره های مورد سؤال می باشد.


راه های گوناگون معادلی برای نمایش توزیع احتمال وجود دارد. شاید متداولترین آن ها تابع چگالی احتمال باشد؛ به این معنی که احتمال پیشامد یا گزاره به وسیله انتگرال تابع چگالی به دست می آید. تابع توزیع را می توان همچنین مستقیماً نمایش داد. از یک بعد، تابع توزیع، تابع توزیع تجمعی نامیده می شود. توزیع های احتمال را می توان از طریق گشتاورها یا تابع مشخصه یا به روش های دیگر نیز نمایش داد.
یک توزیع، توزیع گسسته نامیده می شود اگر آن روی یک مجموعه گسسته شمارش پذیر مثل زیر مجموعه ای از اعداد صحیح تعریف شود. یک توزیع، توزیع پیوسته نامیده می شود اگر دارای یک تابع توزیع پیوسته باشد مثل تابع چند جمله ای یا تابع نمایی. اغلب توزیع های با اهمیت کاربردی از نوع گسسته یا پیوسته هستند اما نمونه هایی از توزیع ها هستند که شامل هیچکدام از اینها نمی شوند.


توزیع های مهم گسسته شامل توزیع گسسته یکنواخت، توزیع پواسون،‍ توزیع دو جمله ای، توزیع دو جمله ای منفی و توزیع ماکسول-بولتزمن می باشند.

توزیع های مهم پیوسته شامل توزیع نرمال، توزیع گاما، توزیع تی استیودنت و توزیع نمایی هستند.

[Borna66]

▪ احتمال در ریاضیات


اصول موضوع احتمال، اساس نظریه احتمال ریاضیات را تشکیل می دهند. محاسبه احتمالات را اغلب می توان با استفاده از ترکیبات یا مستقیماً با کاربرد اصول موضوع تعیین کرد.کاربردهای احتمال حتی بیشتر از آمار است که معمولاً بر روی ایده توزیع های احتمال و قضیه حد مرکزی پایه ریزی شده است.

برای به دست آوردن یک مفهوم ریاضی از احتمال، پرتاب یک سکه را در نظر بگیرید. بدیهی است که احتمال آن که در هر پرتاب سکه رو بیاید %50 است اما این وضعیت به تنهایی فاقد صلابت ریاضی است؛ به این معنی که ما باید چنین انتظار داشته باشیم که با پرتاب 10 بار سکه 5 رو و 5 پشت به دست آید اما هیچ تضمینی که این رخ دهد وجود ندارد. برای مثال این احتمال است که پشت سر هم 10 بار رو بیاید. پس مفهوم %50 در این متن چیست ؟

یک راه، استفاده از قانون اعداد بزرگ است. در این مورد، ما تصور می کنیم که می توانیم هر تعداد پرتاب سکه را انجام دهیم و هر پرتاب سکه مستقل است یعنی که برآمد هر پرتاب سکه به وسیله پرتاب قبلی تحت تأثیر قرار ندارد. اما ما N مرتبه پرتاب سکه داشته باشیم و اگر Nн تعداد مرتبه هایی باشد که رو بیاید پس ما می توانیم برای هر N نسبت Nн/N را در نظر بگیریم.

هر قدر N بزرگ و بزرگ تر شود، ما انتظار داریم که نسبت Nн/N به ½ نزدیک و نزدیک تر شود. این به ما اجازه می دهد که احتمال Pr(H)



رو های سکه را به صورت حد ( ریاضی ) تعریف کنیم، هنگامی که N به سمت بی نهایت میل میکند :


البته در کاربرد عملی، ما نمی توانیم یک سکه را به تعداد بی نهایت پرتاب کنیم بنابراین عملاً این فرمول باید در موقعیت هایی به کار گرفته شود که در آن ها از قبل یک احتمال اولیه ای برای یک برآمد خاص تعیین کرده ایم ( در این مورد فرض ما این است که سکه سالم است ). قانون اعداد بزرگ به ما می گوید که Pr(H) داده شده و یا به ازای هر عدد کوچـک اختیاری є، عدد n ای وجود دارد که برای تمام N > nداریم :



به عبارت دیگر، منظور ما از گفتن « احتمال رو ها ½ است » این است که اگر ما سکه را به اندازه کافی پرتاب کنیم نهایتاً تعداد رو ها نسبت به تعداد کل پرتاب به ½ نزدیک می شود و سپس به هر اندازه که تعداد بیشتری پرتاب انجام دهیم ما به ½ نزدیک تر می شویم.


توجه کنید که یک تعریف کامل، مستلزم نظریه اندازه است که قادر به حذف مواردی است که مقادیر بالاتر از محدوده جواب درست نمی دهند یا حتی با نمایش مواردی که دارای میزان صفر هستند نیز محدود نشده است.
جنبه اولیه این روش کاربرد احتمال، گاهی در هنگام مواجهه با موقعیت های دنیای واقعی با مشکل روبه رو می شود. برای مثال اگر شما یک سکه را پرتاب کنید و پشت سر هم رو بیاید برای صد مرتبه شما نمی توانید تصمیم بگیرید که آیا این تنها یک پیشامد تصادفی محض است اگر چه ممکن است ( هرچند بعید ) که یک سکه سالم این نتیجه را بدهد یا اینکه تصور شما این خواهد بود که سکه سالم دچار اشکال می باشد.

[Borna66]

▪ نکات قابل توجه در محاسبات احتمال


سختی محاسبات احتمال در تعیین تعداد پیشامدهای ممکن، شمارش رخدادهای هر پیشامد و شمارش تعداد کل پیشامدهای ممکن است. اشکال خاص در به دست آوردن نتایج معنی دار از احتمالات محاسبه شده است. یک معمای سرگرم کننده احتمال به نام مسئله Monty Hall به زیبایی چالش های موجود را نشان می دهد.

[Borna66]

▪ کاربرد های نظریه احتمال در زندگی روزمره


یک تأثیر مهم نظریه احتمال در زندگی روزمره در ارزیابی ریسک پذیری و در تجارت در مورد خرید و فروش اجناس می باشد. حکومت ها به طور خاص روشهای احتمال را در تنظیم جوامع اعمال می کنند که به عنوان « آنالیز خط مشی » نامیده می شود و غالباً سطح رفاه را با استفاده از متدهایی که در طبیعت تصادفیند اندازه می گیرند و برنامه هایی را انتخاب می کنند تا اثر احتمال آن ها را روی جمعیت به صورت کلی از نظر آماری ارزیابی کنند. این گفته صحیح نیست که آمار، خود در مدل سازی درگیر هست زیرا که ارزیابی های میزان ریسک وابسته به زمان هستند و بنابراین مستلزم مـدل های احتمال قوی تر هستند؛ مثلاً « احتمال9/11 دیگری »؛ قانون اعداد کوچک در جنین مواردی اعمال می شود و برداشت اثر چنین انتخاب هایی است که روش های آماری را به صورت یک موضوع سیاسی در می آورد.


یک مثال خوب اثر احتمال قلمداد شده از مجادلات خاورمیانه بر روی قیمت نفت است که دارای اثرات متلاطمی از لحظ آماری روی اقتصاد کلی دارد. یک ارزیابی توسط یک واحد تجاری در مورد این که احتمال وقوع یک جنگ زیاد است یا کم باعث نوسان قیمت ها می شود و سایر تجار را برای انجام کار مشابه تشویق می کند. مطابق با این اصل، احتمالات به طور مستقل ارزیابی نمی شوند و ضرورتاً به طور منطقی برخورد صورت نمی گیرد. نظریه اعتبارات رفتاری، به وجود آمده است تا اثر این تفکرات گروهی را روی قیمت ها، سیاست ها و روی صلح و مجادله توضیح دهد.


به طور استدلالی می توان گفت که کشف روش های جدی برای ارزیابی و ترکیب ارزیابی های احتمالی دارای اثر شدیدی روی جامعه مدرن داشته است. یک مثال خوب کاربرد نظریه بازی ها که به طور بنیادین بر پایه احتمال ریخته شده است در مورد جنگ سرد و دکترین انهدام با اطمینان بخشی متقابل است. مشابهاً ممکن است برای اغلب شهروندان دارای اهمیت باشد که بفهمند چگونه بخت ها و ارزیابی های احتمال صورت می گیرد و چگونه آن ها می توانند در تصمیم گیری ها به ویژه در زمینه دموکراسی دخالت کنند.


کاربرد مهم دیگر نظریه احتمال در زندگی روزمره، اعتبار است. اغلب تولیدات مصرفی مثل اتومبیل و وسایل الکترونیکی در طراحی آن ها از نظریه اعتبار استفاده می شود به نحوی که احتمال نقص آن ها کاهش یابد. احتمال نقص با مدت ضمانت فرآورده معمولاً ارتباط نزدیک دارد.