متغیر تصادفی چیست؟

[Borna66]

در آمار و احتمال متغیر تصادفی متغیری است که مقدار آن از اندازه گیری برخی از انواع فرآیندهای تصادفی بدست می آید. بطور رسمی تر، متغیر تصادفی تابعی است ازفضای نمونه‌ای به اعداد حقیقی. () بطور مستقیم متغیر تصادفی توصیف عددی خروجی یک آزمایش است (مثل برآمدهای ممکن از پرتاب دو تاس (۱و۱) و (۱و۲) و غیره) متغیرهای تصادفی به دو نوع گسسته (متغیر تصادفی که ممکن است تعداد محدود یا توالی نامحدودی از مقادیر را بگیرد) یا پیوسته (متغیری که ممکن است هر مقدار عددی در یک یا چند بازه را بگیرد)طبقه بندی میشوند. مقادیر ممکنه یک متغیر تصادفی می تواند نشان دهنده این موارد باشد: برآمدهای آزمایشی که هنوز انجام نشده یا مقادیر بالقوه یک کمیت که مقدارهای موجود آن نامطمئن هستند (مثلا درنتیجه اطلاعات ناقص یا اندازه گیری نادقیق). یک متغیر تصادفی می تواند بعنوان یک کمیت که مقدارش ثابت نیست و مقادیر مختلفی را می‌تواند بگیرد در نظر گرفته شود و توزیع احتمال برای توصیف احتمال اتفاق افتادن آن مقادیر استفاده میشود. متغیرهای تصادفی معمولا با اعداد حقیقی مقداردهی میشوند ولی میتوان انواع دلخواهی مانند مقدارهای بولی، اعداد مختلط، بردارها، ماتریس ها، دنباله ها، درخت ها، مجموعه ها، شکل ها، منیوفیلدها، توابع و فرآیندها را درنظر گرفت. عبارت المان تصادفی همه این نوع مفاهیم را دربرمی گیرد. متغیرهای تصادفی که با اعداد حقیقی مقداردهی میشوند، در علوم برای پیش بینی براساس داده های بدست آمده از آزمایشهای علمی استفاده میشوند. علاوه بر کاربردهای علمی متغیرهای تصادفی برای آنالیز بازیهای قمار و پدیده های تصادفی بوجود آمدند. در چنین مواردی تابعی که خروجی را به یک عدد حقیقی می نگارد معمولا یک تابع همانی یا بطور مشابه یک تابع بدیهی است و بطور صریح توصیف نشده است. با این وجود در بسیاری از موارد بهتر است متغیر تصادفی را بصورت توابعی از سایر متغیرهای تصادفی درنظر بگیریم که دراینصورت تابع نگاشت استفاده شده در تعریف یک متغیر تصادفی مهم میشود. بعنوان مثال، رادیکال یک متغیر تصادفی با توزیع استاندارد(نرمال) خود یک متغیر تصادفی با توزیع کی دو است. شهود این مطلب بدین صورت است که تصور کنید اعداد تصادفی بسیاری با توزیع نرمال تولید کرده و از هرکدام رادیکال بگیریم و سپس هیستوگرام داده های بدست آمده را بکشیم در اینصورت اگر داده ها به تعداد کافی باشند، نمودار هیستوگرام تابع چگالی توزی کی دو را با یک درجه آزادی تقریب خواهد زد

محتویات ۱ نام‌های دیگر ۲ انواع ۳ چند مثال ۴ تابع توزیع تجمعی ۵ تابع یک متغیر تصادفی ۵.۱ مثال۱ ۵.۲ مثال ۲ ۶ تساوی دو متغیر تصادفی ۶.۱ تساوی در توزیع ۶.۲ تقریباً همه جا برابر یا قریب به یقین برابر ۶.۳ تساوی ۷ جستارهای وابسته ۸ پانویس ۹ منابع ۱۰ پا نوشته ها

نام‌های دیگر

در برخی از کتاب‌های قدیمی‌تر به جای «متغیر تصادفی»، اصطلاح‌های «متغیر شانسی» و «متغیر استوکاستیکی» هم به کار رفته است.^[۱]
انواع

• متغیر تصادفی گسسته
• متغیر تصادفی پیوسته

با توجه به وضع شمارایی فضای نمونه‌ای S، متغیر می‌تواند گسسته یا پیوسته باشد. اگر S متناهی یا نامتناهی شمارا باشد متغیر تصادفی X گسسته و اگر ناشمارا باشد X پیوسته خواهد بود.
یک توزیع همچنین می تواند از نوع مختلط (mixed) باشد به این صورت که بخشی از آن مقادیر خاصی را بگیرد و بخش دیگر آن مقادیر روی یک بازه را بگیرد.
چند مثال

نتایج ممکن برای آزمایش پرتاب سکه شیر و خط است پس { شیر، خط }= می توانیم متغیر تصادفی را به صورت زیر تعریف کنیم

اگر فرض کنیم که احتمال شیر یا خط آمدن یکسان و برابر است آنگاه تابع جرمی احتمال ( pmf ) به صورت زیر است.

برای توصیف نتیجه یک پرتاب تاس نیز می توان از متغیر تصادفی استفاده کرد فضای حالت را به شکل مجموعه {۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶}= زیر در نظر می گیریم اگر متغیر تصادفی X را مساوی با نتیجه تاس تعریف کنیم آنگاه:


و pmf این متغیر به صورت زیر خواهد بود.

به عنوان یک مثال برای حالت پیوسته یک دیسک گردان که با چرخش خود می تواند جهتی را در افق مشخص کند در نظر بگیرید می توانیم جهت را با شمال و شمال شرق و ... نشان دهیم اما متداول تر است که جهات را بع اعداد حقیقی نسبت دهیم.برای این کار فرض می کنیم که نتیجه آزمایش را با زاویه ای که با سمت شمال می سازد توصیف کنیم در این صورت متغیر تصادفی میتواند مقادیر بازه (۰،۳۶۰] را بگیرد.در این حالت اگر X را به عنوان متغیر تصادفی برابر با زاویه با شمال قرار دهیم احتمال وقوع هر X حقیقی برابر ۰ خواهد بود اما احتمال انتخاب شدن یک بازه مقداری بزرگتر از صفر خواهد بود برای مثال احتمال این که X در بازه [۰،۱۸۰] قرار داشته باشد برابر ۰.۵ است. در این حالت به جای استفاده از تابع جرمی احتمال از تابع چگالی احتمال استفاده می کنیم و می گوییم که چگالی احتمال X برابر ۱/۳۶۰ است و احتمال قرار گرفتن X در بازه ای به طول L برابر L/۳۶۰ است در حالت کلی برای حساب کردن احتمال قرار گرفتن X در یک بازه باید از تابع چگالی احتمال روی آن بازه انتگرال بگیریم.
یک مثال برای حالت مختلط این است که سکه را برتاب کنیم و در صورت این مه نتیجه شیر بود دیسک را بجرخانیم اگر نتیجه خط بود X=-۱ و اگر شید بود X برابر با زاویه با شمال است در این صورت احتمال X=-۱ برابر ۰.۵ خواهد بود و احتمال حالت پیوسته را نیز با توجه به مثال قبل می توان حساب کرد(چگالی احتمال برابر ۱/۷۲۰ است).
تابع توزیع تجمعی

تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی X به شکل زیر تعریف می شود.

به عبارتی این تابع احتمال این که نتیجه از عددی خاص کوچکتر باشد را به ما می دهد.برخی از خواص این تابع در زیر آمده است.
۱-تابع تابعی صعودی است.
۲- (حد در بی نهایت)
۳-
تابع یک متغیر تصادفی

اگر X یک متغیر تصادفی روی باشد و باشد آنگاه نیز یک متغیر تصادفی روی خواهد بود. تابع توزیع تجمعی از رابطه زیر تبعیت می کند

اگر g معکوس پذیر باشد یعنی g^−۱ وچود داشته باشد و با فرض صعودی بودن g می توان به رابطه زیر رسید.

با فرض معکوس پذیری و مشتق پذیری می توان با مشتق گرفتن از دو طرف رابطه بالا نسبت به y رابطه ای بین دو تابع چگالی احتمال نیز پیدا کرد که به شکل زیر است
.
اکر رابطه معگوس پذیری برقرار نباشد اما تعداد ریشه های g برای هر مقدار y تعداد شمارایی باشد (یعنی تعداد محدود یا شمارا نامحدودی ریشه برای (y = g(x_i داشته باشیم) رابطه بین دو تابع چگالی احتمال به صورت زیر در می آید.

که (x_i = g_i^-۱(y.
مثال۱

فرض کنید که X یک متغیر تصادفی پیوسته و حقیقی مقدار باشد و Y = X^۲.
اگر y < ۰ آنگاه P(X ^۲ ≤ y) = ۰، پس

اگر y ≥ ۰ آنگاه:

پس


مثال ۲

فرض کنید X یک متغیر تصادفی با CDF زیر باشد که یک مقدار ثابت و بزرگتر از صفر است

و تابع y با ضابطه داده شده است.
داریم:

عبارت بالا برحسب تابع توزیع تجمعی X قابل محاسبه است بنابراین

(منظور از log لگاریتم طبیعی (Ln) است.)
تساوی دو متغیر تصادفی

تعابیر مختلفی برای تساوی دو متغیر تصادفی وجود دارد. دو متغیر می توانند مساوی باشند یا در توزیع مساوی باشند (equal in distribution) یا تقریباً همه جا برابر (almost surely equality) باشند.
تساوی در توزیع

اگر دو تابع X و Y تابع توزیع یکسانی داشته باشند میگوییم در توزیع مساوی هستند
دو توزیع که تابع مولد گشتاور یکسانی دارند در توزیع مساوی هستند.
تقریباً همه جا برابر یا قریب به یقین برابر

این تساوی در صورتی برقرار است که احتمال تفاوت X و Y صفر باشد.
تساوی

دو متغیر تصادفی X و Y مساوی هستند اگر به عنوان تابع روی فضای نمونه یکسان باشند

[reyhane92]

بخش ۳ امار واقعا سخته !

[Borna66]

بخش ۳ امار واقعا سخته !

باسلام

واقعا این امار اینقدر فرمول داره و فرمولهایش هم اینقدر شبیه هم هست حسابی گیچ میشه و کلا درس بی خودی هست که مجبورا باید پاس بشه متاسفانه

روزگار خوش