آموزش انتگرال در رياضي

[Borna66]

آموزش انتگرال

انتگرالها یک بحث اساسی ریاضیات عالی را تشکیل داده که میتوان کاربرد آنرا درتمام علوم طبیعی، انسانی وغیره مورد مطالعه قرارداد.
اولین بار لایب نیتس نماد استانداردی برای انتگرال معرفی کرد. http://pnu-club.com/imported/2009/06/8.png aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.
از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می‌دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی پایه گذاری شده است.

تابع اولیه
هر گاه معادله مشتق تابعی معلوم باشد وبخواهیم معادله اصلی تابع را تعیین کنیم این عمل را تابع اولیه می نامیم.
تعریف: تابع اولیه y = f(x)را تابعی مانند Y = F(x) + c می نامیم،هرگاه داشته باشیم:
cعدد ثابت (y = F(x) + c)' = y = f(x)

[Borna66]

انتگرال نامعین
تعریف:هرگاه معادله دیفرانسیلی تابعی معلوم باشد وبخواهیم معادله اصلی تابع را معلوم کنیم این عمل راانتگرال نا معیین نامیده و آن را با نماد http://pnu-club.com/imported/2009/06/9.png نمایش می دهند.
بنا به تعریف نمادhttp://pnu-club.com/imported/2009/06/10.png را انتگرال نامعین نامیده وحاصل آن را تابعی مانندF(x) + c در نظر میگیریم هر گاه داشته باشیم:

http://pnu-club.com/imported/2009/06/11.png با شرط: (F(x) + c)' = f(x)

[Borna66]

انتگرال معین
بنا به تعریف نمادhttp://pnu-club.com/imported/2009/06/12.png را انتگرال معین نامیده و حاصل آن را عددی به صورت زیر تعریف میکنیم: a<x<b

http://pnu-club.com/imported/2009/06/13.png

aوb را به ترتیب کرانهای بالا و پایین انتگرال مینامیم.

[Borna66]

تابع انتگرال‌پذیر
اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال‌پذیر گویند.

تعبیر هندسی انتگرال
از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.

نکته! انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال سه گانه)معرف حجم محصور زیر نمودار است.
انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (0,10) در واقع پیدا کردن مساحت محصور بین خطوط x=0 , x=10 و خم منحنی fx است. aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

[Borna66]

انتگرال گیری
انتگرال گیری به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روشها وقوانین انتگرال گیری است.
1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می‌‌گیریم. 2.پاد مشتق f را پیدا می‌‌کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: 3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می‌‌گیریم:

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.
به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارت‌اند از :


انتگرال گیری به‌وسیله تغییر متغیر
انتگرال گیری جزء به جزء : http://pnu-club.com/imported/2009/06/14.png
انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
انتگرال گیری به‌وسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌‌رود همچنین می‌‌توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می‌‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.
محاسبه سطح زیر نمودار به‌وسیله مستطیل هایی زیر نمودار. هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک می‌شوندمقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی‌ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می‌‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌‌کند.

[Borna66]

جدول كامل فرمول های انتگرال


Rules for integration of general functions
http://pnu-club.com/imported/2009/06/15.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/16.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/17.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/18.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/19.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/20.png

Rational functions
http://pnu-club.com/imported/2009/06/21.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/22.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/23.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/24.png

Irrational functions
http://pnu-club.com/imported/2009/06/25.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/26.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/27.png

Logarithms
http://pnu-club.com/imported/2009/06/28.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/29.png

Exponential functions
http://pnu-club.com/imported/2009/06/30.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/31.png

Trigonometric functions
http://pnu-club.com/imported/2009/06/32.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/33.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/34.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/35.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/36.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/37.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/38.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/39.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/40.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/41.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/42.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/43.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/44.pnghttp://pnu-club.com/imported/2009/06/45.png http://pnu-club.com/imported/2009/06/46.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/47.png

Hyperbolic functions
http://pnu-club.com/imported/2009/06/48.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/49.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/50.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/51.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/52.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/53.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/54.png

Inverse hyperbolic functions
http://pnu-club.com/imported/2009/06/55.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/56.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/57.png http://pnu-club.com/imported/2009/06/58.png http://pnu-club.com/imported/2009/06/59.png http://pnu-club.com/imported/2009/06/60.png


Definite integrals lacking closed-form antiderivatives
http://pnu-club.com/imported/2009/06/61.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/62.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/63.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/64.png
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
http://pnu-club.com/imported/2009/06/65.png (if n is an even integer and http://pnu-club.com/imported/2009/06/66.png) http://pnu-club.com/imported/2009/06/67.png (if http://pnu-club.com/imported/2009/06/68.png is an odd integer and http://pnu-club.com/imported/2009/06/69.png)
http://pnu-club.com/imported/2009/06/70.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/71.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/72.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/73.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/74.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/75.png (http://pnu-club.com/imported/2009/06/76.png, http://pnu-club.com/imported/2009/06/77.png
http://pnu-club.com/imported/2009/06/78.png

[Borna66]

انتگرال

در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، از انتگرال یک تابع برای عمومیت دادن به محاسبه مساحت ، حجم ، جرم یک تابع استفاده می شود. فرایند پیدا کردن جواب انتگرال را انتگرال گیری گویند.البته تعاریف متعددی برای انتگرال گیری وجود دارد ولی در هر حال جواب مشابه ای از این تعاریف بدست می آید. انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (a,b) در واقع پیدا کردن مساحت بین خطوط x=0 , x=10 و خم منفی F است . پس انتگرال F بین a و b در واقع مساحت زیر نمودار است. اولین بار لایب نیتس نماد استانداری برای انتگرال معرفی کرد و به عنوان مثال انتگرال f بین a و b رابه صورت http://pnu-club.com/imported/2009/06/79.png نشان می دهند علامت http://pnu-club.com/imported/2009/06/80.png ،انتگرال گیری از تابع f را نشان می دهند ،aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

http://pnu-club.com/imported/2009/06/1032.jpg

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.


از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی
پایه گذاری شده است به عنوان مثال تابع f را بین x=0 تا x=10 در نظر بگیرید ،مساحت زیر نمودار در واقع مساحت مستطیل خواهدبود که بین x=0 ،x=10 ،y=0 ،y=3 محصور شده است یعنی دارای طول 10 و عرض 3است پس مساحت آن برابر 30 خواهد بود .

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال پذیر گویند و تابعی که از انتگرال گیری از یک تابع حاصل می شود تابع اولیه گویند . اگر انتگرال گیری از تابع در یک محدوده خاص باشند به آن انتگرال معین گویند که نتیجه آن یک عدد است ولی اگر محدوده آن مشخص نباشد به آن انتگرال نامعین گویند.


محاسبه انتگرال

اکثر روش های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:

1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می گیریم .
2.پاد مشتق f را پیدا می کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: http://pnu-club.com/imported/2009/06/81.png
3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می گیریم:

http://pnu-club.com/imported/2009/06/82.png

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر http://pnu-club.com/imported/2009/06/83.png خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم .
معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارتند از :



انتگرال گیری بوسیله تغییر متغیر
انتگرال گیری جزء به جزء
انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
انتگرال گیری بوسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می رود همچنین می توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید .

تقریب انتگرالهای معین



http://pnu-club.com/imported/2009/06/89.gif

محاسبه سطح زیر نمودار بوسیله مستطیل هایی زیر نمودار.
هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک میشوندمقدار دقیق تری
از مقدار انتگرال بدست میآید.


انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است.
از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می کند .

تعریف های انتگرال


از مهم ترین تعاریف در انتگرال می توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبسکی(lebesgue) است. انتگرال ریمان بوسیله برنهارد ریمان در سال 1854 ارئه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می داد تعریف دیگر را هنری لبسکی ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می کرد.
از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال میتوان به انتگرال riemann-stieltjes اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زیر از مهمترین تعاریف انتگرال میباشند: