Borna66
06-26-2012, 11:07 PM
در آمار و احتمال متغیر تصادفی متغیری است که مقدار آن از اندازه گیری برخی از انواع فرآیندهای تصادفی بدست می آید. بطور رسمی تر، متغیر تصادفی تابعی است ازفضای نمونه‌ای به اعداد حقیقی. () بطور مستقیم متغیر تصادفی توصیف عددی خروجی یک آزمایش است (مثل برآمدهای ممکن از پرتاب دو تاس (۱و۱) و (۱و۲) و غیره) متغیرهای تصادفی به دو نوع گسسته (متغیر تصادفی که ممکن است تعداد محدود یا توالی نامحدودی از مقادیر را بگیرد) یا پیوسته (متغیری که ممکن است هر مقدار عددی در یک یا چند بازه را بگیرد)طبقه بندی میشوند. مقادیر ممکنه یک متغیر تصادفی می تواند نشان دهنده این موارد باشد: برآمدهای آزمایشی که هنوز انجام نشده یا مقادیر بالقوه یک کمیت که مقدارهای موجود آن نامطمئن هستند (مثلا درنتیجه اطلاعات ناقص یا اندازه گیری نادقیق). یک متغیر تصادفی می تواند بعنوان یک کمیت که مقدارش ثابت نیست و مقادیر مختلفی را میتواند بگیرد در نظر گرفته شود و توزیع احتمال برای توصیف احتمال اتفاق افتادن آن مقادیر استفاده میشود. متغیرهای تصادفی معمولا با اعداد حقیقی مقداردهی میشوند ولی میتوان انواع دلخواهی مانند مقدارهای بولی، اعداد مختلط، بردارها، ماتریس ها، دنباله ها، درخت ها، مجموعه ها، شکل ها، منیوفیلدها، توابع و فرآیندها را درنظر گرفت. عبارت المان تصادفی همه این نوع مفاهیم را دربرمی گیرد. متغیرهای تصادفی که با اعداد حقیقی مقداردهی میشوند، در علوم برای پیش بینی براساس داده های بدست آمده از آزمایشهای علمی استفاده میشوند. علاوه بر کاربردهای علمی متغیرهای تصادفی برای آنالیز بازیهای قمار و پدیده های تصادفی بوجود آمدند. در چنین مواردی تابعی که خروجی را به یک عدد حقیقی می نگارد معمولا یک تابع همانی یا بطور مشابه یک تابع بدیهی است و بطور صریح توصیف نشده است. با این وجود در بسیاری از موارد بهتر است متغیر تصادفی را بصورت توابعی از سایر متغیرهای تصادفی درنظر بگیریم که دراینصورت تابع نگاشت استفاده شده در تعریف یک متغیر تصادفی مهم میشود. بعنوان مثال، رادیکال یک متغیر تصادفی با توزیع استاندارد(نرمال) خود یک متغیر تصادفی با توزیع کی دو است. شهود این مطلب بدین صورت است که تصور کنید اعداد تصادفی بسیاری با توزیع نرمال تولید کرده و از هرکدام رادیکال بگیریم و سپس هیستوگرام داده های بدست آمده را بکشیم در اینصورت اگر داده ها به تعداد کافی باشند، نمودار هیستوگرام تابع چگالی توزی کی دو را با یک درجه آزادی تقریب خواهد زد
محتویات
۱ نام‌های دیگر
۲ انواع
۳ چند مثال
۴ تابع توزیع تجمعی
۵ تابع یک متغیر تصادفی
۵.۱ مثال۱
۵.۲ مثال ۲
۶ تساوی دو متغیر تصادفی
۶.۱ تساوی در توزیع
۶.۲ تقریباً همه جا برابر یا قریب به یقین برابر
۶.۳ تساوی
۷ جستارهای وابسته
۸ پانویس
۹ منابع
۱۰ پا نوشته ها
نام‌های دیگر در برخی از کتاب‌های قدیمی‌تر به جای «متغیر تصادفی»، اصطلاح‌های «متغیر شانسی» و «متغیر استوکاستیکی» هم به کار رفته است.[۱]
انواع
متغیر تصادفی گسسته
متغیر تصادفی پیوسته
با توجه به وضع شمارایی فضای نمونه‌ای S، متغیر میتواند گسسته یا پیوسته باشد. اگر S متناهی یا نامتناهی شمارا باشد متغیر تصادفی X گسسته و اگر ناشمارا باشد X پیوسته خواهد بود.
یک توزیع همچنین می تواند از نوع مختلط (mixed) باشد به این صورت که بخشی از آن مقادیر خاصی را بگیرد و بخش دیگر آن مقادیر روی یک بازه را بگیرد.
چند مثال نتایج ممکن برای آزمایش پرتاب سکه شیر و خط است پس { شیر، خط }=http://pnu-club.com/imported/2012/06/62.png می توانیم متغیر تصادفی http://pnu-club.com/imported/2012/06/107.png را به صورت زیر تعریف کنیم
http://pnu-club.com/imported/2012/06/108.png اگر فرض کنیم که احتمال شیر یا خط آمدن یکسان و برابر http://pnu-club.com/imported/2012/06/109.png است آنگاه تابع جرمی احتمال ( pmf ) به صورت زیر است.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/110.png
برای توصیف نتیجه یک پرتاب تاس نیز می توان از متغیر تصادفی استفاده کرد فضای حالت را به شکل مجموعه {۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶}=http://pnu-club.com/imported/2012/06/62.png زیر در نظر می گیریم اگر متغیر تصادفی X را مساوی با نتیجه تاس تعریف کنیم آنگاه:
http://pnu-club.com/imported/2012/06/111.png
و pmf این متغیر به صورت زیر خواهد بود.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/112.png
به عنوان یک مثال برای حالت پیوسته یک دیسک گردان که با چرخش خود می تواند جهتی را در افق مشخص کند در نظر بگیرید می توانیم جهت را با شمال و شمال شرق و ... نشان دهیم اما متداول تر است که جهات را بع اعداد حقیقی نسبت دهیم.برای این کار فرض می کنیم که نتیجه آزمایش را با زاویه ای که با سمت شمال می سازد توصیف کنیم در این صورت متغیر تصادفی میتواند مقادیر بازه (۰،۳۶۰] را بگیرد.در این حالت اگر X را به عنوان متغیر تصادفی برابر با زاویه با شمال قرار دهیم احتمال وقوع هر X حقیقی برابر ۰ خواهد بود اما احتمال انتخاب شدن یک بازه مقداری بزرگتر از صفر خواهد بود برای مثال احتمال این که X در بازه [۰،۱۸۰] قرار داشته باشد برابر ۰.۵ است. در این حالت به جای استفاده از تابع جرمی احتمال از تابع چگالی احتمال استفاده می کنیم و می گوییم که چگالی احتمال X برابر ۱/۳۶۰ است و احتمال قرار گرفتن X در بازه ای به طول L برابر L/۳۶۰ است در حالت کلی برای حساب کردن احتمال قرار گرفتن X در یک بازه باید از تابع چگالی احتمال روی آن بازه انتگرال بگیریم.
یک مثال برای حالت مختلط این است که سکه را برتاب کنیم و در صورت این مه نتیجه شیر بود دیسک را بجرخانیم اگر نتیجه خط بود X=-۱ و اگر شید بود X برابر با زاویه با شمال است در این صورت احتمال X=-۱ برابر ۰.۵ خواهد بود و احتمال حالت پیوسته را نیز با توجه به مثال قبل می توان حساب کرد(چگالی احتمال برابر ۱/۷۲۰ است).
تابع توزیع تجمعی تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی X به شکل زیر تعریف می شود.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/113.png
به عبارتی این تابع احتمال این که نتیجه از عددی خاص کوچکتر باشد را به ما می دهد.برخی از خواص این تابع در زیر آمده است.
۱-تابع http://pnu-club.com/imported/2012/06/104.png تابعی صعودی است.
۲- http://pnu-club.com/imported/2012/06/114.png http://pnu-club.com/imported/2012/06/115.png (حد در بی نهایت)
۳- http://pnu-club.com/imported/2012/06/116.png http://pnu-club.com/imported/2012/06/117.png
تابع یک متغیر تصادفی اگر X یک متغیر تصادفی روی http://pnu-club.com/imported/2012/06/118.png باشد و http://pnu-club.com/imported/2012/06/119.png باشد آنگاه http://pnu-club.com/imported/2012/06/120.png نیز یک متغیر تصادفی روی http://pnu-club.com/imported/2012/06/118.png خواهد بود. تابع توزیع تجمعی http://pnu-club.com/imported/2012/06/107.png از رابطه زیر تبعیت می کند
http://pnu-club.com/imported/2012/06/121.png
اگر g معکوس پذیر باشد یعنی g−۱ وچود داشته باشد و با فرض صعودی بودن g می توان به رابطه زیر رسید.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/122.png
با فرض معکوس پذیری و مشتق پذیری می توان با مشتق گرفتن از دو طرف رابطه بالا نسبت به y رابطه ای بین دو تابع چگالی احتمال نیز پیدا کرد که به شکل زیر است
http://pnu-club.com/imported/2012/06/123.png.
اکر رابطه معگوس پذیری برقرار نباشد اما تعداد ریشه های g برای هر مقدار y تعداد شمارایی باشد (یعنی تعداد محدود یا شمارا نامحدودی ریشه برای (y = g(xi داشته باشیم) رابطه بین دو تابع چگالی احتمال به صورت زیر در می آید.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/124.png
که (xi = gi-۱(y.
مثال۱ فرض کنید که X یک متغیر تصادفی پیوسته و حقیقی مقدار باشد و Y = X۲.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/125.png اگر y < ۰ آنگاه P(X ۲ ≤ y) = ۰، پس
http://pnu-club.com/imported/2012/06/126.png
اگر y ≥ ۰ آنگاه:
http://pnu-club.com/imported/2012/06/127.png
پس
http://pnu-club.com/imported/2012/06/128.png مثال ۲ فرض کنید X یک متغیر تصادفی با CDF زیر باشد که http://pnu-club.com/imported/2012/06/129.png یک مقدار ثابت و بزرگتر از صفر است
http://pnu-club.com/imported/2012/06/130.png
و تابع y با ضابطه http://pnu-club.com/imported/2012/06/131.png داده شده است.
داریم:
http://pnu-club.com/imported/2012/06/132.png
عبارت بالا برحسب تابع توزیع تجمعی X قابل محاسبه است بنابراین
http://pnu-club.com/imported/2012/06/133.png
http://pnu-club.com/imported/2012/06/134.pnghttp://pnu-club.com/imported/2012/06/135.pnghttp://pnu-club.com/imported/2012/06/136.png (منظور از log لگاریتم طبیعی (Ln) است.)
تساوی دو متغیر تصادفی تعابیر مختلفی برای تساوی دو متغیر تصادفی وجود دارد. دو متغیر می توانند مساوی باشند یا در توزیع مساوی باشند (equal in distribution) یا تقریباً همه جا برابر (almost surely equality) باشند.
تساوی در توزیع اگر دو تابع X و Y تابع توزیع یکسانی داشته باشند میگوییم در توزیع مساوی هستند
http://pnu-club.com/imported/2012/06/137.png دو توزیع که تابع مولد گشتاور یکسانی دارند در توزیع مساوی هستند.
تقریباً همه جا برابر یا قریب به یقین برابر این تساوی در صورتی برقرار است که احتمال تفاوت X و Y صفر باشد.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/138.png تساوی دو متغیر تصادفی X و Y مساوی هستند اگر به عنوان تابع روی فضای نمونه یکسان باشند
http://pnu-club.com/imported/2012/06/139.png
محتویات
۱ نام‌های دیگر
۲ انواع
۳ چند مثال
۴ تابع توزیع تجمعی
۵ تابع یک متغیر تصادفی
۵.۱ مثال۱
۵.۲ مثال ۲
۶ تساوی دو متغیر تصادفی
۶.۱ تساوی در توزیع
۶.۲ تقریباً همه جا برابر یا قریب به یقین برابر
۶.۳ تساوی
۷ جستارهای وابسته
۸ پانویس
۹ منابع
۱۰ پا نوشته ها
نام‌های دیگر در برخی از کتاب‌های قدیمی‌تر به جای «متغیر تصادفی»، اصطلاح‌های «متغیر شانسی» و «متغیر استوکاستیکی» هم به کار رفته است.[۱]
انواع
متغیر تصادفی گسسته
متغیر تصادفی پیوسته
با توجه به وضع شمارایی فضای نمونه‌ای S، متغیر میتواند گسسته یا پیوسته باشد. اگر S متناهی یا نامتناهی شمارا باشد متغیر تصادفی X گسسته و اگر ناشمارا باشد X پیوسته خواهد بود.
یک توزیع همچنین می تواند از نوع مختلط (mixed) باشد به این صورت که بخشی از آن مقادیر خاصی را بگیرد و بخش دیگر آن مقادیر روی یک بازه را بگیرد.
چند مثال نتایج ممکن برای آزمایش پرتاب سکه شیر و خط است پس { شیر، خط }=http://pnu-club.com/imported/2012/06/62.png می توانیم متغیر تصادفی http://pnu-club.com/imported/2012/06/107.png را به صورت زیر تعریف کنیم
http://pnu-club.com/imported/2012/06/108.png اگر فرض کنیم که احتمال شیر یا خط آمدن یکسان و برابر http://pnu-club.com/imported/2012/06/109.png است آنگاه تابع جرمی احتمال ( pmf ) به صورت زیر است.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/110.png
برای توصیف نتیجه یک پرتاب تاس نیز می توان از متغیر تصادفی استفاده کرد فضای حالت را به شکل مجموعه {۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶}=http://pnu-club.com/imported/2012/06/62.png زیر در نظر می گیریم اگر متغیر تصادفی X را مساوی با نتیجه تاس تعریف کنیم آنگاه:
http://pnu-club.com/imported/2012/06/111.png
و pmf این متغیر به صورت زیر خواهد بود.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/112.png
به عنوان یک مثال برای حالت پیوسته یک دیسک گردان که با چرخش خود می تواند جهتی را در افق مشخص کند در نظر بگیرید می توانیم جهت را با شمال و شمال شرق و ... نشان دهیم اما متداول تر است که جهات را بع اعداد حقیقی نسبت دهیم.برای این کار فرض می کنیم که نتیجه آزمایش را با زاویه ای که با سمت شمال می سازد توصیف کنیم در این صورت متغیر تصادفی میتواند مقادیر بازه (۰،۳۶۰] را بگیرد.در این حالت اگر X را به عنوان متغیر تصادفی برابر با زاویه با شمال قرار دهیم احتمال وقوع هر X حقیقی برابر ۰ خواهد بود اما احتمال انتخاب شدن یک بازه مقداری بزرگتر از صفر خواهد بود برای مثال احتمال این که X در بازه [۰،۱۸۰] قرار داشته باشد برابر ۰.۵ است. در این حالت به جای استفاده از تابع جرمی احتمال از تابع چگالی احتمال استفاده می کنیم و می گوییم که چگالی احتمال X برابر ۱/۳۶۰ است و احتمال قرار گرفتن X در بازه ای به طول L برابر L/۳۶۰ است در حالت کلی برای حساب کردن احتمال قرار گرفتن X در یک بازه باید از تابع چگالی احتمال روی آن بازه انتگرال بگیریم.
یک مثال برای حالت مختلط این است که سکه را برتاب کنیم و در صورت این مه نتیجه شیر بود دیسک را بجرخانیم اگر نتیجه خط بود X=-۱ و اگر شید بود X برابر با زاویه با شمال است در این صورت احتمال X=-۱ برابر ۰.۵ خواهد بود و احتمال حالت پیوسته را نیز با توجه به مثال قبل می توان حساب کرد(چگالی احتمال برابر ۱/۷۲۰ است).
تابع توزیع تجمعی تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی X به شکل زیر تعریف می شود.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/113.png
به عبارتی این تابع احتمال این که نتیجه از عددی خاص کوچکتر باشد را به ما می دهد.برخی از خواص این تابع در زیر آمده است.
۱-تابع http://pnu-club.com/imported/2012/06/104.png تابعی صعودی است.
۲- http://pnu-club.com/imported/2012/06/114.png http://pnu-club.com/imported/2012/06/115.png (حد در بی نهایت)
۳- http://pnu-club.com/imported/2012/06/116.png http://pnu-club.com/imported/2012/06/117.png
تابع یک متغیر تصادفی اگر X یک متغیر تصادفی روی http://pnu-club.com/imported/2012/06/118.png باشد و http://pnu-club.com/imported/2012/06/119.png باشد آنگاه http://pnu-club.com/imported/2012/06/120.png نیز یک متغیر تصادفی روی http://pnu-club.com/imported/2012/06/118.png خواهد بود. تابع توزیع تجمعی http://pnu-club.com/imported/2012/06/107.png از رابطه زیر تبعیت می کند
http://pnu-club.com/imported/2012/06/121.png
اگر g معکوس پذیر باشد یعنی g−۱ وچود داشته باشد و با فرض صعودی بودن g می توان به رابطه زیر رسید.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/122.png
با فرض معکوس پذیری و مشتق پذیری می توان با مشتق گرفتن از دو طرف رابطه بالا نسبت به y رابطه ای بین دو تابع چگالی احتمال نیز پیدا کرد که به شکل زیر است
http://pnu-club.com/imported/2012/06/123.png.
اکر رابطه معگوس پذیری برقرار نباشد اما تعداد ریشه های g برای هر مقدار y تعداد شمارایی باشد (یعنی تعداد محدود یا شمارا نامحدودی ریشه برای (y = g(xi داشته باشیم) رابطه بین دو تابع چگالی احتمال به صورت زیر در می آید.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/124.png
که (xi = gi-۱(y.
مثال۱ فرض کنید که X یک متغیر تصادفی پیوسته و حقیقی مقدار باشد و Y = X۲.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/125.png اگر y < ۰ آنگاه P(X ۲ ≤ y) = ۰، پس
http://pnu-club.com/imported/2012/06/126.png
اگر y ≥ ۰ آنگاه:
http://pnu-club.com/imported/2012/06/127.png
پس
http://pnu-club.com/imported/2012/06/128.png مثال ۲ فرض کنید X یک متغیر تصادفی با CDF زیر باشد که http://pnu-club.com/imported/2012/06/129.png یک مقدار ثابت و بزرگتر از صفر است
http://pnu-club.com/imported/2012/06/130.png
و تابع y با ضابطه http://pnu-club.com/imported/2012/06/131.png داده شده است.
داریم:
http://pnu-club.com/imported/2012/06/132.png
عبارت بالا برحسب تابع توزیع تجمعی X قابل محاسبه است بنابراین
http://pnu-club.com/imported/2012/06/133.png
http://pnu-club.com/imported/2012/06/134.pnghttp://pnu-club.com/imported/2012/06/135.pnghttp://pnu-club.com/imported/2012/06/136.png (منظور از log لگاریتم طبیعی (Ln) است.)
تساوی دو متغیر تصادفی تعابیر مختلفی برای تساوی دو متغیر تصادفی وجود دارد. دو متغیر می توانند مساوی باشند یا در توزیع مساوی باشند (equal in distribution) یا تقریباً همه جا برابر (almost surely equality) باشند.
تساوی در توزیع اگر دو تابع X و Y تابع توزیع یکسانی داشته باشند میگوییم در توزیع مساوی هستند
http://pnu-club.com/imported/2012/06/137.png دو توزیع که تابع مولد گشتاور یکسانی دارند در توزیع مساوی هستند.
تقریباً همه جا برابر یا قریب به یقین برابر این تساوی در صورتی برقرار است که احتمال تفاوت X و Y صفر باشد.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/138.png تساوی دو متغیر تصادفی X و Y مساوی هستند اگر به عنوان تابع روی فضای نمونه یکسان باشند
http://pnu-club.com/imported/2012/06/139.png