آموزش در مورد احتمال شرطی

[Borna66]

احتمال وقوع پدیدهٔ A در حالی که می‌دانیم پدیدهٔ B اتفاق افتاده است، یک احتمال شرطی است. احتمال وقوع A به شرط [وقوع] B بدین شکل قابل محاسبه است[۱]:

http://pnu-club.com/imported/2012/06/39.png


که در آن http://pnu-club.com/imported/2012/06/40.png است.
توضیح اینکه می‌دانیم احتمال وقوع هر پدیدهٔ تصادفی (پیشامد) برابر است با نسبت تعداد اعضای فضای نمونه به تعداد اعضای آن پدیده(پیشامد). در احتمال شرطی، احتمال وقوع پیشامد، http://pnu-club.com/imported/2012/06/41.png است که بیانگر احتمال وقوع همزمان پیشامدهای A و B می‌باشد، و با توجه به اینکه می‌دانیم B حتما اتفاق افتاده، فضای نمونه به B کاهش می‌یابد و نسبت مذکور به صورت فوق محاسبه خواهد.
تعریف

پیشامد شرطی

فرض کنید دو پیشامد http://pnu-club.com/imported/2012/06/42.png و http://pnu-club.com/imported/2012/06/43.png در فضای نمونه ای یکسان داده شده اند، در حالی که http://pnu-club.com/imported/2012/06/40.png است. احتمال شرطی http://pnu-club.com/imported/2012/06/42.png در حالی که http://pnu-club.com/imported/2012/06/43.png داده شده باشد، خارج قسمت تقسیم احتمال غیر شرطی توزیع احتمال توام http://pnu-club.com/imported/2012/06/42.png و http://pnu-club.com/imported/2012/06/43.png، و احتمال غیر شرطی http://pnu-club.com/imported/2012/06/43.png است.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/44.png رابطه بالا که تعریف چگونگی محاسبه احتمال شرطی است، توسط کولموگروف تعریف شده است. گرچه، نویسندگان دیگری مانند دفینیتی ترجیح میدهد که احتمال شرطی را به عنوان بدیهیات آماری تلقی کند. گرچه از نظر ریاضی معادلند ولی ممکن است از نظر فلسفی ترجیح داده میشود.[۲]:

اصل ضرب:
http://pnu-club.com/imported/2012/06/45.png اصل جمع(A و B دو به دو ناسازگارند.)
http://pnu-club.com/imported/2012/06/46.png .[۳]:
مثال

تاسی را پرتاب میکنیم و مشاهده میکنیم که عدد رو آمده زوج است. احتمال رو آمدن 2 چقدر است؟
عدد رو آمده را متغیر X تعریف کنید. http://pnu-club.com/imported/2012/06/47.png اگر هیچ اطلاعی از پرتاب در دسترس نبود، احتمال رو آمدن عدد 2 مانند هر عدد دیگری 6/1 بود ولی اکنون میدانیم که عدد رو آمده فرد نیست پس احتمال رو آمدن اعداد 1و3و5 برابر صفر است. احتمال رو آمدن سایر اعداد نیز باید در عددی ثابت ضرب شوند که مجموع احتمال یک شود. این عدد معکوس جمع احتمال رو آمدن 2و4و6 در حالت عادی(عدم اطلاع از پرتاب) یعنی 2=(1-)^(1/3+1/3+1/3) است پس احتمال رو آمدن عدد 2 به صورت بالا محاسبه میشود.
اگر بخواهیم مثال فوق را از طریق فرمول احتمال شرطی حل کنیم داریم:
http://pnu-club.com/imported/2012/06/48.png و http://pnu-club.com/imported/2012/06/49.png که احتمال مورد نظر 3/1 است.
قانون احتمال کل

گاهی محاسبه احتمال شرطی پیشامد A راحت تر از محاسبه مستقیم احتمال پیشامد A است. با استفاده از فرمول احتمال شرطی داریم:
http://pnu-club.com/imported/2012/06/50.png
[۴] یا در حالت کلی اگر http://pnu-club.com/imported/2012/06/51.png که در آن http://pnu-club.com/imported/2012/06/52.png مجموعه مرجع است و http://pnu-club.com/imported/2012/06/53.png (مجموعه‌ها جدا از هم هستند و مجموعه مرجع را افراز می‌کنند.)
http://pnu-club.com/imported/2012/06/54.png
استقلال

http://pnu-club.com/imported/2012/06/55.png و http://pnu-club.com/imported/2012/06/56.png نسبت به هم 3 وضعیت دارند:
1) http://pnu-club.com/imported/2012/06/57.png در اینصورت گوییم دو واقعه همدیگر را تقویت میکنند.
2) http://pnu-club.com/imported/2012/06/58.png در اینصورت گوییم دو واقعه از همدیگر مستقلند.
3) http://pnu-club.com/imported/2012/06/59.png در اینصورت گوییم دو واقعه همدیگر را تضعیف میکنند.

دو پیشامد A و B مستقلند، زمانی که رخ دادن یکی تاثیری روی توزیع احتمال دیگری نداشته باشد.
مثال:

سکه ای معیوب داریم که احتمال رو آمدن آن p است. اگر بدانیم سکه در پرتاب اول رو آمده است، احتمال آنرا حساب کنید که پرتاب دوم رو بیاید.
حل: X را متغیر تصادفی مربوط به پرتاب اول و Y را متغیر تصادفی مربوط به پرتاب دوم در نظر میگیریم. مقادیر این متغیرها اگر سکه رو بیاید، 1 و در غیر اینصورت 0 است. هدف محاسبه http://pnu-club.com/imported/2012/06/60.png است.
http://pnu-club.com/imported/2012/06/61.png

همانطور که انتظار میرفت، مشاهده میشود که دو پیشامد X و Y از هم مستقلند.