Y@SiN
10-27-2011, 08:55 PM
سیستم اعداد دو دویی
سیستم عددی دو دویی یا مبنای دو سیستمی برای نمایش اعداد با پایه دو است؛ یعنی، هر رقم دودویی می تواند هر کدام از دو مقدار را داشته باشد. از نمادهای 1,0 برای نمایش دادن اعداد دودویی استفاده می شود. سیستم های دودویی، به خاطر اجرای تقریباً سر راست در مدارهای الکترونیکی در تمام کامپیوترهای جدید به کار برده می شوند. در برابر سیستم دو دویی، سیستم عددی ده دهی متداول، در مبنای ده بوده و از ارقام 0 تا 9 استفاده می کند. در سیستم های دو دویی برای نمایش اعداد بزرگتر از یک به تعداد ارقام بیشتری نسبت به سیستم ده دهی نیاز است. تعداد زیاد ارقام معمولاً سیستم دو دویی را برای انسان دست و پا گیر می کند به همین خاطر آنهایی که از اعداد دو دویی استفاده می کنند برای کوتاه نویسی مبنای هشت و شانزده را ترجیح می دهند.
تاریخچه
اولین شرح از سیستم عددی دو دویی در قرن 2 قبل از میلاد یا 5 قبل از میلاد توسط پینگالا(pingala ) ارائه شد. پینگالا سیستم عددی دو دویی را در ارتباط با وزن های شعری ودیک (Vedic) با هجاهای بلند و کوتاه توصیف کرد. سیستم عددی دو دویی جدید اول بار به صورت مستند توسط گاتفرید لاینبتیز (Gottfried Leibniz) ارائه شد. سیستم عددی پینگال با یک شروع می شد ولی سیستم عددی لاینبتیز و کامپیوترهای جدید از صفر شروع می شود. در سال 1854، ریاضی دان انگلیسی ،جرج بول ( George Boole) نوعی عملیات منطقی را ارائه داد که با نام جبر بولی شناخته شد. سیستم منطقی بول در توسعه سیستم های دو دویی به خصوص در اجرای آن در مدارهای الکترونیکی مؤثر واقع شد.
نمایش
یک عدد دودویی توسط هر توالی بیت ها (رقم های دودویی) که توسط هر مکانیسم با دو حالت محدود و دو سویه قابل بیان باشد، قابل نمایش است. رشته علامت های زیر می تواند اعداد دودویی باشد که مقادیر مختلفی را نمایش می دهند: 11010011 on off off on مقداری که خط نشان می دهد به مقداری که به علامت نسبت داده شده بستگی دارد. در یک کامپیوتر مقادیر عددی ممکن است توسط اختلاف پتانسیلهای مختلف نشان داده شود بر روی یک دیسک مغناطیسی هم ممکن است از قطبیت های مغناطیسی استفاده شود. برای مشخص کردن پایه یا مبنای اعداد پس از نوشتن عدد از اندیس یا پسوند استفاده می شود: 100101 binary ( b پسوندی برای نشان دادن دودویی) 100101 b ( اندیس 2 برای نمایش مبنای دو) 1001012 در هنگام به کار بردن در گفتار برای بیان اعداد دودویی برای تمیز دادن آن از اعداد دهدهی رقم های آنها تک تک تلفظ می شود. برای مثال عدد دودویی "100" به صورت "یک صفر صفر" تلفظ می شود نه به صورت "صد".
شمارش اعداد دودویی
شمارش اعداد دودویی همانند دیگر سیستم های عددی می باشد. با شروع از یک رقم تنها شمارش با عبور از علائم مختلف انجام می شود. هنگامی که علائم رقم اول تمام می شود به رقم مرتبه بالا (سمت چپی) یک واحد اضافه و شمارش دوباره از صفر آغاز می شود. در اعداد دودویی، شمارش همانند دهدهی است با این تفاوت که فقط از 0 و 1 استفاده می شود. وقتی به عدد 1 می رسیم، شمارش دوباره از 0 شروع می شود و به رقم سمت چپ یک واحد اضافه می شود. (رقم سمت راست صفر شده و به رقم سمت چپ آن یک واحد اضافه می شود) 000 , 001 (رقم سمت راست و میانی صفر شده و به صفر اولی یک واحد اضافه می شود) 010 , 011 100 , 101... گفته می شود "در این دنیا دو نوع از مردم وجود دارند: آنهایی که دودویی را می فهمند و آنهایی که نمی فهمند"
ریاضیات دودویی
ریاضیات دودویی همانند ریاضیات در دیگر سیستم های عددی است.
جمع
ساده ترین عملیات ریاضی در دودویی، جمع است. جمع زدن دو عدد تک رقمی دودویی نسبتاً ساده است: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 (رقم یک منتقل می شود) هنگامی که نتیجه جمع از مقدار مبنا تجاوز می کند "عدد یک به سمت چپ منتقل" و به محل بعدی اضافه می شود. 1 1 1 1 (منتتقل شده) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ------------------- = 1 0 0 1 0 0 شروع از ستون سمت راست، 1+1=10، رقم 1 به سمت چپ منتقل می شود و در پایین ستون 0 نوشته می شود. دومین ستون از سمت راست جمع زده می شود 1+1+0=10 دوباره 1 منتقل و 0 در پایین نوشته می شود ستون سوم، 1+1+1=11. این بار عدد 1 منتقل و درپایین ستون،1 نوشته می شود به همین صورت جواب 100100 به دست می آید.
تفریق
در تفریق هم تا حد زیادی به همان صورت کار می کنند: 0 – 0 = 0 0 – 1 = 1 (قرض گرفته شده) 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 * * * * (از ستون های ستاره دار قرض گرفته شده است) 1 1 0 1 1 1 0 - 1 0 1 1 1 ----------------- = 1 0 1 0 1 1 1 تفریق یک عدد مثبت از یک عدد دیگر مثل "جمع" منفی قدر مطلق آن با آن عدد است. کامپیوترها برای نمایش مقادیر منفی از مکمل عدد دو استفاده می کنند. برای جزئیات بیشتر مکمل عدد دو را ببیند.
ضرب
دو عدد "A" و "B" را با ضرب جزئی (partial) می توان در هم ضرب کرد برای هر رقم "B" حاصل ضرب آن را در عدد "A" به دست آورده و بر روی خطی جدید زیر رقم ضرب شده از "B" بنویسید. در آخر مجموع تمام ضرب های جرئی را محاسبه کنید.
برای مثال دو عدد 1010 و 1011 به صورت زیر در هم ضرب می شوند:*}
1 0 1 1 (A)
* 1 0 10 (B)
----------
0 0 0 0 B به خاطر رقم صفر عدد
1 0 1 1 B به خاطر رقم یک عدد
0 0 0 0
+ 1 0 1 1
------------------
= 1 1 0 1 1 1 0
تقسیم
تقسیم در مبنای دو نیز همانند تقسیم ده دهی است. در اینجا مقسوم علیه 1012 یا عدد5 است. 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 -------- 0 1 1 0 0 0 --------- 1 1 1 1 0 1 --------
0 1 همانند ضرب های طولانی ده دهی سه رقم از مقسوم جدا و آن را بر مقسوم علیه تقسیم می کنیم بنابراین در خارج قسمت عدد1 را می نویسیم عدد یک از مقسوم علیه ضرب و حاصل از سه رقم جدا شده کم می شود. رقم بعدی "1" اضافه می شود. این کار ادامه پیدا می کند تا جایی که رقم های مقسوم تمام شود. بنابراین خارج قسمت تقسیم 11011 بر 101 برابر 1012 و باقی مانده 102 است
سیستم عددی دو دویی یا مبنای دو سیستمی برای نمایش اعداد با پایه دو است؛ یعنی، هر رقم دودویی می تواند هر کدام از دو مقدار را داشته باشد. از نمادهای 1,0 برای نمایش دادن اعداد دودویی استفاده می شود. سیستم های دودویی، به خاطر اجرای تقریباً سر راست در مدارهای الکترونیکی در تمام کامپیوترهای جدید به کار برده می شوند. در برابر سیستم دو دویی، سیستم عددی ده دهی متداول، در مبنای ده بوده و از ارقام 0 تا 9 استفاده می کند. در سیستم های دو دویی برای نمایش اعداد بزرگتر از یک به تعداد ارقام بیشتری نسبت به سیستم ده دهی نیاز است. تعداد زیاد ارقام معمولاً سیستم دو دویی را برای انسان دست و پا گیر می کند به همین خاطر آنهایی که از اعداد دو دویی استفاده می کنند برای کوتاه نویسی مبنای هشت و شانزده را ترجیح می دهند.
تاریخچه
اولین شرح از سیستم عددی دو دویی در قرن 2 قبل از میلاد یا 5 قبل از میلاد توسط پینگالا(pingala ) ارائه شد. پینگالا سیستم عددی دو دویی را در ارتباط با وزن های شعری ودیک (Vedic) با هجاهای بلند و کوتاه توصیف کرد. سیستم عددی دو دویی جدید اول بار به صورت مستند توسط گاتفرید لاینبتیز (Gottfried Leibniz) ارائه شد. سیستم عددی پینگال با یک شروع می شد ولی سیستم عددی لاینبتیز و کامپیوترهای جدید از صفر شروع می شود. در سال 1854، ریاضی دان انگلیسی ،جرج بول ( George Boole) نوعی عملیات منطقی را ارائه داد که با نام جبر بولی شناخته شد. سیستم منطقی بول در توسعه سیستم های دو دویی به خصوص در اجرای آن در مدارهای الکترونیکی مؤثر واقع شد.
نمایش
یک عدد دودویی توسط هر توالی بیت ها (رقم های دودویی) که توسط هر مکانیسم با دو حالت محدود و دو سویه قابل بیان باشد، قابل نمایش است. رشته علامت های زیر می تواند اعداد دودویی باشد که مقادیر مختلفی را نمایش می دهند: 11010011 on off off on مقداری که خط نشان می دهد به مقداری که به علامت نسبت داده شده بستگی دارد. در یک کامپیوتر مقادیر عددی ممکن است توسط اختلاف پتانسیلهای مختلف نشان داده شود بر روی یک دیسک مغناطیسی هم ممکن است از قطبیت های مغناطیسی استفاده شود. برای مشخص کردن پایه یا مبنای اعداد پس از نوشتن عدد از اندیس یا پسوند استفاده می شود: 100101 binary ( b پسوندی برای نشان دادن دودویی) 100101 b ( اندیس 2 برای نمایش مبنای دو) 1001012 در هنگام به کار بردن در گفتار برای بیان اعداد دودویی برای تمیز دادن آن از اعداد دهدهی رقم های آنها تک تک تلفظ می شود. برای مثال عدد دودویی "100" به صورت "یک صفر صفر" تلفظ می شود نه به صورت "صد".
شمارش اعداد دودویی
شمارش اعداد دودویی همانند دیگر سیستم های عددی می باشد. با شروع از یک رقم تنها شمارش با عبور از علائم مختلف انجام می شود. هنگامی که علائم رقم اول تمام می شود به رقم مرتبه بالا (سمت چپی) یک واحد اضافه و شمارش دوباره از صفر آغاز می شود. در اعداد دودویی، شمارش همانند دهدهی است با این تفاوت که فقط از 0 و 1 استفاده می شود. وقتی به عدد 1 می رسیم، شمارش دوباره از 0 شروع می شود و به رقم سمت چپ یک واحد اضافه می شود. (رقم سمت راست صفر شده و به رقم سمت چپ آن یک واحد اضافه می شود) 000 , 001 (رقم سمت راست و میانی صفر شده و به صفر اولی یک واحد اضافه می شود) 010 , 011 100 , 101... گفته می شود "در این دنیا دو نوع از مردم وجود دارند: آنهایی که دودویی را می فهمند و آنهایی که نمی فهمند"
ریاضیات دودویی
ریاضیات دودویی همانند ریاضیات در دیگر سیستم های عددی است.
جمع
ساده ترین عملیات ریاضی در دودویی، جمع است. جمع زدن دو عدد تک رقمی دودویی نسبتاً ساده است: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 (رقم یک منتقل می شود) هنگامی که نتیجه جمع از مقدار مبنا تجاوز می کند "عدد یک به سمت چپ منتقل" و به محل بعدی اضافه می شود. 1 1 1 1 (منتتقل شده) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ------------------- = 1 0 0 1 0 0 شروع از ستون سمت راست، 1+1=10، رقم 1 به سمت چپ منتقل می شود و در پایین ستون 0 نوشته می شود. دومین ستون از سمت راست جمع زده می شود 1+1+0=10 دوباره 1 منتقل و 0 در پایین نوشته می شود ستون سوم، 1+1+1=11. این بار عدد 1 منتقل و درپایین ستون،1 نوشته می شود به همین صورت جواب 100100 به دست می آید.
تفریق
در تفریق هم تا حد زیادی به همان صورت کار می کنند: 0 – 0 = 0 0 – 1 = 1 (قرض گرفته شده) 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 * * * * (از ستون های ستاره دار قرض گرفته شده است) 1 1 0 1 1 1 0 - 1 0 1 1 1 ----------------- = 1 0 1 0 1 1 1 تفریق یک عدد مثبت از یک عدد دیگر مثل "جمع" منفی قدر مطلق آن با آن عدد است. کامپیوترها برای نمایش مقادیر منفی از مکمل عدد دو استفاده می کنند. برای جزئیات بیشتر مکمل عدد دو را ببیند.
ضرب
دو عدد "A" و "B" را با ضرب جزئی (partial) می توان در هم ضرب کرد برای هر رقم "B" حاصل ضرب آن را در عدد "A" به دست آورده و بر روی خطی جدید زیر رقم ضرب شده از "B" بنویسید. در آخر مجموع تمام ضرب های جرئی را محاسبه کنید.
برای مثال دو عدد 1010 و 1011 به صورت زیر در هم ضرب می شوند:*}
1 0 1 1 (A)
* 1 0 10 (B)
----------
0 0 0 0 B به خاطر رقم صفر عدد
1 0 1 1 B به خاطر رقم یک عدد
0 0 0 0
+ 1 0 1 1
------------------
= 1 1 0 1 1 1 0
تقسیم
تقسیم در مبنای دو نیز همانند تقسیم ده دهی است. در اینجا مقسوم علیه 1012 یا عدد5 است. 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 -------- 0 1 1 0 0 0 --------- 1 1 1 1 0 1 --------
0 1 همانند ضرب های طولانی ده دهی سه رقم از مقسوم جدا و آن را بر مقسوم علیه تقسیم می کنیم بنابراین در خارج قسمت عدد1 را می نویسیم عدد یک از مقسوم علیه ضرب و حاصل از سه رقم جدا شده کم می شود. رقم بعدی "1" اضافه می شود. این کار ادامه پیدا می کند تا جایی که رقم های مقسوم تمام شود. بنابراین خارج قسمت تقسیم 11011 بر 101 برابر 1012 و باقی مانده 102 است