Triangular Norms

[donya88]

Definition


A triangular norm (abbreviation t-norm) is a binary operation http://pnu-club.com/imported/mising.jpg on the interval [0,1] satisfying the following conditions:

http://pnu-club.com/imported/mising.jpg (commutativity)
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg (associativity)
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg (monotonicity)
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg (neutral element 1)
Examples


http://pnu-club.com/imported/mising.jpg (minimum or Gödel t-norm)
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg (product t-norm)
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg (Lukasiewicz t-norm)
No t-norm can attain greater values than http://pnu-club.com/imported/mising.jpg. There are many parametrized families of t-norms [Klement et al. (2000)]. The Frank t-norms are defined for all http://pnu-club.com/imported/mising.jpg by
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg The limit elements of this family are the above t-norms: http://pnu-club.com/imported/mising.jpg, http://pnu-club.com/imported/mising.jpg, and http://pnu-club.com/imported/mising.jpg. The only t-norms which are rational functions are the Hamacher t-norms defined for all http://pnu-club.com/imported/mising.jpg by
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg and for http://pnu-club.com/imported/mising.jpg by
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg (http://pnu-club.com/imported/mising.jpg).
Classification and representations

The idempotents of a t-norm http://pnu-club.com/imported/mising.jpg are those http://pnu-club.com/imported/mising.jpg satisfying http://pnu-club.com/imported/mising.jpg. The bounds 0 and 1 are trivial idempotents. A t-norm is called Archimedean if each sequence http://pnu-club.com/imported/mising.jpg where http://pnu-club.com/imported/mising.jpg and http://pnu-club.com/imported/mising.jpg converges to 0. A continuous t-norm is Archimedean iff it has no idempotents between 0 and 1. A continuous Archimedean t-norm is called strict if http://pnu-club.com/imported/mising.jpg for all http://pnu-club.com/imported/mising.jpg. Continuous Archimedean t-norms which are not strict are called nilpotent. The product t-norm is strict, the Lukasiewicz t-norm is nilpotent.
If http://pnu-club.com/imported/mising.jpg is a t-norm and http://pnu-club.com/imported/mising.jpg is an increasing bijection, then
(1)
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg is a t-norm. This way, all strict t-norms can be obtained from the product t-norm and all nilpotent t-norms from the Lukasiewicz t-norm. (These t-norms serve as universal examples of these classes.)
More generally, each continuous Archimedean t-norm can be obtained from the product t-norm using the formula
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg where http://pnu-club.com/imported/mising.jpg is an increasing bijection called a multiplicative generator of http://pnu-club.com/imported/mising.jpg. (It is not uniquely determined by http://pnu-club.com/imported/mising.jpg.) Each continuous Archimedean t-norm has also a (non-unique) additive generator, which is a decreasing bijection http://pnu-club.com/imported/mising.jpg such that
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg Generalizations

More generally, triangular norms can be defined (exactly the same way) on any ordered set with an upper bound (serving as the neutral element). They can be also restricted to (possibly finite) subsets of the unit interval. The term triangular norm is usually used for these operations, too. In particular, a t-norm http://pnu-club.com/imported/mising.jpg on an interval [a,b] can be defined by (1 (http://www.scholarpedia.org/article/Triangular_norms_and_conorms#h)), where http://pnu-club.com/imported/mising.jpg is an increasing bijection and http://pnu-club.com/imported/mising.jpg is a t-norm on [0,1].
For a family of disjoint subintervals http://pnu-club.com/imported/mising.jpg we may define a t-norm http://pnu-club.com/imported/mising.jpg called an ordinal sum:
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg where http://pnu-club.com/imported/mising.jpg are increasing bijections and http://pnu-club.com/imported/mising.jpg are t-norms on http://pnu-club.com/imported/mising.jpg All continuous t-norms are ordinal sums of Archimedean t-norms, we may choose http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
There are t-norms which are not continuous or even not measurable.

[satarsadeghi]

—A t-norm is a binary operation * on [0,1] (i.e. t:[0,1] ^2→ [0,1]) satisfying following condition:
[i.is commutative and associative i.e. for all x , y , z є [0,1,
x * y = y * x
( x * y ) * z = x * ( y * z)
ii.* is non-decreasing in both argument, i.e
x1<= x2 implies x1 *y<=x2*y
y1<=y2 implies x*y1<=x*y2




iii.1 * x = x and 0 * x = 0 for all x є [0,1]
(or 1 * x = 1 and 0 * x = x conjunction and disjunction don’t have any dual relation to implication)
—* [is continuous t-norm if it is a t-norm and is a continuous mapping of [0,1] 2→ [0,1]



(—Łukasiewics t-norm: x * y = max(0, x + y -1
—(Gödel t-norm : x * y = min ( x , y
(—Product t-norm : x * y = x . y ( product of reals



—in two-valued logic φ→ψ is true iff the truth value of φ is less than or equal to the truth value of ψ.
—for each continuous t-norm * and it’s residuum
i.x ≤ y iff ( x y ) = 1
ii.( 1 x ) = x
—residua:
—For x ≤ y , x y = 1 . For x > y,

—Łukasiewics implication: x y = 1 – x + y
—Gödel implication : x y = y
—Product (goguen) implication : x y = y/x ( residuum of product conjunction)


—The following t-tautologies are taken as axioms of the logic BL:
—(A1)(φ → ψ) → ((ψ → χ) → (φ → χ))
—(A2)(φ & ψ) → φ
—(A3)(φ & ψ) → (ψ & φ)
—(A4)(φ & (φ → ψ)) → (ψ & (ψ → φ))
—(A5a)(φ → (ψ → χ)) → ((φ & ψ) → χ)
—(A5b)((φ & ψ) → χ) → (φ → (ψ → χ))
—(A6)((φ → ψ) → χ) → (((ψ → φ) → χ) → χ)
—A7)0 → φ )


—Basic fuzzy predicate logic has the same formulas as classical predicate logic
—built from predicates of arbitrary arity using object variables, connectives &, →, truth constant 0 and quantifiers ∀, ∃
—A standard interpretation is given by a non-empty domain M and for each n-ary predicate P by a n-ary fuzzy relation on M.
—the degree in which the n-tuple satisfies the atomic formula P(x1,…,xn)
—the truth degree ||φ|| of each closed formula φ given by the interpretation M and t-norm *.
—The degree of an universally quantified formula ∀xφ is defined as the infimum of truth degrees of instances of φ; similarly ∃xφ and supremum

—safe interpretation: any linearly ordered BL-algebra and definition of the truth value ||φ|| M,L given by the L-interpretation M.
—A formula is a general BL-tautology in the predicate logic BL∀ if its truth value is 1 in each safe interpretation.
—The following BL-tautologies are taken as axioms of BL∀:
—(∀1)∀xφ(x) → φ(y)
—(∃1)φ(y) → ∃xφ(x)
— (∀2)∀x(χ→ψ) → (χ → ∀xψ)
—(∃2)∀x(φ → χ) → (∃xφ → χ)
—(∀3)∀x(φ ∨ χ) → (∀xφ ∨ χ)
(where y is substitutable for x into φ and x is not free in χ).
—The general completeness theorem says that a formula is provable in the fuzzy predicate logic BL∀ iff it is a general BL-tautology (of predicate logic).


.
نرم هاي مثلثي زيادي را مي توان در مقالات و كتابها مشاهده نمود كه هر يك به عنوان ارزش دهی گزاره هاي عطفي مانند ϕ ∧ψ بكار گرفته شده اند . همانطوريكه ديده مي شود اين نرم هاي مثلثي همه پيوسته هستند . عضوي مانند x در [0,1] نسبت به نرم مثلثي T خود توان ناميده مي شده هر گاه .T(x, x) = x نرم مثلثي كه هيچ عضو خود تواني بجز 0 و1 نداشته باشد ارشميدسي نام دارد. عضوي مانند y در [ 0,1 ] نسبت به نرم مثلثي T پوچ توان است هر گاه عددي طبيعي مانند 2 n ≥ يافت شود كه 0 T n x = بطوريكه T (x ,x)= , T 2x T n+1 x = T (x ,T n x). اگر نرم مثلثي داراي عنصري پوچ توان بجز صفر نباشد، آن را اكيد و در غير اينصورت پوچ توان مي نامند. براي تأكيد بيشتر يادآوري مي نمايم كه درك شهودي ما از تركيب عطفی ϕ ∧ψ اين است كه زياد بودن ارزش درستي ϕ ∧ψ نشاندهنده اين خواهد بود كه ارزش درستي هم ϕ و هم ψبدون اينكه فرقي بين اين دو قابل شويم زياد است. بنابراين فرض اينكه تابع درستي عطف نسبت به هر دو مؤلفه غير نزولي است كاملاً طبيعي است و اين خواص در معرفي نرم هاي مثلثي به عنوان توابع درستي عطف مشهود است.
اگر. . . آنگاه . . . عملگر بسیار مهم دیگری است كه با → نشان داده مي شود و عملگر استلزام (Implication) ناميده مي شود. در منطق كلاسيك دو ارزشي استلزام ϕ →ψ راست است اگر و فقط اگر ارزش درستي ϕ كمتر يا مساوي ارزش درستي ψباشد. براي تعميم اين عملگر گوئيم كه زياد بودن ارزش درستي ϕ →ψبايد نشان دهنده اين باشد كه ارزش درستي ϕ خيلي زيادتر از ارزش درستي ψنيست. اين فرض در كنار رفتار كلاسيك در 0 و 1 ما را به اين نتيجه مي رساند كه تابع درستي a⇒b روي [ 0,1 ] بايد نسبت به a نزولی و نسبت به b صعودي باشد. علاوه بر آن هميشه سعي داريم كه اعتبار قاعده قياس استثنايي حفظ شود زيرا كه اين قاعده بدون هيچگونه شكي مورد قبول بوده و هست. ياد آوري مي نمايد كه قاعده قياس استثنائي يا Modus Ponens مي گويد كه بدون هيچ گونه واسطه اي از ϕ و ϕ →ψ ، ψاستنتاج مي شود. با فرض اعتبار اين قاعده، مي توان با دانستن درجه درستي a مربوط به ϕ (يا حداقل يك كران پائين براي اين ارزش) و درجه درستي a ⇒b (يا حداقل يك كران پائين براي آن) كران پائيني برای درجه درستي b مربوط به ψ بدست آورد. بايد توجه كنيم كه تابع محاسبة كران پائين براي b بايد نسبت به هر دو مؤلفه غير نزولي باشد يعني هر چه مقدم درستتر باشد، تالي نيز درستتر است. علاوه بر آن 1 به عنوان عنصر يكه و 0 به عنوان عنصر خنثي اين عمل در نظر گرفته مي شود. هر چند توجيه جابجائي و شركت پذيري ساده نيست ولي اختيار نمودن يك تابع نرم مثلثي T براي تابع درستي عطف اين نتيجه را مي دهد كه اگر x ≤ a و y ≤ a ⇒b آنگاه T(x, y) ≤ b. كه اگر x = a و بجاي c ,y در نظر بگيريم داريم: اگر c ≤ a ⇒b آنگاه T(a ,c) ≤ b بنابراين كران پائين براي b بدست آمده است. ولي از طرف ديگر ما مي خواهيم كه مقدار a ⇒b را تا جائيكه ممكن است زياد كنيم، از اينرو وقتي كه T(a ,c) ≤ b آنگاه c يك مقدار ممكن براي a ⇒b خواهد بود. به اين معني كه استنتاج T(x, y) ≤ b از x ≤ a و y ≤ a ⇒b اعتبار خود را داراست. بنابراين عكس انتظار فوق نيز بايد برقرار باشد يعني اگر T(a ,c) ≤ b آنگاه c ≤ a ⇒b و نهايتاً اين نتيجه را داريم كه T(a ,c) ≤ b اگر و فقط اگر c ≤ a ⇒b و از اين بلافاصله خواهيم داشت كه a ⇒b بيشترين مقدار c خواهد بود. بطوريكه T(a ,c) ≤ b. بدون اينكه وارد جزئيات بيشتر شويم، خاطر نشان مي سازيم كه با معرفي توابع درستي T براي عطف و⇒ براي استلزام به هدف اصلي خود رسيده و بقيه توابع درستي مورد نياز را برحسب آنها تعريف مي نمائيم. تابع درستي نقيض كه آن هم نقش مهمي دارد مي تواند به صورت ¬x = x⇒0 تعريف شود كه خواص مورد نظر را داراست. نتيجه آنكه با تعريف اين توابع درستي جبري ساخته ايم كه مشابه جبر فرمول هاست و يك تابع همومورفيسم از جبر فرمول ها به جبر ساخته شده از ارزشها نقش ارزشگذاري را كاملاً ايفا مي كند. به عنوان مثال اگر تابع درستي عطف را نرم مثلثي لوكازيويچ T(x, y) = max{0, x + y −1} و تابع درستي استلزام مربوط به آن را x⇒ y = min{1,1− x + y} در نظر بگيريم جبر ([0,1],T,⇒,¬) بدست مي آيد كه از نوع جبرهاي باقی مانده (Resituated Algebra) است و تا به امروز يكي از مهمترين سيستمهاي ارزش دهي به فرمول هاست و منطق آن منطق لوكازيويچ نام دارد. نرم هاي مثلثي ديگر ذكر شده در اوايل اين قسمت نيز دارای اهميت بسزايي هستند كه منطق گودل و منطق حاصلضرب را پديد مي آورند. جا دارد يادآوري نمائيم كه اينها را مي توان به عنوان نرم هاي مثلثي اصلي در نظر گرفت و با كمك قضايايي كه در اين مورد اثبات شده، هر جبر ديگر از اين قبيل را مي توان از اين سه نوع جبر يا منطق بدست آورد.
قسمتی از سمینار ابر ریاضیات منطق فازی نگاهی به کارهای پتر هیک

[satarsadeghi]

این سمینار رو هفته هاست آماده کرده بودم. الانم فارسی هاش کپی نمی شه. امروز به علت خوردن قرص های ضد افسردگی دیشبم خواب موندم و 23 دقیقه دیرتر پیش دکتر اردشیر رسیدم. اونم خیلی عصبانی شد و من رو رسمن از اتاق انداخت بیرون. بدجور بش توهین شد. واقعن ناراحتم.الانم الکی جستجو می کردم اینجا رو پیدا کردم. امیدوارم بم 12 بده. دعام کنید.