اعداد روندا(Rhonda)

[Borna66]

تعريف:عدد طبيعي n يك عدد روندا در مبناي B (عدد طبيعي) ناميده مي‌شود اگر حاصل‌ضرب ارقام n در مبناي Bمساوي B برابر مجموع عوامل اول n باشد.نتيجه ي فوري از تعريف اين است كه اگر n در مبناي B روندا باشد،تمامي ارقام n در مبناي B غير صفرند.
مثال: 25662 يك عدد روندا در مبناي 10 است،نمايش آن به صورت حاصل ضرب عوامل اول چنين است:



47 × 13 × 7 × 3 × 2 = 25662
و هم چنين داريم:



(47+13+7+3+2)×10 = 2×6×6×5×2.


چند عدد رونداي ديگر در مبناي 10 عبارت هستند از:



5824 و 5664 و 5439 و 5265 و 4752 و 2835 و 1568

نكته:براي مبناهايي كه عدد اول هستند،عدد روندايي وجود ندارد،چرا كه براي عدد اول دلخواه p،p هيچ حاصل ضربي از اعداد طبيعي كوچك تر از خود را عاد نمي كند.
در جدول زير چند عدد روندا در مبناهاي ذكر شده را آورده ايم:



http://pnu-club.com/imported/2009/04/1837.jpg

عدد 560 كوچك ترين عدد روندا است كه در مبناي 12 روندا مي‌باشد(توجه كنيد كه ارقام 560 در مبناي 12 عبارت هستند از:8و10و3)؛اعدادي طبيعي وجود دارند كه براي بيش از يك مبنا،روندا هستند. مثلاً عدد 1000 كوچك ترين اين اعداد است كه براي مبناهاي 16 و 36 روندا است.
تعريف:براي عدد طبيعي n،http://pnu-club.com/imported/2009/04/198.gifنمايش‌ دهنده‌ي مجموع عوامل اول n مي‌باشد.
قضيه:تعداد نامتناهي عدد روندا وجود دارد.
اثبات:براي هر عدد طبيعي 5<m، http://pnu-club.com/imported/2009/04/199.gif يك عدد روندا در مبناي http://pnu-club.com/imported/2009/04/200.gifمي باشد كه در آن،عدد طبيعي k ريشه ي معادله ي زير است:


http://pnu-club.com/imported/2009/04/201.gif
توجه كنيد كه چون براي هر n، http://pnu-club.com/imported/2009/04/202.gif(چرا؟)پس براي هر 5<m،طرف راست معادله ي فوق مثبت بوده(مجموع سه جمله ي شامل Sopf در طرف راست معادله ،حداكثر برابر 3+6m بوده كه با تعيين علامت،براي هر 5<m،طرف راست معادله ي فوق مثبت خواهد بود.)و در نتيجه،معادله ي فوق همواره ريشه دارد.

مثال:
اگر در روابط فوق، 6=m قرار دهيم آن گاه از:


4= 13×2-7-5-7×6 =http://pnu-club.com/imported/2009/04/203.gif
داريم: 4=k و لذا http://pnu-club.com/imported/2009/04/204.gif يك عــدد رونــدا در مبناي http://pnu-club.com/imported/2009/04/205.gif مي‌باشد.
نمايش N در مبناي B به صورت زير است:



http://pnu-club.com/imported/2009/04/206.gif
حاصل ضرب ارقام N در مبناي B برابر است با:http://pnu-club.com/imported/2009/04/207.gif.(1)
از طرفي با توجه به تعريف N:


http://pnu-club.com/imported/2009/04/208.gif
بنابراين B برابر مجموع عوامل اول N مساوي است با http://pnu-club.com/imported/2009/04/207.gifو با توجه به (1) مساوي با حاصل ضرب ارقام N در مبناي B مي‌باشد.و اين يعني N يك عدد روندا در مبناي B است.
اين بحث نشان مي دهد كه اعداد روندا نامتناهي هستند.