اعداد شاد(Happy numbers) كدامند؟

[Borna66]

اعداد شاد(Happy numbers)


مجموع مربعات ارقام یک عدد صحیح چون http://pnu-club.com/imported/2009/04/107.png را http://pnu-club.com/imported/2009/04/108.png تعریف می کنیم. به طریق مشابه مجموع مربعات ارقام عدد http://pnu-club.com/imported/2009/04/108.png را http://pnu-club.com/imported/2009/04/109.png تعریف می‌کنیم و به هین ترتیب. در انجام این عمل همواره در نهایت به یکی از این ده عدد خواهیم رسید:



http://pnu-club.com/imported/2009/04/110.png

اگر برای بعضی از i ها http://pnu-club.com/imported/2009/04/111.png باشد آنگاه عدد اولیه http://pnu-club.com/imported/2009/04/107.png عدد مبارک،سعید یا شاد (Happy Number) گفته می شود. به عنوان مثال با شروع از عدد 7 دنباله زیر را بدست می آوریم:


http://pnu-club.com/imported/2009/04/112.png

پس 7 عدد سعید یا شاد است.

اولین اعداد سعید به ترتیب عبارتند از:

:http://pnu-club.com/imported/2009/04/113.png:
تعداد جملات حاصل از هر یک از اعداد فوق تا زمانی که به عدد یک برسند به این صورت است:


http://pnu-club.com/imported/2009/04/114.png


تعداد اعداد سعید که کوچکتر یا مساوی ...,1,10,100 باشند به ترتیب عبارت است از:


http://pnu-club.com/imported/2009/04/115.png


در اینجا اولین اعدادی را معرفی می‌کنیم که ضمن اینکه خودشان عدد سعید می‌باشند عدد بعدی آنها نیز سعید است:


http://pnu-club.com/imported/2009/04/116.png

به عبارت دیگر هر دو مولفه زوج‌های زیر عدد سعید می‌باشند:


http://www.pnu-club.com/imported/2008/10/2.gif اندازه این تصویر کوچک شده است ! برای مشاهده تصویر اصلی اینجا کلیک کنید . اندازه اصلی تصویر 705x23 و حجم آن 2 کیلوبایت میباشد.http://pnu-club.com/imported/2009/04/117.png


اگرhttp://pnu-club.com/imported/2009/04/118.pngعددی سعید باشد وhttp://pnu-club.com/imported/2009/04/119.pngدنباله مربوط به آن باشد آنگاهhttp://pnu-club.com/imported/2009/04/120.pngتوانی از 10 است یعنی یک از اعداد 10و100و1000و... می‌باشد.

برهان:


به برهان خلف فرض می‌کنیم چنین نباشد یعنی http://pnu-club.com/imported/2009/04/120.png توانی از 10 نباشد(فرض خلف). پس http://pnu-club.com/imported/2009/04/120.pngعددی m رقمی(m عددی طبیعی دلخواه است ) به صورت http://pnu-club.com/imported/2009/04/121.png است که http://pnu-club.com/imported/2009/04/122.png و برای هر http://pnu-club.com/imported/2009/04/123.png طبیعی داریم http://pnu-club.com/imported/2009/04/124.png بنابه فرض چون جمله بعدی http://pnu-club.com/imported/2009/04/120.png
در دنباله عدد 1 است پس:
http://pnu-club.com/imported/2009/04/125.png اما از طرفی چون http://pnu-club.com/imported/2009/04/120.png توانی از ده نمی‌باشد پس برای یک i که http://pnu-club.com/imported/2009/04/126.pngخواهیم داشت http://pnu-club.com/imported/2009/04/127.png این نتیجه می‌دهد http://pnu-club.com/imported/2009/04/128.png که این ایجاب می کند http://pnu-club.com/imported/2009/04/129.png که این تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم ثابت می شود.

با توجه به تعریفی که از عدد سعید ارائه شد واضح است که اگرhttp://pnu-club.com/imported/2009/04/107.pngعددی سعید باشد هر یک از اعداد در دنباله http://pnu-club.com/imported/2009/04/130.png نیز سعید خواهند بود.
عددی که سعید نمی‌باشد عدد بد اقبال,نامبارک یا ناسعید (Unhappy Number) می‌گوییم.
به عنوان مثال عدد شیطان یعنی عدد 666 عدد ناسعید است. چون اگر دنبالهhttp://pnu-club.com/imported/2009/04/131.pngرا برای آن بنویسم خواهیم داشت:


http://pnu-club.com/imported/2009/04/132.png

مشاهده می شود عدد 37 در دنباله فوق دوبار تکرار شده است و همین مطلب برای رد سعید بودن این عدد کافی است چون از اینجا به بعد سلسله جملات 37,58,89,145,42,20,4,16 در دنباله تکرار می شوند و این دنباله هیچ گاه به یک نمی‌رسد. پس دنباله مربوط به اعداد ناسعید از جایی به بعد به صورت متناوب تکرار می شود. همچنین همانند اعداد سعید در دنباله حاصل از اعداد ناسعید همه http://pnu-club.com/imported/2009/04/131.pngها عدد نا سعید می باشند(چرا؟).


منبع:
کد:

www.roshd.ir