ك مدل چهار مرحله اي ياددهي و يادگيري رياضي

[Borna66]

يك مدل چهار مرحله اي ياددهي و يادگيري رياضي
برخي نتايج حاصل از پژوهش هاي آموزشي
اين بخش به طور خلاصه، پيشينه ي پژوهش در آموزش رياضي و روان شناسي كاربردي مرتبط با اين مقاله را بررسي مي كند.اين بررسي،جامع نيست و تلاشي براي توجيه نتيجه گيري ارايه شده در اين بخش، نشده است.خوانندگان علاقه مند مي توانند براي اطلاعات بيش تر، به منابع موجود مراجعه كنند.
تحقيقات دهه هاي گذشته در آموزش نشان مي دهد كه دانش آموزان، از سبك هاي يادگيري فردي استفاده مي كنند(فلور، 1996)در نتيجه، آموزش بايد چند بعدي باشد تا در برگيرنده ي سبك هاي يادگيري گوناگون باشد.مكتوبات بسياري، از جمله كتاب هاي درسي، پرسش نامه هاي روش يادگيري و منابع براي استفاده در كلاس درس وجود دارند كه همگي، حامي اين ادعا هستند(به طور مثال، به دان و دان، 1993 مراجعه كنيد)
به علاوه، تحقيقات دهه هاي گذشته در روان شناسي كاربردي حاكي از آن است كه بهترين راه نحقيق حل مسأله، رويكرد ساختن استراتژي است.در حقيقت، مطالعات مربوط به نقش تفاوت هاي فردي در كسب مهارت، حاكي از اين است كه سريع ترين يادگيرندگان، كساني هستند كه براي شكل گيري مفهوم(در زهن خود)، استراتژي توليد مي كنند(آيرينگ، جانسون و فرانسيس،1993)بنابراين، هر مدل يادگيري رياضي بايد به عنوان يك سبك يادگيري، شامل ساختن استراتژي باشد.
در نتيجه، عقيده دارم كه مدل يادگيري كه بيش تر همه در رياضي كاربرد دارد،مدل يادگيري كولب است(براي بحث درباره ي اين مدل به ايوان و همكاران،1993)مراجعه كنيد.)
در مدل كولب، سبك يادگيري دانش اموز با دو عامل تعيين مي شود – اين كه آيا دانش اموز ملموس و عيني را به اتنزاعي ترجيح مي دهد و آيا دانش اموز، ازمايش كردن فعال را به مشاهده ي بازتابي ترجيح مي دهد.اين دو سوال، منجر به جهار نوع يادگيرنده مي شود:
1- عيني، بازتابي: كساني كه بر پايه هاي تجربه هاي قبلي مي سازند.
2- عيني، فعال: كساني كه با آزمون و خطا ياد مي گيرند.
3- انتزاعي، بازتابي: كساني كه از توضيحات با جزئيات ياد مي گيرند.
4- انتزاعي، فعال: كساني كه با توسعه استراتژي هاي فردي ياد مي گيرند.
اگر چه مدل هاي ديگري نيز براي رياضي به كار مي روند،واضح است كه تمايز سبك هاي يادگيري، ممكن است مهم تر از توصيف هر سبك به طور جداگانه باشد(فلور، 1996)
بالاخره اجازه دهيد كه« حفظ كن و پس بده» را به عنوان يك روش يادگيري نا مطلوب، بررسي كنيم.استدلال رهيافتي،يك فرايند فكري است كه در ان، مجموعه اي از الگوها و اعمال وابسته به آن ها، حفظ مي شوند، به طوري كه وقتي يك مفهوم جديد ارايه مي شود، نزديك ترين الگو،عمل انجام شده را تعيين مي كند(پيرل، 1996)متاسفانه ضوابطي كه براي تعيين نزديكي مورد استفاده قرار مي گيرند، اغلب نامناسب هستند و به نتايج نادرستي منتهي مي شوند. براي مثال اگر دانش اموزي عبارت را به اشتباه به صورت ساده كند،احتمالاً آن دانش اموز، از ضوابط ديداري براي تعيين اين كه نزديك ترين الگو، پيدا كردن ريشه ي يك عبارت تواني بوده، استفاده كرده است.يعني، استدلال رهيافتي، دانشي است بدون درك، مسيري كوتاه در يادگيري كه جلوي تفكر انتقادي را مي گيرد.علاوه بر اين ، اين چنين روش هاي اختياري و نا مطمئن در حل مساله، دليل اصلي ايجاد« اضطراب رياضي» است كه اغلب دانش اموزان را در درس مقدماتي، دچار مصيبت مي كند.
يادگيري در يك زمينه ي رياضي
مدل ارايه شده در اين مقاله، بر اساس اين ايده است كه سبك هاي يادگيري كولب، متقيماً ترجمان سبك هاي يادگيري رياضي هستند.ملاً يادگيرندگان« عيني – بازتابي»، كساني هستند كه دانش قبلي، به عنوان استعاره و داربستي براي ايده هاي جديد استفاده مي كنند.در درس هاي رياضي، چنين دانش اموزاني، آن هايي هستند كه مسايل را با دنباله روي از يك مثال حل شده در كتاب درسي، حل مي كنند.به همين ترتيب، سه روش ديگر در يادگيري كولب نيز ترجمان سبك هاي يادگيري رياضي مي باشند:
1- تمثيل گر: اين دانش اموزان، صورت(فرم) را به كاربرد ترجيح مي دهند و بدين جهت، اغلب جزديات را ناديده مي گيرند.آن ها با جست و جوي رويكردهاي مشابه در مثال هاي قبلي،به مسأله ها مي پردارند(كليشه سازي)
2- تلفيق گر: اين دانش آموزان، به شدت بر مقايسه ي ايده هاي جديد با ايده هايي كه براي آن ها شناخته شده است، متكي هستند.آن ها با تكيه بر بصيرت هاي متكي بر « عقل سليم» خود،به مسأله مي پردازند – يعني با مقايسه ي آن ها با مسايلي كه مي توانند حل كنند.
3- تحليل گر: اين دانش اموزان، به توضيحات منطقي و الگوريتم ها علاقه دارند.آن ها مسايل را با يك توالي گام به گام و منطقي كه با فرض هاي اوليه شروع شده است و با اثبات حكم خاتمه مي يابد، حل مي كنند.
4- اين دانش اموزان،مفاهيم را به صورت ابزاري براي ساختن ايده ها و رويكردهاي جديد مي بينند.آن ها، مسايل را با ايجاد استراتژي هاي فردي و ريكردهاي جديد، حل مي كنند.
علاوه بر مشاهدات و آزمايش هاي چندساله و تعامل با دانش آموزان،به من مي باورانند كه تمام سبك هاي يادگيري، در همين چهار سبك خلاصه مي شود.البته يقيناً، تحقيق بيش تر براي اثبات اين ادعا لازم است.
به عنوان مثال،در يك ازمايش، مطمئن شدم كه هر دانش اموز، قضيه ي فيثاغورس را مي داند و يك خط كش نيز دارد.سپس از آن ها خواستم طول وتر مثلث قائم الزاويه اي يا اضلاع را به دست آورند.

بعضي از دانش آموزان، در كتاب درسي،به دنبال مثال مشابهي مي گشتند.بسياري از آن ها، وتر را با خط كش اندازه گيري كردند، برخي مستقيماً از قضيه فيثاغورس استفاده كرده و تعداد كمي، تشخيص دادند كه اين مثلث، همان مثلث با اضلاع 3 و 4 و 5 است منتها با واحد .
به هر حال ، از سبك هاي ديگري استفاده نشد و مشابهاً در ساير آزمايش هايي كه انجام دادم، فقط تعدادي كمتر از انگشتان دست،از سبك هايي غير از چهار سبك ذكر شده در بالا، استفاده كردند.علاوه بر اين، مشاهده كردم كه سبك يادگيري يك دانش اموز خاص، از موضوعي به موضوع ديگر تغيير مي كند و متاسفانه، وقتي كه سبك يادگيري او موفقيت آميز نيست، وي به استدلال رهيافتي متوسل مي شود.
چهار مرحله ي يادگيري رياضي
پس سوال اين است كه« چه چيز باعث مي شود كه يك دانش آموز، هنگام مواجه شدن با يك مفهوم جديد، سبك خاصي را انتخاب كند؟» من به اين نتيجه رسيده ام كه تفاوت ها در سبك يادگيري، اغلب به ميزان موفقيت دانش آموز در ترجمه ي يك ايده ي جديد به يك مفهوم كاملاً درك شده بستگي دارد.در واقع، به نظر مي رسد كه هر يك از ما،يك مفهوم جديد را بوسيله ي گذر از چهار مرحله ي متمايز فهم و درك، مي اموزيم:
1- مشابهت سازي: يك مفهوم جديد به صورت استعاري، بر حسب مفاهيم شناخته شده و در يك زمينه ي آشنا،توصيف مي شود(كليشه سازي)
2- تلفيق:از مقايسه ، اندازه گيري و جست و جو،براي تميز دادن مفهوم جديد از مفاهيم شناخته شده استفاده مي شود.
3- تجزيه و تحليل: مفهوم جديد، جزئي از پايگاه دانش موجود مي شود.از توضيحات و پيوندها و ارتباطات،براي « بيرون كشيدن» مفهوم جديد استفاده مي شود.
4- تركيب: مفهوم جديد، هويت منحصر به فرد خود را مي طلبد و بتنابراين به ابزاري براي توسعه ي استراتژي و تمثيل سازي بيشتر، تبديل مي شود.
بنابراين نتيجه مي شود كه سبك يادگيري يك دانش آموز،نشان دهنده ي ميزان پيشرفت وي در چهار مرحله ي فوق است:
* تمثيل گرها:نمي توانند مفهوم جديد را از مفاهيم شناخته شده تميز دهند.
* تلفيق گرها:تشخيص مي دهند كه يك مفهوم، جديد است، اما متوجه نمي شوند كه چگونه مفهوم جديد با مفاهيم آشنا مرتبط مي شوند.
* تحليل گرها: ارتباط مفهوم جديد با مفاهيم شناخته شده را مي بينند، اما فاقد اطلاعاتي هستنهد كه به ويژگي منحصر به فرد آن مفهوم مربوط است.
*تركيب گرها: بر مفهوم جديد، تسلط دارند و مي توانند از ان، براي حل مسأله ها و توسعه ي استراتژي ها(يعني نظريه ي جديد) و خلق تمثيل هاي جديد، استفاده كنند.
هم چنين،نتيجه مي شود كه سبك يادگيري يك دانش اموز، مي تواند متفاوت باشد، گرچه در عمل، سبك يك دانش اموز براي مفاهيم مشابه، تمايل به ثابت ماندن دارد.
ادامه دارد ...

[Borna66]

ادامه مدل چهار مرحله ای یادگیری ریاضی (http://pnu.daneshjuha.org/post-5.aspx)

اهميت تمثيل ها(كليشه ها)
اين مدل پيشنهاد مي دهد كه يادگيري يك مفهوم جديد،با ايجاد يك تمثيل شروع مي شود.يعني يادگيري،با يك توصيف استعاري(تمثيلي) از يك مفهوم جديد در يك زمينه ي آشنا، اغاز مي شود.به علاوه، ناتواني در تمثيل سازي و مشابهت سازي، منجر به رويكرد رهيافتي مي گردد.
يعني اگر دانش اموزي، هيچ توصيف استعاري از يك مفهوم نداشته باشد، محتمل است كه به سبك يادگيري« حفظ كن و مرتبط كن» متوسل شود.
مثلاً ، اموزش بازي شطرنج را بدون استفاده از تمثيل ها در نظر بگيريد.با يك جدول 8×8 شروع مي كنيم،كه در آن بازيكنان 1 و 2 ، مهره هايي را كه با علامت هاي A و B و C و D و E و F ، برچسب گذاري و مرتب شده اند، در اختيار دارند.(شكل 2)

B1
‍C1
D1
F1
E1
D1
C1
B1
A1
A1
A1
A1
A1
A1
A1
A1
































A2
A2
A2
A2
A2
A2
A2
A2
B2
C2
D2
F2
E2
D2
C2
B2

شكل2:شطرنج بدون تمثيل







سپس براي بازيكنان توضيح مي دهيم كه حركت هاي درست هر مهره، توسط نوع مهره تعيين مي شود و هدف بازي، از حركت انداختن مهره ي F بازيكن حريف است.در پاسخ به چنين آموزشي، احتمالاً دانش اموزان حركات معتبر(درست)هر مهره را حفظ مي كنند و با استفاده از علائم بصري،حركت هاي مهره ها را انجام مي دهند – كه البته چندان جالب نيست!
واضح است كه يادگيري، به توسعه ي تمثيل ها نياز دارد.درحقيقت افراد،بازي شطرنج را مي آموزند و از ان لذت مي برند زيرا مهره هاي بازي، خود تمثيلي از شخصيت هاي نظامي قرون وسطي هستند.مثلاً مهره هاي پياده ي شطرنج زياد هستند،اما توانايي آن ها كم است،اسب ها مي توانند از روي ساير مهره ها «بپرند» و مهره هاي وزير،قدرت نامحدودي دارند.اسير كردن شاه، تمثيلي براي برنده شده در بازي است.در واقع، بسياري از بازي هاي ويدئويي و بازي هاي روي صفحه، محبوبيت خود را مديون همين هستند كه هر يك، تمثيلي از پيشامدها و مردم واقعي مي باشند.
من در تدريس خود دريافته ام كه حساب، يكي از لذت بخش ترين و سودمندترين زمينه ها براي تمثيل ها و مشابهت ها در رياضي است.مثلاً خود ما از ضرب اعداد صحيح مانند
استفاده مي كنيم تا به اين حقيقت برسيم كه به علاوه ، مدل هاي بصري و فيزيكي نيز به عنوان زمينه هاي مناسبي براي تمثيل به كار مي روند؛البته تا زماني كه به آساني فهميده شده و به شكلي آشنا، ارائه شوند.
مولفه هاي تلفيق
وقتي يك مفهوم به صورت تمثيلي معرفي مي شود، بايد با پايگاه دانش موجود، تلفيق شود.به عقيده ي من،اين فرايند تلفيق،با يك تعريف آغاز مي شود؛زيرا يك تعريف، برچسبي به مفهوم جديد نسبت مي دهد و آن را درون يك موقعيت رياضي قرار مي دهد.زماني يك مفهوم را تعريف مي كنيم، مي توانيم آن را با مفاهيم شناخته شده از قبل، مقايسه و مقابله كنيم .
مجسم كردن ، آزمايش كردن و اكتشاف، نقش هاي كليدي در تلفيق بازي مي كند.البته در ميان آنها، مقايسه هاي بصري و تجسم از همه قدرتمند تر است و اكتشاف و آزمايش، راه هايي براي مقايسه ي پديده هاي جديد با پديده هاي خوب مطالعه شده و خوب فهميده شده مي باشند.در نتيجه اغلب در اين وضعيت، استفاده از تكنولوژي به عنوان يك ابزار تجسمي، مطلوب است.
به طور مثال، وقتي رشد نمايي را تعريف مي كنيم و تمثيل مي زنيم، بهترين كمك به دانش آموزان، ممكن است اين باشد كه اين پديده ي جديد – رشد نمايي – را با پديده ي شناخته شده ي رشد خطي، مقايسه كنيم.در واقع، فرض كنيد به دانش آموزان گفته مي شود كه براي دريافت يك جايزه ي نقدي، دو گزينه دارند: يا دريافت 1000 دلار در ماه به مدت 60 ماه ، يا دريافت همه ي سود حاصل از يك سرمايه گذاري 100 دلاري با سود ماهانه ي %20 به مدت 60 ماه.مقايسه ي بصري اين دو گزينه، تفاوت ها و شباهت هاي ميان رشد خطي و رشد نمايي را آشكار مي سازد(شكل 3)
به ويژه،رشد نمايي در ابتدا تقريباً خطي به نظر مي رسد و بنابراين در چند ماه اول، گزينه ي 1 مقدار بيش تري خواهد شد.
با اين حال، پس از گذشت زمان،رشد نمايي پيشي مي گيرد و به صورت فزاينده اي سريع تر از گزينه ي خطي، رشد مي كند به طوري كه پس از 60 ماه، گزينه ي 1 ، 60000 دلار مي ارزد در حالي كه گزينه ي 2 ، 4695626 (بيش از 4 ميليون دلار) ارزش دارد.
تحليل و تركيب
كوتاه سخن آن كه تحليل، يعني اين كه دانش اموز،به صورت نقادانه، درباره ي مفهوم جديد فكر مي كند.بعني مفهوم جديد،شخصيت خاص خود را پيدا مي كند و دانش آموز،مايل است كه هر چه بيشتر درباره ي آن،ياد بگيرد.تحليل گران مي خواهند تاريخ آن مفهوم ،راهبرد هاي استفاده از آن و توضيحاتي در مورد خصيصه هاي مختلف آن بدانند.افزون بر اين، مفهوم جديد تقريباً به صورت يكي از شخصيت هاي متعددي در مي ايد كه تحليل كنندگان مي خواهند ارتباط آن را با ساير مفاهيم(شخصيت هاي) موجود و نيز حوزه هاي تاثير آن درون پايگاه دانش موجود خود را بدانند.
بدين جهت،تحليل گران به كسب اطلاعات زياد در يك دوره ي زماني كوتاه ، تمايل دارند و لذا ارايه ي درست به صورت سخنراني براي ان ها، كاملاً مناسب است. متاسفانه،وضعيت جاري چنين است كه فرض مي كنيم همه ي دانش آموزان ما،براي همه ي مفاهيم،تحليل گر هستند و اين، به اين معني است كه مقدار وسيعي اطلاعات را به دانش آموزاني ارايه مي دهيم كه حتي تشخيص نمي دهند كه بايك ايده ي جديد مواجه شده اند.
در واقع چنين وضعيتي در حسابان، براي مفهوم حد رخ مي دهد.مطالعات نشان داده است كه تقريباً هيچ كس اين درس را با درك جامعي از مفهوم حد به پايان نمي رساند(زيديك،2000) در عوض،اغلب دانش آموزان به رهيافت متوسل مي شوند تا در مواجه ي اوليه خود با فرآيند حد،با آن دست و پنجه نرم كنند.
سرانجام،تركيب اساساً تسلط بر موضوع است،بدين معنا كه مفهوم جديد،به صورت ابزاري در مي آيد كه دانش آموز براي ايجاد استراتژي هاي فردي حل مسأله، از ان استفاده مي كند.مثلاً اگر چه بازي ها اغلب به تمثيل ها و مشابهت ها بستگي دارند، اما قسمت سرگرم كننده ي بازي،تحليل آن و ايجاد استراتژي هاي جديد براي بردن است.در واقع در هر بازي، همه ي ما دوست داريم به نقطه اي برسيم كه كنترل بازي را در دست بگيريم يعني نقطه اي كه استراتژي هاي خودمان را تركيب مي كنيم و سپس از ان ها براي ايجاد تمثيل ها و مجاز هاي خودماني از مفاهيم جديد،استفاده مي كنيم.
نقش معلم
همان طور كه در مقدمه ذكر شد، ارزش اين مدل 4 مرحله اي يادگيري رياضي اين است كه مي توان از ان به عنوان راهنمايي برا يايجاد روش هاي اظلاحي و برنامه درسي استفاده كرد.به عنوان مثال، مي توانيم با استفاده از اين مدل،نقش معلم در يك درس رياضي اصلاح شده را توصيف و بررسي كنيم.
براي شروع بايد بدانيم كه تركيب،عملي خلاقانه است.پس همه ي دانش آموزان نمي توانند با مفهوم ارايه شده،تركيب انجام دهد.به علاوه، تمثيل هاي مناسب،به پيشينه ي فرهنگي دانش اموزان بستگي دارد و در نتيجه، تمثيل هاي جديد بايد به صورت پيوسته،توسعه يابند.بالاخره،برخي مفاهيم نسبت به ساير مفاهيم،نيازمند تمثيل سازي،تلفيق و تحليل بيش تري هستند.به بيان ساده تر، اين مدل به ما اجازه نمي دهد كه يادگيري رياضي را به يك فرايند خود به خودي با 4 گام كنترل سده،تبديل كنيم.پس بايد واسطه ي وجود داشته باشد – يعني هر معلم – كه تمثيل ها و مشابهت ها را براي دانش اموزان توسعه مي دهد، ميزان تمثيل و تلفيق و تحليل مورد استفاده در ارايه ي يك مفهوم را تعيين مي كند و اوست كه اطمينان حاصل مي كند كه آيا دانش اموزان يادگرفته اند درباره ي هر مفهوم، به صورت انتقادي فكر كنند.و هر گاه دانش اموزان بتوانند انتقادي فكر كنند،معلم بايد با ارايه ي راه كارهاي حل مسأله و ايجاد تمثيل هاي جديد،براي بسياري از دانش اموزان،عمل تركيب را انجام دهد.
به بيان دقيق تر،اين مدل براي معلم، نقش هاي زير را در هر يك از 4 مرجله ي كسب مفهوم،بيان مي كند:
- تمثيل سازي و مشابهت سازي: معلم يك داستان سرا(نقال ) است؛
- تلفيق: معلم،يك راهنما است؛
- تحليل: معلم، يك خبره است؛
- تركيب: معلم، يك مربي است؛
در اين مقاله،فرصت توضيح بيشتري درباره ي هر يك از اين نقش ها وجود ندارد،ليكن اجازه دهيد نكته اي را خاطر نشان كنم كه احساس مي كنم نبايد از ان غفلت كرد.دانش اموزاني كه با استعداد هستند، در نظام اموزشي ما اغلب كسل يا حتي خفه مي شوند.اگر بپذيريم كه مربي،كسي است كه نظم و ترتيب و ساختار را براي ايجاد خلاقيت به كار مي گيرد،پس به وضوح اين دانش اموزان هستند كه بايد توسط وي تربيت شوند.به ويژه معلمان بايد مطمئن شوند كه تركيب كننده ها،تشخيص مي دهند كه در رياضي،خلاقيت وجود دارد و آن ها بايد نشان دهند كه چنين خلاقيتي، هم لذت بخش و هم با ارزش است.
نقش تكنولوژي
گر چه نظرات اصلاحي از قبيل استفاده از تكنولوژي،يادگيري گروهي،و قانون چهار مرحله اي،ارزشمند و اثر بخش هستند، اما به يادگيري آن ها، اغلب نيازمند صرف زمان زياد از زمان با ارزش كلاس است.اگر از اين ايده هاي اصلاحي، عاقلانه استفاده نشود،به راحتي مي توانند منجر به درس هايي شوند كه عميق هستند اما وسعت ندارند، كه در اين صورت براي برنامه ريزي درسي بعد از دبيرستان،نامناسب مي باشند.در هر حال مدل 4 مرحله اي يادگيري،اجازه مي دهد براي اصلاحات، راه كارهايي ايجاد كنيم كه در ان، محتواي درس قرباني نشود.براي نشان دادن اين ادعا، توضيحات خود را به گنجاندن تكنولوژي در برنامه درسي، محدود مي كنم.
فرض كنيد مفهومي داريم كه استفاده از تكنولوژي را ايجاب مي كند.براي تعيين چگونگي استفاده ي بهينه از ان تكنولوژي،ابتدا بايد مشخص كنيم كه كدام يك از اين 4 مرحله، ان تكنولوژي را به بهترين وجه توصيف مي كند و پس از ان، ضروري است كه استفاده از ان تكنولوژي را به ان مرحله از ارايه ي مفهوم، محدود سازيم.به علاوه،اگر معلوم كنيم كه دانش اموزان در ان مرحله، به زمان خيلي كمي نيازمندند،شايد ديگر نخواهيم از ان تكنولوژي استفاده كنيم.
مثلاً فرض كنيد يك برنامه ي «اپلت» داريم كه همگرايي سري ريمان در ناحيه ي زير منحني را نشان مي دهد؛هيچ مقايسه اي ميان ايده هاي شناخته شده و ايده هاي ناشناخته انجام نمي دهد،و كمكي به تمايز مفهوم انتگرال از ساير مفاهيم(مانند پاد مشتق) نمي كند.بنابراين، اين برنامه براي تلفيق،تحليل يا تركيب مناسب نيست.
با اين وجود،اگر درك و استفاده از اپلت، ساده باشد مي توان از ان به عنوان زمينه ي بصري عالي براي مفهوم انتگرال، استفاده كرد.پس، من از ا» به عنوان يك تمثيل براي انتگرال معين استفاده مي كنم:آن را به عنوان نمايشي براي مفهوم جديد معرفي خواهم كرد.پس از آن،از ان به عنوان انگيزه بخش تعاريف اِفراز، مجموع ريمان، و نهايتاً انتگرال معين استفاده خواهم كرد.
در حقيقت، ممكن است تصميم بگيرم كه 2-3 تصوير كه خوب ترسيم شده باشند، همان تاثير برنامه ي اپلت را دارند،و لذا ممكن است قانع شوم كه در زمان و تلاشي كه براي معرفي اپلت و چگونگي كار با آن صرف مي شود، صرفه جويي كنم.يا ممكن است كه تصميم بگيريم كه واقعاً مي خواهم از اپلت استفاده كنم و متعاقباً تكليفي طراحي كنم كه در ان از دانشجويان بخواهم نتايج حاصل از اپلت را با نتايج حاصل از قلم و كاغذ، مقايسه كنند.
از اينت گذشته نوع استفاده ي من از تكنولوژي، از ترمي به ترم ديگر،متفاوت است.ممكن است در يك ترم ببينم كه تك تك دانشجويان و كلاس،نيازمند صرف زمان بيشتري براي تمثيل مفهوم انتگرال معيم هستند.يا ممكن است برنامه ي اپلت را فقط در حد فرصتي براي به چالش كشيدن گروهي از تركيب كننده ها، نشان دهم تا نسخه ي بهتري از اپلت بسازند – با اين ضمانت كه در اينده به جاي برنامه ي فعلي،از برنامه ي آن ها استفاده خواهم كرد.
استفاده يا عدم استفاده ي من از تكنولوژي،تحت تاثير نقشي است كه تكنولوژي مي تواند در ارايه ي يك مفهوم خاص، بازي كند.براي من حيرت آور است كه تكنولوژي، كه در ابتدا بسيار جذاب به نظر مي رسد،واقعاً با توجه به اين مدل،ارزش آموزشي اندكي دارد.
جمع بندي
در اخر،مي خواهم باور خود را تكرار كنم كه اين مدل، تنها زماني موثر است كه به صورت ابزاري در دستان يك معلم مشتاق باشد كه مي خواهد رابطه ي معلم – شاگردي – را ارتقا دهد.در حقيقت،حدس مي زنم كه بسياري از معلمان، همين حالا هم از اين مدل استفاده مي كنند،بدون اين كه به آن رسميت داده باشند.در حال حاضر، بسياري از ما به جاي اين كه از قضيه ي فيثاغورس استفاده كنيم،وتر يك مثلث قائم الزاويه را با خط كش اندازه مي گيريم.ما اين كار را مي كنيم چون مي دانيم كه زماني كه دانش اموز مي بيند نتايج حاصل از اندازه گيري و قضيه ها، يكي هستند، در حل مسايل، از قضيه ها مستقل از اندازه گيري استفاده مي كند.
با اين وجود، اين مدل، ابزاري بسيار ارزشمند در تدريس من بوده است.اين مدل به من اجازه مي دهد كه نيازهاي دانش اموزان را سريع و موثر تشخيص دهم،وقت و كاربرد تكنولوژي را بودجه بندي كنم و اعتماد دانش اموزان نسبت به توانايي ام در هدايت آن ها به سوي موفقيت را افزايش دهم.اميدوارم اين مدل براي همكاران آموزشگرم در حرفه ي رياضي نيز به همين اندازه با ارزش باشد.