قضیه اساسی حساب

[Borna66]

قضیه اساسی حساب

قضیه اساسی حساب در نظریه اعداد به این شکل بیان می‌شود:

هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به صورت حاصلضربی از اعداد اول نوشت. به عنوان مثال:

172 * 3 * 23 = 6936

حال اگر ترتیب نوشتن عاملها را در نظر نگیریم این تنها تجزیه از عدد ۶۹۳۶ به عوامل اول است که می‌توانیم بنویسیم.



اثبات
اثبات این قضیه شامل دو قسمت است. ابتدا نشان می‌دهیم هر عدد را می‌توان به صورت حاصلضربی از اعداد اول نوشت و سپس ثابت می‌کنیم این تجزیه یکتاست.

برهان: فرض می‌‌کنیم عدد صحیح مثبتی مانند x وجود دارد که نمی‌توان آن را به حاصلضرب اعداد اول تجزیه کرد. مجموعهٔ A را به این شکل تعریف می‌‌کنیم:
«مجموعه n‌های عضو اعداد طبیعی به طوریکه 1<n بوده و n تجزیه‌پذیر نباشد.»
A مخالف تهی است زیرا x عضوی از A است. پس بنا به اصل خوش ترتیبی اعداد طبیعی A عضو ابتدا دارد.

فرض می‌کنیم m ابتدای A باشد (یعنی m عضوی از A است و در نتیجه قابل تجزیه به اعداد اول هم نیست). بنابراین m اول نیست پس عددی مرکب است یعنی:

m = d1 * d2;1 < d1 < m,1 < d2 < m

بدیهی است که d1 و d2 عضو A نیستند زیرا از m کوچک‌ترند لذا هر دو تجزیه‌پذیرند. بنابراین:

d1 = p1 * p2 * ... * pk

d2 = q1 * q2 * ... * qs

به طوری که p‌ها و q‌ها اول هستند. در نتیجه:

m = p1 * p2 * ... * pk * q1 * q2 * ... * qs

می‌بینیم که m تجزیه‌پذیر شده و این با فرض ما در تناقض است.