اندازه هاي اختلاف از نرمال بودن

[donya88]

می دانیم نمودار چندبر فراواني براي تعداد مشاهده زياد به يك منحني هموار تبديل مي شود كه آن را منحني توزيع فراواني مي نامند. توزيع فراواني از مفاهيم اساسي در تئوري آمار بوده و اساس بخش عمده اي از روشهاي آمار استنباطي را تشكيل مي‌دهد. از معروفترين ( شايد معروفترين) توزيعهاي فراواني كه معادلة مختصاتي آن به صورت
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
است، توزيع نرمال استاندارد ناميده‌ مي‌شود. اين منحني زنگي شكل از لحاظ تقارن، كشيدگي، و پخي تناسبي دارد.
از جملة متغيرهايي كه داراي توزيع فراواني نرمال مي‌باشد قد انسانها است.اين امر را مي توان با رسم چندبر فراواني قد تعداد زيادي از افراد تحقيق نماييد.
در عمل به ندرت متغيري وجود دارد كه منحني فراواني آن كاملا نرمال استاندارد باشد. اغلب منحني فراواني داده‌ها نامتقارن، كشيده يا پخ هستند. ميزان نرمال نبودن را با دو معيار چولگي و برجستگي مي‌سنجند. اين دو معيار به ميانگينهاي مخصوص به‌نام گشتاورها بستگي دارد.

گشتاور و گشتاور مركزي داده‌ها فرض کنید http://pnu-club.com/imported/mising.jpgداده به صورتhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg با فراوانی های http://pnu-club.com/imported/mising.jpgداشته باشیم.. ميانگين توانhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg ام http://pnu-club.com/imported/mising.jpgو http://pnu-club.com/imported/mising.jpgها يعني




را به ترتيب گشتاور http://pnu-club.com/imported/mising.jpgام و گشتاور مركزيhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg ام داده‌ها مي‌نامند (معمولأhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg يك عدد طبيعي است).

چولگي ميزان عدم تقارن منحني فراواني را چولگي مي‌نامند. فرض كنيدhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg ميانگين، http://pnu-club.com/imported/mising.jpgميانه، http://pnu-club.com/imported/mising.jpgنما وhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg انحراف استاندارد و http://pnu-club.com/imported/mising.jpgگشتاور مركزي سوم باشند. هركدام از فرمولهاي زير را مي‌توان به عنوان معيار چولگي به كار برد:
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
استفاده از http://pnu-club.com/imported/mising.jpgدر مخرج، به اين دليل است كه ضرائب فوق به واحد اندازه‌گيري بستگي نداشته باشد.
در‌صورتيكه داده‌ها نسبت به ميانگين متقارن باشند، ضرايب بالا برابر صفر هستند. البته توجه داشته باشيد كه عكس اين موضوع لزومي ندارد صحت داشته باشد. برحسب اينكه http://pnu-club.com/imported/mising.jpgمثبت يا منفي باشند، منحني فراواني چوله به راست يا چوله به چپ است. معمولا بواسطة اينكه محاسبة نما در عمل با دقت كافي مشكل است از اندازةhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg استفاده مي‌شود.

برجستگي ميزان كشيدگي يا پخي منحني فراواني را نسبت به منحني نرمال استاندارد، برجستگي آن مي نامند. فرض كنيدhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpgگشتاور مركزي چهارم و http://pnu-club.com/imported/mising.jpgانحراف استاندارد باشد. چون بر اساس خصوصيات توزيع فراواني نرمال استاندارد مقدار http://pnu-club.com/imported/mising.jpgبه عدد 3 نزديك است، معيار برجستگي را از رابطة زير محاسبه ميكنند.
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
به دست مي‌آورند. بر حسب آنكه k مثبت يا منفي باشد منحني فراواني نسبت به منحني نرمال استاندارد كشيده يا پخ مي‌باشد. اكر k نزديك صفر باشد، برجستگي منحني فراواني طبيعي است.

مثال: در بررسي طول عمر صد باطري اتومبيل اگر ميانگين، ميانه و انحراف استاندارد 5/3 و 48/3 و 65/1 سال مي باشد.در بارة شكل توزيع (نمودار هيستوگرام يا چندبر فراواني) آن چه مي‌توان گفت؟
با اطلاعات داده شده ضريب چولگي دوم پيرسون عبارتند از

http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
بنابراين منحني فراواني طول عمر باطري ها كمي چوله به راست مي باشد. با محاسبة ضريب برجستگي داريم
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
بنابراين منحني فر اواني عمر باطري‌ها نسبت به منحني نرمال استاندارد پخ تر مي‌باشد.
همانگونه كه ديديد با استفاده از اين سه معيار مي توانيم شكل عمومي عملكرد باطري ها را تاحدود زيادي تشخيص دهيم.

داده‌هاي استاندارد در اين بخش به معرفي يكي از كاربردهاي مفيد ميانگين و انحراف استاندارد در مقايسة واحدهاي جمعیت براي موضوعات مختلف مي پردازيم.
فرض كنيد http://pnu-club.com/imported/mising.jpgمتغيرهاي مشاهده‌اي با ميانگينhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg و انحراف استانداردhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg باشند. داده‌هايhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg را داده‌هاي استاندارد نامند.
كاربرد داده‌هاي استاندارد در مثال زير واضح‌تر است:

مثال : نمره كاركنان يك كلاس اموزشي در آزمون كامپيوتر داراي ميانگين 72 و انحراف‌استاندارد 15 و در آزمون نگارش داراي ميانگين 50 و انحراف استاندارد 20 است.
اگر نمره فردA در كامپيوتر 60 و در نگارش 35 باشد،آن‌گاه معلومات فردA در كدام موضوع بيشتر است؟
چون اين دو آزمون با مقياسهاي مختلف به‌عمل آمده‌اند، مقايسه اعداد 60 و 35 مفهومي ندارند. اگر نمره‌هاي دو آزمون تقريبأ داراي منحني فراواني نرمال باشند، تنها بعد از استاندارد كردن مي‌توان آنها را با هم مقايسه كرد.
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
بنابراين نمره فردA در آزمون نگارش بهتر مي‌باشد، زيرا داريمhttp://pnu-club.com/imported/mising.jpg