donya88
01-04-2010, 08:22 AM
زندگی روزانه علاوه بر مفاهیم پیشامد، احتمال، و متغیر تصادفی با مفهوم دیگری بهنام امید یا انتظار همراه است. در حالی که انسان همواره با امید زندگی میکند، ولی نمیتواند بیش از حد به بعضی رویدادها چشم امید داشته باشد. امید و انتظار هم مانند تصادف و شانس، در عین بینظامی، تابع نظام و قوانینی میباشد.
از نظر تاریخی امید و انتظار مانند تصادف و احتمال از راه بازی های قمار جنبه ریاضی پیدا کرده است. برای اینکه مطلب روشن شود به بازی شیر و خط زیر توجه نمائید:
فرض کنید با خریدن یک بلیط بتوانید در یک بازی تفریحی شرکت کنید. در این بازی یک ماشین سکه انداز با فشار تکمهای به تصادف سه سکه با رنگهای مختلف را باهم میریزد و با فشار تکمهای دیگر به اندازه شماره شیرها، سکه ده ریالی به شما میپردازد.
صاحب ماشین مدعی است که اصلاً قمار و سودجویی ندارد و صرفاً میخواهد مردم را سرگرم کند، ولی قیمت هر بلیط باید طوری باشد که بعد از چند بازی رویهم ضرر نکند. منصفانه بهای هر بلیط چقدر باید باشد؟
چون سکهها کاملاً به تصادف میریزند، احتمال اینکه شماره شیرها 0،1،2،3 شوند بهترتیب 8/1، 8/3 ، 8/3،8/1 میباشد. حال اگر تعدادی زیاد بلیط، مثلاً 400 بلیط، فروش رود انتظار میرود (بنابر تعبیر احتمال با فراوانی نسبی) 50 مرتبه هیچ شیر،150 مرتبه یک شیر، 150مرتبه دو شیر، و 50 مرتبه سه شیر مشاهده شود. بنابراین انتظار میرود که ماشین برای 400 بلیط مبلغ زیر را بپردازد:
(400×1/8×0)+(400×3/8×1)+ (400×3/8×2)+ (400×1/8×3)=600 tooman
برای اینکه صاحب ماشین نه سود نماید نه زیان، بهای هر بلیط بهطور متوسط یا منصفانه باید 1.5=400÷600 تومان باشد. بنابراین اگر 400 بلیط به مبلغ 600 تومان فروخته شود انتظار میرود که ماشین هم همین مبلغ را بپردازد.
در این مثال یک متغیر تصادفی X ( یعنی شماره شیرها در ریزش 3 سکه ) داریم که جدول توزیع احتمال آن بهصورت زیر است:
x=0,1,2,3
احتمالها به تر تيب برابر است با
x=0 1/8
x=1 3/8
x=2 3/8
x=3 1/8
عدد زیر را که حقیقت معدل وزنی شماره شیرها میباشد، امیدریاضی یا امیدX مینامند و با E(X) نشان میدهند (E حرف اول کلمه Expectation بهمعنای انتظار است)
E(x)= (1/8×0)+(3/8×1)+( 3/8×2) + (1/8×3)=1.5
تعبیر فراوانی E(x)=1.5 چنین است: اگر ماشین این سه سکه را بارها مثلاً 1000 بار بریزد انتظار داریم معدل شیرها در هر بار بشود عدد 1.5
از نظر تاریخی امید و انتظار مانند تصادف و احتمال از راه بازی های قمار جنبه ریاضی پیدا کرده است. برای اینکه مطلب روشن شود به بازی شیر و خط زیر توجه نمائید:
فرض کنید با خریدن یک بلیط بتوانید در یک بازی تفریحی شرکت کنید. در این بازی یک ماشین سکه انداز با فشار تکمهای به تصادف سه سکه با رنگهای مختلف را باهم میریزد و با فشار تکمهای دیگر به اندازه شماره شیرها، سکه ده ریالی به شما میپردازد.
صاحب ماشین مدعی است که اصلاً قمار و سودجویی ندارد و صرفاً میخواهد مردم را سرگرم کند، ولی قیمت هر بلیط باید طوری باشد که بعد از چند بازی رویهم ضرر نکند. منصفانه بهای هر بلیط چقدر باید باشد؟
چون سکهها کاملاً به تصادف میریزند، احتمال اینکه شماره شیرها 0،1،2،3 شوند بهترتیب 8/1، 8/3 ، 8/3،8/1 میباشد. حال اگر تعدادی زیاد بلیط، مثلاً 400 بلیط، فروش رود انتظار میرود (بنابر تعبیر احتمال با فراوانی نسبی) 50 مرتبه هیچ شیر،150 مرتبه یک شیر، 150مرتبه دو شیر، و 50 مرتبه سه شیر مشاهده شود. بنابراین انتظار میرود که ماشین برای 400 بلیط مبلغ زیر را بپردازد:
(400×1/8×0)+(400×3/8×1)+ (400×3/8×2)+ (400×1/8×3)=600 tooman
برای اینکه صاحب ماشین نه سود نماید نه زیان، بهای هر بلیط بهطور متوسط یا منصفانه باید 1.5=400÷600 تومان باشد. بنابراین اگر 400 بلیط به مبلغ 600 تومان فروخته شود انتظار میرود که ماشین هم همین مبلغ را بپردازد.
در این مثال یک متغیر تصادفی X ( یعنی شماره شیرها در ریزش 3 سکه ) داریم که جدول توزیع احتمال آن بهصورت زیر است:
x=0,1,2,3
احتمالها به تر تيب برابر است با
x=0 1/8
x=1 3/8
x=2 3/8
x=3 1/8
عدد زیر را که حقیقت معدل وزنی شماره شیرها میباشد، امیدریاضی یا امیدX مینامند و با E(X) نشان میدهند (E حرف اول کلمه Expectation بهمعنای انتظار است)
E(x)= (1/8×0)+(3/8×1)+( 3/8×2) + (1/8×3)=1.5
تعبیر فراوانی E(x)=1.5 چنین است: اگر ماشین این سه سکه را بارها مثلاً 1000 بار بریزد انتظار داریم معدل شیرها در هر بار بشود عدد 1.5