Borna66
12-31-2009, 04:52 PM
انـتـگرال بـیضـوی
مترجمان: فخری بساره - ابوالفضل گروئی
از دانشنامه آزاد ویکیـپدیـا
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral (http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral)
در حساب انتگرال، انتگرالهای بیضوی اصولا در ارتباط با مساله طول کمان بیضی مطرح می شوند. این انتگرال ها را برای اولین بار جیولیو فاگنانو (Giulio Fagnano) و لئونهارد اویلر (Leonhard Euler) بررسی کردند. ریاضیات نوین، انتگرال بیضوی را به عنوان هر تابع f که بتواند به شکل زیر بیان شود، تعریف میکند:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/125.png
وقتی R تابع گویای دو آرگومان آن، P ریشه دوم یک چند جمله ای درجه سه یا چهار بدون ریشه های تکراری و c یک ثابت است.
در کل، انتگرال های بیضوی نمی توانند بر حسب توابع اولیه بیان شوند. استثناها برای این قاعده کلی وقتی است که P ریشه های تکراری دارد یا وقتی که (R(x,y شامل توان های فرد y نباشند. به هر حال، با فرمول تحویل مناسب، هر انتگرال بیضوی می تواند به شکلی که انتگرالهائی را روی توابع گویا و سه شکل متعارف (برای نمونه، انتگرالهای بیضوی نوع اول، دوم و سوم) در بر گیرد، درآید.
در کـنار فـرم هـائی که در زیـر داده شده انـد، انـتگـرال های بـیـضـوی نـیـز مـمکن است به صـورت لـژانـدر (Legendre form) و صورت متقارن کارلسون (Carlson symmetric form) بیان شوند. بینش بیشتر در نظریه انتگرال بیضوی می تواند از طریق بررسی نقشه نگاری شوارتز-کریستوفل حاصل شود. از نظر تاریخی، توابع بیضوی به عنوان توابع معکوس انتگرال های بیضوی کشف شدند و به ویژه این یکی:
داریم
F(sn(z ; k) ; k) = z
وقتی sn یکی از توابع بیضوی ژاکوبی (Jacobi's elliptic functions) است.
نمادها
انتگرال های بیضوی اغلب به شکل توابعی با آرگومان های مختلف بیان می شوند. این آرگومان های مختلف کاملا معادلند (انتگرال بیضوی مشابهی می دهند)، اما به علت ظاهر متفاوتشان گیج کننده اند. بیشتر متون با نقشه نام گذاری متعارف همراهند. پیش از تعریف انتگرال ها، قواعد نامگذاری آرگومان ها را مرور می کنیم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/126.png زاویه مدولار
http://pnu-club.com/imported/2009/12/127.png مدول بیضوی
http://pnu-club.com/imported/2009/12/128.png مشخصه (پارامتر)
توجه کنید که سه قرارداد بالا کاملا توسط دیگری تعیین شده اند. با مشخص شدن یکی، دیگری نیز مشخص میگردد. انتگرالهای بیضوی نیز به آرگومان دیگری وابسته اند که میتواند با راههای مختلفی تعیین شود.
http://pnu-club.com/imported/2009/12/129.png دامنه
x وقتی http://pnu-club.com/imported/2009/12/130.png
u وقتی x=sn u و sn یکی از انتگرالهای بیضوی ژاکوبی است.
با مشخص شدن هر یک از این آرگومانها دیگر آرگومانها هم تعیین میشوند. بنابراین، میتوانند در نمادنگاری به صورت قابل تعویض به کار روند. توجه کنید که u نیز به m بستگی دارد. چند رابطه اضافی، u را به صورت
http://pnu-club.com/imported/2009/12/131.png
و
http://pnu-club.com/imported/2009/12/132.png
شامل می شوند.
دومی گاهی اوقات دامنه دلتا نامیده و به شکل http://pnu-club.com/imported/2009/12/133.png نگاشته می شود. در مراجع نوشتاری به مشخصه (پارامتر) مکمل، مدول مکمل یا زاویه مدولار مکمل نیز اشاره می شود. تعریف بیشتر اینها را (اینجا (http://en.wikipedia.org/wiki/Quarter_period)) ببینید.
انتگرال بیضوی ناقص نوع اول
انتگرال بیضوی ناقص نوع اول F به شکل زیر تعریف می شود:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/134.png
به طور یکسان، با استفاده از نمادنگاری در صورت ژاکوبی قرار می دهیم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/135.png
سپس،
http://pnu-club.com/imported/2009/12/136.png
وقتی دانسته شده است که زمانی یک میله عمودی استفاده شود ( | )، آرگومان بعد از میله عموذی پارامتر است (چنان که در بالا تـعـریـف شد)؛ و وقتی بک اسلش (\) بـه کار رود، بعد از آن زاویه مدولار می آید. در این قرارداد، http://pnu-club.com/imported/mising.jpg با نمادگذاری مستقیم وام گرفته شده از کتاب مرجع استانداردهای آبرامـوویـتـز و اشتگان (Abramowitz and Stegun). استفاده از ; | \ در انتگرال های بیضوی متداول است.
http://pnu-club.com/imported/2009/12/161.gif
نمودار انتگرال بیضوی ناقص نوع اول.
به هر حال، قراردادهای مختلفی برای نمادگذاری انتگرال های بیضوی وجود دارد. این اختلاف ها به خصوص برای مبتدیان می توانند بسیار گیج کننده باشند. توابعی که انتگرال های بیضوی را تعیین میکنند استاندارد و نامها و معانی یکتا ندارند (مانند sqrt ، sin و erf). حتی نوشته های درباره این موضوع نیز از نمادگذاری متفاوت استفاده میکنند. در گرادشتین-ریزیک (Gradstein,Rhysik) معادله (8.111) و مقاله صورت لژاندر مقاله ویکیپدیا (Wikipedia) ، http://pnu-club.com/imported/2009/12/137.png معادل http://pnu-club.com/imported/2009/12/138.png ما آورده شده؛ همچنین http://pnu-club.com/imported/2009/12/139.png.
از این رو، اگر شخصی رمزی را از زبان ریاضی Mathematica به زبان استفاده شده توسط Maple ترجمه میکند، باید آرگومان تابع بیضوی Elliptic K function) K) را با ریشه دوم آن جایگزین نماید. به همین منوال، در ترجمه از Maple به Mathematica ، آرگومان باید با مجذورش جایگزین گردد. (K(x بیضوی در Maple تقریبا معادل با [K[x2 بیضوی در Mathematica است. فرد دیگری ممکن است انتظار داشته باشد تا همان نتیجه را در هر دو سامانه (سیستم) بگیرد، دست کم وقتی که داریم: x کوچکتر از یک و بزرگتر از صفر باشد.
توجه کنید که
http://pnu-club.com/imported/2009/12/140.png
با u که در بالا تعریف شد: بنابراین، توابع بیضوی ژاکوبی، معکوس های انتگرال های بیضوی هستند.
انتگرال بیضوی ناقص نوع دوم
انتگرال بیضوی ناقص نوع دوم E به این شکل است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/141.png
به صورت معادل، با استفاده از نمادگذاری جایگزین (جانشانی) http://pnu-club.com/imported/2009/12/142.png ،
http://pnu-club.com/imported/2009/12/143.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/162.gif
نمودار انتگرال بیضوی ناقص نوع دوم.
نسبت های اضافی شامل زیر می شوند:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/144.png
انتگرال بیضوی ناقص نوع سوم
انتگرال بیضوی ناقص نوع سوم http://pnu-club.com/imported/2009/12/145.png به این شکل است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/146.png
یا
http://pnu-club.com/imported/2009/12/147.png
یا
http://pnu-club.com/imported/2009/12/148.png
عدد n مشخصه نامیده می شود و هر مقداری را مستقل از دیگر آرگومانها می تواند بگیرد. توجه داشته باشید که به هر حال مقدار http://pnu-club.com/imported/2009/12/149.png برای هر m نامحدود است.
انتگرال بیضوی کامل نوع اول
انتگرال های بیضوی وقتی کامل خوانده می شوند که دامنه نصف پی (pi/2) و بنابراین x=1 باشد. انتگرال بیضوی کامل نوع اول K می تواند به صورت زیر تعریف شود:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/150.png
یا
http://pnu-club.com/imported/2009/12/151.png
این یک حالت خاص انتگرال بیضوی ناقص نوع اول است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/152.png
حالت خاص می تواند به شکل یک سری توانی بیان شود
http://pnu-club.com/imported/2009/12/153.png
که معادل است با
http://pnu-club.com/imported/2009/12/154.png
وقتی !!n فاکتوریل دوگانه است.بر حسب تابع فوق هندسی گاوس (Gauss hypergeometric function)، انتگرال بیضوی کامل نوع اول می تواند به شکل
http://pnu-club.com/imported/2009/12/155.png
بیان شود.
http://pnu-club.com/imported/2009/12/163.gif
نمودار انتگرال بیضوی کامل نوع اول.
گاهی اوقات انتگرال بیضوی کامل نوع اول یک چهارم دوره (ربع دوره quarter period) نامیده میشود و میتواند بر حسب میانگین هندسی-حسابی محاسبه گردد.
مقادیر ویژه
http://pnu-club.com/imported/2009/12/156.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/157.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/158.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/159.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/160.png
مشتق انتگرال بیضوی کامل نوع اول
http://pnu-club.com/imported/2009/12/161.png
انتگرال بیضوی کامل نوع دوم
انتگرال بیضوی کامل نوع دوم E می تواند به صورت زیر بیان شود
http://pnu-club.com/imported/2009/12/162.png
یا
http://pnu-club.com/imported/2009/12/163.png
این حالت خاصی از انتگرال بیضوی ناقص نوع دوم است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/164.png
که می تواند به صورت یک سری توانی بیان شود
http://pnu-club.com/imported/2009/12/165.png
که به صورت زیر است
http://pnu-club.com/imported/2009/12/166.png
بر حسب تابع فوق هندسی گاوس، انتگرال بیضوی کامل نوع دوم می تواند به شکل زیر بیان گردد:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/167.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/164.gif
نمودار انتگرال بیضوی کامل نوع دوم.
مقادیر ویژه
http://pnu-club.com/imported/2009/12/168.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/169.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/170.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/171.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/172.png
مشتق انتگرال بیضوی کامل نوع دوم
http://pnu-club.com/imported/2009/12/173.png
انتگرال بیضوی کامل نوع سوم
انتگرال بیضوی کامل نوع سوم می تواند به صورت زیر تعریف شود
http://pnu-club.com/imported/2009/12/174.png
توجه کنید که گاهی اوقات انتگرال بیضوی کامل نوع سوم با یک علامت معکوس در n تعریف می گردد، برای مثال
http://pnu-club.com/imported/2009/12/175.png
مشتقات جزئی انتگرال بیضوی کامل نوع سوم
http://pnu-club.com/imported/2009/12/176.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/177.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/165.gif
نمودار انتگرال بیضوی کامل نوع سوم.
***
نمودارها از سایت بسیار مفید http://www.efunda.com (http://www.efunda.com/math/elliptic/elliptic.cfm) گرفته شده اند.
مراجع:
References
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (http://en.wikipedia.org/wiki/Handbook_of_Mathematical_Functions), (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 (http://en.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/0486612724). (See chapter 17).
Harris Hancock (http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Harris_Hancock&action=edit&redlink=1) Lectures on the theory of Elliptic functions (http://www.archive.org/details/lecturestheorell00hancrich) (New York, J. Wiley & sons, 1910)
Alfred George Greenhill (http://en.wikipedia.org/wiki/Alfred_George_Greenhill) The applications of elliptic functions (http://www.archive.org/details/applicationselli00greerich) (New York, Macmillan, 1892)
Louis V. King On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals (http://www.archive.org/details/onthenumerical032686mbp) (Cambridge University Press, 1924)
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral (http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral)
مترجمان: فخری بساره - ابوالفضل گروئی
از دانشنامه آزاد ویکیـپدیـا
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral (http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral)
در حساب انتگرال، انتگرالهای بیضوی اصولا در ارتباط با مساله طول کمان بیضی مطرح می شوند. این انتگرال ها را برای اولین بار جیولیو فاگنانو (Giulio Fagnano) و لئونهارد اویلر (Leonhard Euler) بررسی کردند. ریاضیات نوین، انتگرال بیضوی را به عنوان هر تابع f که بتواند به شکل زیر بیان شود، تعریف میکند:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/125.png
وقتی R تابع گویای دو آرگومان آن، P ریشه دوم یک چند جمله ای درجه سه یا چهار بدون ریشه های تکراری و c یک ثابت است.
در کل، انتگرال های بیضوی نمی توانند بر حسب توابع اولیه بیان شوند. استثناها برای این قاعده کلی وقتی است که P ریشه های تکراری دارد یا وقتی که (R(x,y شامل توان های فرد y نباشند. به هر حال، با فرمول تحویل مناسب، هر انتگرال بیضوی می تواند به شکلی که انتگرالهائی را روی توابع گویا و سه شکل متعارف (برای نمونه، انتگرالهای بیضوی نوع اول، دوم و سوم) در بر گیرد، درآید.
در کـنار فـرم هـائی که در زیـر داده شده انـد، انـتگـرال های بـیـضـوی نـیـز مـمکن است به صـورت لـژانـدر (Legendre form) و صورت متقارن کارلسون (Carlson symmetric form) بیان شوند. بینش بیشتر در نظریه انتگرال بیضوی می تواند از طریق بررسی نقشه نگاری شوارتز-کریستوفل حاصل شود. از نظر تاریخی، توابع بیضوی به عنوان توابع معکوس انتگرال های بیضوی کشف شدند و به ویژه این یکی:
داریم
F(sn(z ; k) ; k) = z
وقتی sn یکی از توابع بیضوی ژاکوبی (Jacobi's elliptic functions) است.
نمادها
انتگرال های بیضوی اغلب به شکل توابعی با آرگومان های مختلف بیان می شوند. این آرگومان های مختلف کاملا معادلند (انتگرال بیضوی مشابهی می دهند)، اما به علت ظاهر متفاوتشان گیج کننده اند. بیشتر متون با نقشه نام گذاری متعارف همراهند. پیش از تعریف انتگرال ها، قواعد نامگذاری آرگومان ها را مرور می کنیم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/126.png زاویه مدولار
http://pnu-club.com/imported/2009/12/127.png مدول بیضوی
http://pnu-club.com/imported/2009/12/128.png مشخصه (پارامتر)
توجه کنید که سه قرارداد بالا کاملا توسط دیگری تعیین شده اند. با مشخص شدن یکی، دیگری نیز مشخص میگردد. انتگرالهای بیضوی نیز به آرگومان دیگری وابسته اند که میتواند با راههای مختلفی تعیین شود.
http://pnu-club.com/imported/2009/12/129.png دامنه
x وقتی http://pnu-club.com/imported/2009/12/130.png
u وقتی x=sn u و sn یکی از انتگرالهای بیضوی ژاکوبی است.
با مشخص شدن هر یک از این آرگومانها دیگر آرگومانها هم تعیین میشوند. بنابراین، میتوانند در نمادنگاری به صورت قابل تعویض به کار روند. توجه کنید که u نیز به m بستگی دارد. چند رابطه اضافی، u را به صورت
http://pnu-club.com/imported/2009/12/131.png
و
http://pnu-club.com/imported/2009/12/132.png
شامل می شوند.
دومی گاهی اوقات دامنه دلتا نامیده و به شکل http://pnu-club.com/imported/2009/12/133.png نگاشته می شود. در مراجع نوشتاری به مشخصه (پارامتر) مکمل، مدول مکمل یا زاویه مدولار مکمل نیز اشاره می شود. تعریف بیشتر اینها را (اینجا (http://en.wikipedia.org/wiki/Quarter_period)) ببینید.
انتگرال بیضوی ناقص نوع اول
انتگرال بیضوی ناقص نوع اول F به شکل زیر تعریف می شود:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/134.png
به طور یکسان، با استفاده از نمادنگاری در صورت ژاکوبی قرار می دهیم:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/135.png
سپس،
http://pnu-club.com/imported/2009/12/136.png
وقتی دانسته شده است که زمانی یک میله عمودی استفاده شود ( | )، آرگومان بعد از میله عموذی پارامتر است (چنان که در بالا تـعـریـف شد)؛ و وقتی بک اسلش (\) بـه کار رود، بعد از آن زاویه مدولار می آید. در این قرارداد، http://pnu-club.com/imported/mising.jpg با نمادگذاری مستقیم وام گرفته شده از کتاب مرجع استانداردهای آبرامـوویـتـز و اشتگان (Abramowitz and Stegun). استفاده از ; | \ در انتگرال های بیضوی متداول است.
http://pnu-club.com/imported/2009/12/161.gif
نمودار انتگرال بیضوی ناقص نوع اول.
به هر حال، قراردادهای مختلفی برای نمادگذاری انتگرال های بیضوی وجود دارد. این اختلاف ها به خصوص برای مبتدیان می توانند بسیار گیج کننده باشند. توابعی که انتگرال های بیضوی را تعیین میکنند استاندارد و نامها و معانی یکتا ندارند (مانند sqrt ، sin و erf). حتی نوشته های درباره این موضوع نیز از نمادگذاری متفاوت استفاده میکنند. در گرادشتین-ریزیک (Gradstein,Rhysik) معادله (8.111) و مقاله صورت لژاندر مقاله ویکیپدیا (Wikipedia) ، http://pnu-club.com/imported/2009/12/137.png معادل http://pnu-club.com/imported/2009/12/138.png ما آورده شده؛ همچنین http://pnu-club.com/imported/2009/12/139.png.
از این رو، اگر شخصی رمزی را از زبان ریاضی Mathematica به زبان استفاده شده توسط Maple ترجمه میکند، باید آرگومان تابع بیضوی Elliptic K function) K) را با ریشه دوم آن جایگزین نماید. به همین منوال، در ترجمه از Maple به Mathematica ، آرگومان باید با مجذورش جایگزین گردد. (K(x بیضوی در Maple تقریبا معادل با [K[x2 بیضوی در Mathematica است. فرد دیگری ممکن است انتظار داشته باشد تا همان نتیجه را در هر دو سامانه (سیستم) بگیرد، دست کم وقتی که داریم: x کوچکتر از یک و بزرگتر از صفر باشد.
توجه کنید که
http://pnu-club.com/imported/2009/12/140.png
با u که در بالا تعریف شد: بنابراین، توابع بیضوی ژاکوبی، معکوس های انتگرال های بیضوی هستند.
انتگرال بیضوی ناقص نوع دوم
انتگرال بیضوی ناقص نوع دوم E به این شکل است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/141.png
به صورت معادل، با استفاده از نمادگذاری جایگزین (جانشانی) http://pnu-club.com/imported/2009/12/142.png ،
http://pnu-club.com/imported/2009/12/143.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/162.gif
نمودار انتگرال بیضوی ناقص نوع دوم.
نسبت های اضافی شامل زیر می شوند:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/144.png
انتگرال بیضوی ناقص نوع سوم
انتگرال بیضوی ناقص نوع سوم http://pnu-club.com/imported/2009/12/145.png به این شکل است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/146.png
یا
http://pnu-club.com/imported/2009/12/147.png
یا
http://pnu-club.com/imported/2009/12/148.png
عدد n مشخصه نامیده می شود و هر مقداری را مستقل از دیگر آرگومانها می تواند بگیرد. توجه داشته باشید که به هر حال مقدار http://pnu-club.com/imported/2009/12/149.png برای هر m نامحدود است.
انتگرال بیضوی کامل نوع اول
انتگرال های بیضوی وقتی کامل خوانده می شوند که دامنه نصف پی (pi/2) و بنابراین x=1 باشد. انتگرال بیضوی کامل نوع اول K می تواند به صورت زیر تعریف شود:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/150.png
یا
http://pnu-club.com/imported/2009/12/151.png
این یک حالت خاص انتگرال بیضوی ناقص نوع اول است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/152.png
حالت خاص می تواند به شکل یک سری توانی بیان شود
http://pnu-club.com/imported/2009/12/153.png
که معادل است با
http://pnu-club.com/imported/2009/12/154.png
وقتی !!n فاکتوریل دوگانه است.بر حسب تابع فوق هندسی گاوس (Gauss hypergeometric function)، انتگرال بیضوی کامل نوع اول می تواند به شکل
http://pnu-club.com/imported/2009/12/155.png
بیان شود.
http://pnu-club.com/imported/2009/12/163.gif
نمودار انتگرال بیضوی کامل نوع اول.
گاهی اوقات انتگرال بیضوی کامل نوع اول یک چهارم دوره (ربع دوره quarter period) نامیده میشود و میتواند بر حسب میانگین هندسی-حسابی محاسبه گردد.
مقادیر ویژه
http://pnu-club.com/imported/2009/12/156.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/157.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/158.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/159.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/160.png
مشتق انتگرال بیضوی کامل نوع اول
http://pnu-club.com/imported/2009/12/161.png
انتگرال بیضوی کامل نوع دوم
انتگرال بیضوی کامل نوع دوم E می تواند به صورت زیر بیان شود
http://pnu-club.com/imported/2009/12/162.png
یا
http://pnu-club.com/imported/2009/12/163.png
این حالت خاصی از انتگرال بیضوی ناقص نوع دوم است:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/164.png
که می تواند به صورت یک سری توانی بیان شود
http://pnu-club.com/imported/2009/12/165.png
که به صورت زیر است
http://pnu-club.com/imported/2009/12/166.png
بر حسب تابع فوق هندسی گاوس، انتگرال بیضوی کامل نوع دوم می تواند به شکل زیر بیان گردد:
http://pnu-club.com/imported/2009/12/167.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/164.gif
نمودار انتگرال بیضوی کامل نوع دوم.
مقادیر ویژه
http://pnu-club.com/imported/2009/12/168.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/169.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/170.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/171.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/172.png
مشتق انتگرال بیضوی کامل نوع دوم
http://pnu-club.com/imported/2009/12/173.png
انتگرال بیضوی کامل نوع سوم
انتگرال بیضوی کامل نوع سوم می تواند به صورت زیر تعریف شود
http://pnu-club.com/imported/2009/12/174.png
توجه کنید که گاهی اوقات انتگرال بیضوی کامل نوع سوم با یک علامت معکوس در n تعریف می گردد، برای مثال
http://pnu-club.com/imported/2009/12/175.png
مشتقات جزئی انتگرال بیضوی کامل نوع سوم
http://pnu-club.com/imported/2009/12/176.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/177.png
http://pnu-club.com/imported/2009/12/165.gif
نمودار انتگرال بیضوی کامل نوع سوم.
***
نمودارها از سایت بسیار مفید http://www.efunda.com (http://www.efunda.com/math/elliptic/elliptic.cfm) گرفته شده اند.
مراجع:
References
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (http://en.wikipedia.org/wiki/Handbook_of_Mathematical_Functions), (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 (http://en.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/0486612724). (See chapter 17).
Harris Hancock (http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Harris_Hancock&action=edit&redlink=1) Lectures on the theory of Elliptic functions (http://www.archive.org/details/lecturestheorell00hancrich) (New York, J. Wiley & sons, 1910)
Alfred George Greenhill (http://en.wikipedia.org/wiki/Alfred_George_Greenhill) The applications of elliptic functions (http://www.archive.org/details/applicationselli00greerich) (New York, Macmillan, 1892)
Louis V. King On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals (http://www.archive.org/details/onthenumerical032686mbp) (Cambridge University Press, 1924)
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral (http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral)