Borna66
12-31-2009, 04:52 PM
هندسه اقلیدسی- بخش دوم (http://pnu-club.com/post-20.aspx)
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1034.jpgانتقادهائي بر کتاب «اصول» اقليدس
اگر بخواهيم کتاب «اصول» اقليدس را با ديد انتقادي بررسي کنيم، متوجه مي شويم بسياري از پيش فرضهاي خود را بيان نکرده است؛ از جمله اين که خط و نقطه وجود دارند، همه نقطه ها بر يک امتداد نيستند و هر خط دست کم دو نقطه دارد.
اگر ما اصول هندسه را انتزاع هايي از تجربه بدانيم، بلافاصله تفاوت اين اصل و چهار اصل ديگر مشخص مي شود. به هيچ وجه نمي توانيم به طور تجربي تحقيق کنيم که آيا دو خط همديگر را مي برند يا نه.
مشکل: اصل پنجم اقليدس
چهار اصل اول همواره مورد توافق رياضيدانان بوده اند. اما آن چه در اين ميان بسياري از هندسه دانان را به خود مشغول مي داشت نه معناي کلي هندسه، بلکه اصل موضوع پنجم بود. اصل پنجم اقليدس که ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچ وجه واجد صفت بديهي نبود. به نظر مي رسيد که اين اصل پيچيده تر از آن باشد که بتوان آن را به عنوان اصل موضوع پذيرفت و موجب زحمت فكري بود: نه چندان ساده بود كه بتوان اصل بودنش را بدون نگراني پذيرفت و از سوي ديگر قابل اثبات هم نبود. در طي قرنها، تلاش بسياري از سوي رياضيدانان مسلمان و اروپايي براي پيدا کردن راهي جهت کنار گذاشتن اين اصل صورت گرفت. از همان آغاز كساني دچار دودلي شدند و وقت بسياري را براي اثبات آن يا قرار دادن اصلي به جاي آن صرف كردند. اين كوشش ها هرچند به نتيجه قطعي نرسيدند، راه را براي رسيدن به نتيجه مهمتري گشودند.
http://pnu-club.com/imported/mising.jpgکمال مطلوب آن بود که ثابت نمايند اين اصل از اصول ديگر مستقل نيست و مي توان آن را به صورت قضيه اي اثبات نمود. بنابراين طبيعي بود که لزوم واقعي آن به عنوان يک اصل مورد سئوال قرار گيرد. زيرا چنين تصور مي شد که شايد بتوان آن را به عنوان يک «قضيه» و نه «اصل» از ساير اصول استخراج کرد؛ يا حداقل به جاي آن مي توان معادل قابل قبول تري قرار داد. اين تلاشها موجب گرديد تا اصول هندسي متعدد ديگري کشف شوند که هر يک مي توانستند در کنار ساير اصول اقليدس به اثبات قضاياي مطروحه بپردازند. به مانند اصل مشهور «توازي» که از قرن هيجدهم معمول گرديد و گاهي اوقات به اشتباه اصل موضوع پنجم ناميده مي شود.
تلاش رياضيدانان براي اثبات اصل پنجم اقليدس
در طول تاريخ رياضيدانان بسياري از جمله، خواجه نصيرالدين طوسي، جان واليس، لژاندر، فورکوش بوليائي (رياضيدان مجارستاني) و ... تلاش کردند اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرند و آن را به عنوان يک قضيه اثبات کنند؛ اما تمام تلاشها بي نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي شدند و به نوعي، همين اصل را در اثبات خود به کار مي بردند! خيام ضمن جستجوي راهي براي اثبات «اصل توازي» مبتکر مفهوم عميقي در هندسه شد. تلاش براي اثبات اصل پنجم به قدري زياد بود که فردي براي رساله دکتراي خود در سال 1763، نقايص 28 برهان از آنها را جمع کرده بود و دايره المعارف نويس بزرگ رياضي دالامبر (http://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%98%D8%A7%D9%86_%D9%84%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF_ %D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A7%D9%85%D8%A8%D8%B1) اين وضع را افتضاح هندسه ناميد. رياضيدانان رفته رفته نا اميد مي شدند.
http://pnu-club.com/imported/2009/12/2.jpeg
ژان لروند دالامبر ریاضی دان فرانسوی (۱۷۸۳-۱۷۱۷)
تلاشهاي بسياري که از سوي دانشمندان جهان براي اثبات اصل پنجم و ارائه صورتهاي مختلفي از آن صورت گرفت، باعث ايجاد و بسط هندسه هاي نااقليدسي گرديد.
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
يانوش بوليائي يکي از رياضيدانان جواني بود که در اين راه تلاش مي کرد. پدر وي نيز رياضيداني بود که سالها در اين مسير تلاش کرده بود و طي نامه اي به پسرش نوشت: «تو ديگر نبايد براي گام نهادن در راه توازيها تلاش کني، من پيچ و خم اين راه را از اول تا آخر مي شناسم. اين شب بي پايان همه روشنايي و شادماني زندگي مرا به کام نابودي فرو برده است. التماس مي کنم دانش موازيها را رها کني».
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1035.jpg
کارل فریدریش گائوس ریاضیدان نابغه آلمانی (۱۸۵۵-۱۷۷۷)
ولي يانوش جوان از اخطار پدر نهراسيد، زيرا که انديشه کاملاً تازه اي را در سر مي پروراند. او فرض کرد نقيض اصل توازي اقليدس حکم بي معني اي نيست (يعني با معناست). وي در سال 1823 پدرش را محرمانه در جريان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت ضميمه ۲۶ صفحه اي در كتاب تنتامن Tentamenپدرش منتشر کرد و نسخه اي از آن را براي گائوس (http://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D9%84_%D9%81%D8%B1%DB%8C%D8%AF% D8%B1%DB%8C%D8%B4_%DA%AF%D8%A7%D9%88%D8%B3) فرستاد. بعد معلوم شد که گائوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است. بعدها مشخص شد که لباچفسکي در سال 1829 کشفيات خود را درباره هندسه نااقليدسي در بولتن کازان، دو سال قبل از بوليائي منتشر کرده است. و بدين ترتيب کشف هندسه هاي نااقليدسي به نام بويوئي و لباچفسکي ثبت گرديد.
پايان بخش دوم
منابع:
1- وبلاگ «علمی (http://maghale.javanblog.com/post-13666.html)»
2- تالار گفتگوي «پارسی فروم (http://forum.p30parsi.com/showthread.php?t=2511)»
3- وبلاگ «زنده رود (http://weblog.zendehrood.com/comments.aspx?WeblogID=atefeh&MemoID=18021)»
4- سايت «تئوری (http://cph-theory.persiangig.com/link/Ph6-Azad-Hende3.htm) CPH»
5- سايت «مقاله های فارسی (http://www.persianarticles.com/view_comp_article.asp?artid=612)» مقاله «هندسه نااقليدسي و انحناي فضا» از مهدي صفاري
6- وبلاگ «فلسفه علم (http://pofs.blogfa.com/post-19.aspx)»
7- سايت «مرکز انجمنهای تخصصی (http://www.centralclubs.com/forum-f131/topic-t15223.html)»
8- کتاب «هندسه هاي اقليدسي و نااقليدسي» - ماروين جي گرينبرگ- ترجمه شفيعيها - مرکز نشر دانشگاهي
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1034.jpgانتقادهائي بر کتاب «اصول» اقليدس
اگر بخواهيم کتاب «اصول» اقليدس را با ديد انتقادي بررسي کنيم، متوجه مي شويم بسياري از پيش فرضهاي خود را بيان نکرده است؛ از جمله اين که خط و نقطه وجود دارند، همه نقطه ها بر يک امتداد نيستند و هر خط دست کم دو نقطه دارد.
اگر ما اصول هندسه را انتزاع هايي از تجربه بدانيم، بلافاصله تفاوت اين اصل و چهار اصل ديگر مشخص مي شود. به هيچ وجه نمي توانيم به طور تجربي تحقيق کنيم که آيا دو خط همديگر را مي برند يا نه.
مشکل: اصل پنجم اقليدس
چهار اصل اول همواره مورد توافق رياضيدانان بوده اند. اما آن چه در اين ميان بسياري از هندسه دانان را به خود مشغول مي داشت نه معناي کلي هندسه، بلکه اصل موضوع پنجم بود. اصل پنجم اقليدس که ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچ وجه واجد صفت بديهي نبود. به نظر مي رسيد که اين اصل پيچيده تر از آن باشد که بتوان آن را به عنوان اصل موضوع پذيرفت و موجب زحمت فكري بود: نه چندان ساده بود كه بتوان اصل بودنش را بدون نگراني پذيرفت و از سوي ديگر قابل اثبات هم نبود. در طي قرنها، تلاش بسياري از سوي رياضيدانان مسلمان و اروپايي براي پيدا کردن راهي جهت کنار گذاشتن اين اصل صورت گرفت. از همان آغاز كساني دچار دودلي شدند و وقت بسياري را براي اثبات آن يا قرار دادن اصلي به جاي آن صرف كردند. اين كوشش ها هرچند به نتيجه قطعي نرسيدند، راه را براي رسيدن به نتيجه مهمتري گشودند.
http://pnu-club.com/imported/mising.jpgکمال مطلوب آن بود که ثابت نمايند اين اصل از اصول ديگر مستقل نيست و مي توان آن را به صورت قضيه اي اثبات نمود. بنابراين طبيعي بود که لزوم واقعي آن به عنوان يک اصل مورد سئوال قرار گيرد. زيرا چنين تصور مي شد که شايد بتوان آن را به عنوان يک «قضيه» و نه «اصل» از ساير اصول استخراج کرد؛ يا حداقل به جاي آن مي توان معادل قابل قبول تري قرار داد. اين تلاشها موجب گرديد تا اصول هندسي متعدد ديگري کشف شوند که هر يک مي توانستند در کنار ساير اصول اقليدس به اثبات قضاياي مطروحه بپردازند. به مانند اصل مشهور «توازي» که از قرن هيجدهم معمول گرديد و گاهي اوقات به اشتباه اصل موضوع پنجم ناميده مي شود.
تلاش رياضيدانان براي اثبات اصل پنجم اقليدس
در طول تاريخ رياضيدانان بسياري از جمله، خواجه نصيرالدين طوسي، جان واليس، لژاندر، فورکوش بوليائي (رياضيدان مجارستاني) و ... تلاش کردند اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرند و آن را به عنوان يک قضيه اثبات کنند؛ اما تمام تلاشها بي نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي شدند و به نوعي، همين اصل را در اثبات خود به کار مي بردند! خيام ضمن جستجوي راهي براي اثبات «اصل توازي» مبتکر مفهوم عميقي در هندسه شد. تلاش براي اثبات اصل پنجم به قدري زياد بود که فردي براي رساله دکتراي خود در سال 1763، نقايص 28 برهان از آنها را جمع کرده بود و دايره المعارف نويس بزرگ رياضي دالامبر (http://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%98%D8%A7%D9%86_%D9%84%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF_ %D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A7%D9%85%D8%A8%D8%B1) اين وضع را افتضاح هندسه ناميد. رياضيدانان رفته رفته نا اميد مي شدند.
http://pnu-club.com/imported/2009/12/2.jpeg
ژان لروند دالامبر ریاضی دان فرانسوی (۱۷۸۳-۱۷۱۷)
تلاشهاي بسياري که از سوي دانشمندان جهان براي اثبات اصل پنجم و ارائه صورتهاي مختلفي از آن صورت گرفت، باعث ايجاد و بسط هندسه هاي نااقليدسي گرديد.
http://pnu-club.com/imported/mising.jpg
يانوش بوليائي يکي از رياضيدانان جواني بود که در اين راه تلاش مي کرد. پدر وي نيز رياضيداني بود که سالها در اين مسير تلاش کرده بود و طي نامه اي به پسرش نوشت: «تو ديگر نبايد براي گام نهادن در راه توازيها تلاش کني، من پيچ و خم اين راه را از اول تا آخر مي شناسم. اين شب بي پايان همه روشنايي و شادماني زندگي مرا به کام نابودي فرو برده است. التماس مي کنم دانش موازيها را رها کني».
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1035.jpg
کارل فریدریش گائوس ریاضیدان نابغه آلمانی (۱۸۵۵-۱۷۷۷)
ولي يانوش جوان از اخطار پدر نهراسيد، زيرا که انديشه کاملاً تازه اي را در سر مي پروراند. او فرض کرد نقيض اصل توازي اقليدس حکم بي معني اي نيست (يعني با معناست). وي در سال 1823 پدرش را محرمانه در جريان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت ضميمه ۲۶ صفحه اي در كتاب تنتامن Tentamenپدرش منتشر کرد و نسخه اي از آن را براي گائوس (http://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D9%84_%D9%81%D8%B1%DB%8C%D8%AF% D8%B1%DB%8C%D8%B4_%DA%AF%D8%A7%D9%88%D8%B3) فرستاد. بعد معلوم شد که گائوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است. بعدها مشخص شد که لباچفسکي در سال 1829 کشفيات خود را درباره هندسه نااقليدسي در بولتن کازان، دو سال قبل از بوليائي منتشر کرده است. و بدين ترتيب کشف هندسه هاي نااقليدسي به نام بويوئي و لباچفسکي ثبت گرديد.
پايان بخش دوم
منابع:
1- وبلاگ «علمی (http://maghale.javanblog.com/post-13666.html)»
2- تالار گفتگوي «پارسی فروم (http://forum.p30parsi.com/showthread.php?t=2511)»
3- وبلاگ «زنده رود (http://weblog.zendehrood.com/comments.aspx?WeblogID=atefeh&MemoID=18021)»
4- سايت «تئوری (http://cph-theory.persiangig.com/link/Ph6-Azad-Hende3.htm) CPH»
5- سايت «مقاله های فارسی (http://www.persianarticles.com/view_comp_article.asp?artid=612)» مقاله «هندسه نااقليدسي و انحناي فضا» از مهدي صفاري
6- وبلاگ «فلسفه علم (http://pofs.blogfa.com/post-19.aspx)»
7- سايت «مرکز انجمنهای تخصصی (http://www.centralclubs.com/forum-f131/topic-t15223.html)»
8- کتاب «هندسه هاي اقليدسي و نااقليدسي» - ماروين جي گرينبرگ- ترجمه شفيعيها - مرکز نشر دانشگاهي