Borna66
12-31-2009, 04:51 PM
هندسه (Geometry) از دو واژه يوناني «ژئو» Geo به معناي زمين و «متراين» به معناي اندازه گيري آمده است.
اقليدس (حدود300 قبل از ميلاد)، فيلسوف و رياضيدان ساکن آتن (پايتخت يونان) پس از تحصيل در آکادمي افلاطون به دعوت بطلميوس پسر لاگوس به اسکندريه مهاجرت کرد و مکتب رياضي خود را در آن شهر بنيان نهاد. مهمترين اثر اقليدس که نه به عنوان کتابي درسي و يا تمرين در هندسه محض، بلکه با اهدافي به مراتب متفاوت تر نگاشته شد، «اصول» (Elements) نام دارد که در سيزده جلد نگاشته شده است. اين کتاب يکي از تاثيرگذارترين و مهمترين كتابهاي تاريخ بشر در هندسه به شمار مي رود.
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1032.jpgاهداف سه گانه آن بنا بر عقيده کارل پوپر (http://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D9%84_%D9%BE%D9%88%D9%BE%D8%B1) (سمت چپ) (1902-1994) عبارتند از:
1- رفع بحراني که در رياضيات با کشف اعداد گنگ (اصم) پديد آمد (قبلا افلاطون در تيماوس با وارونه کردن نظر فيثاغوريان براي حسابي کردن هندسه، مقدمات اين کار را فراهم کرده بود)؛
2- بازسازي کل رياضيات؛
3- بنا کردن کيهان شناسي بر شالوده هاي هندسي (تا کنون هم بر اين روال عمل ميشود).
روش اقليدس در کتاب «اصول»
روش اقليدس در کتاب اصول، روش اصل موضوعي است. به اين معنا که با استفاده از چند اصل و فرض گرفتن چند مفهوم اوليه به اثبات درستي قضايا و نتايج پرداخته مي شود. براي اين که بتوان در روش اصل موضوعي درستي برهاني را پذيرفت اولا بايد برروي اصول موضوعه و ثانيا برروي قواعد استنتاج، توافق وجود داشته باشد. اقليدس در اين كتاب از تعداد انگشت شماري «اصول موضوع»، تعداد نسبتا قابل توجهي «قضيه» نتيجه گيري ميكند. كار عظيم اقليدس اين بود كه چند اصل ساده و چند حكم را كه بي نياز به توجيه و پذيرفتني بودند، دست چين كرد و از آنها ۴۶۵ گزاره نتيجه گرفت كه بسياري از آنها پيچيده بودند و به طور شهودي، بديهي نبودند و تمام اطلاعات زمان او را در برداشتند. يك دليل بر زيبايي «اصول» اقليدس اين است كه اين همه را از آن اندك نتيجه گرفته است.
مفاهيم اوليه هندسه
اقليدس همه سعي خود را کرد که تمامي اصطلاحات هندسي را تعريف کند. اما اين کار به فهميدن بيشتر کمک نمي کند و دور يا تسلسل لازم مي آيد (دور در تعريف، دور بي خطري نيست). مثلا سعي مي کند خط مستقيم را اين گونه تعريف کند: خطي که به نحوي هموار بر نقاطي که بر آن هستند، قرار داشته باشد. اين تعريف خوبي نيست چون بايد براي فهميدن آن، قبلا تصوري از خط داشته باشيد؛ پس يک سري اصطلاحات بعنوان اصطلاحات تعريف نشده در http://pnu-club.com/imported/2009/12/1033.jpgنظر گرفته مي شوند:
نقطه
خط
قرار دارند بر
ميان (مثلا نقطه A ميان دو نقطه ديگر است) و
قابليت انطباق.
فراهم آوردن اين ليست از کارهاي هيلبرت است.
از زمان اقليدس رسم بر اين بود که هندسه به صورت دستگاهي اصل موضوعي و منسجم مورد مطالعه قرار گيرد. رياضيدانان جديد نيز که به گسترش جنبه هاي ديگر پرداختند از اين روش تبعيت مي کردند؛ به طوري که صورت بندي «اقليدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاي فكري بود و پنداشته ميشد كه نظام اقليدس يگانه نظامي است كه امكان پذير است. اين نظام بي چون و چرا توصيفي درست از جهان انگاشته ميشد. هندسه اقليدسي مدلي براي ساختار نظريه هاي علمي بود و نيوتن و ديگر دانشمندان از آن پيروي مي كردند.
فضاي هندسه اقليدسي
هندسه اقليدسي فضايي را مفروض مي گيرد كه هيچ گونه خميدگي و انحنا ندارد. به عبارت ديگر، هندسه اقليدسي براي دستگاهي مشتمل بر خطهاي راست در يك صفحه طرح ريزي شده است اما در عالم واقع يك چنين خطهاي راستي وجود ندارد. بر خلاف هندسه اقليدسي، نظام هندسي لباچفسكي و ريماني اين خميدگي را مفروض مي گيرند (در پستهاي بعدي به آنها اشاره خواهد شد).
http://pnu-club.com/imported/2009/12/124.pngاصول هندسه اقليدسي
نظام قياسي هندسه اقليدسي مبتني بر پنج اصل موضوع، پنج اصل متعارفي و چند برابر آنها اصول موضوعه و متعارفي تعريف نشده و همچنين برخي تعاريف بود و قضاياي هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات ميشوند. اين اصول موضوع عبارتند از:
1- از هر نقطه به هر نقطه ديگر مي توان خطي راست کشيد.
2- هر خط راست محدود را مي توان به طور نامحدود و به صورت خط راست ادامه داد.
3- هر نقطه اي و هر طولي داده شوند، مي توان دايره اي کشيد که آن نقطه مرکزش و آن طول شعاعش باشند. يا به عبارت ديگر، مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم کرد.
4- همه زواياي قائمه با هم برابرند.
5- اگر خطي راست دو خط راست ديگر را قطع کند، چنان که مجموع دو زاويه که در يک طرف آن تشکيل مي شوند از دو قائمه کمتر باشد، چون دو خط راست را به اندازه کافي امتداد دهيم، سر انجام در همان طرفي که مجموع زوايا کمتر از دو قائمه است، يکديگر را قطع مي کنند (بيان خود اقليدس).
صورت ديگر اصل موضوعه پنجم اقليدس به اين شکل بيان مي شود: «به ازاي هر خط و نقطه اي خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خط مفروض مي تواند از آن نقطه عبور كند».
معادلهاي اصل پنجم اقليدس:
(الف) اگر يک خط، دو خط موازي را قطع کند، همه زواياي حاده بوجود آمده با هم و همه زواياي منفرجه به وجود آمده با هم مساوي اند.
(ب) مجموع زواياي داخلي يک مثلث 180 درجه است.
(پ) اگر خطي يک خط موازي را قطع کند، ديگري را هم قطع مي کند.
(ت) هرگاه خطي بر يک خط موازي عمود شود، بر ديگري نيز عمود مي شود.
(ث) هرگاه k و l دو خط موازي باشند و m بر k عمود باشد و n بر l عمود باشد آنگاه يا m=n يا m با n موازي است.
پايان بخش نخست
منابع:
1- وبلاگ «علمی (http://maghale.javanblog.com/post-13666.html)»
2- تالار گفتگوي «پارسی فروم (http://forum.p30parsi.com/showthread.php?t=2511)»
3- وبلاگ «زنده رود (http://weblog.zendehrood.com/comments.aspx?WeblogID=atefeh&MemoID=18021)»
4- سايت «تئوری (http://cph-theory.persiangig.com/link/Ph6-Azad-Hende3.htm) CPH»
5- سايت «مقاله های فارسی (http://www.persianarticles.com/view_comp_article.asp?artid=612)» مقاله «هندسه نااقليدسي و انحناي فضا» از مهدي صفاري
6- وبلاگ «فلسفه علم (http://pofs.blogfa.com/post-19.aspx)»
7- سايت «مرکز انجمنهای تخصصی (http://www.centralclubs.com/forum-f131/topic-t15223.html)»
8- کتاب «هندسه هاي اقليدسي و نااقليدسي» - ماروين جي گرينبرگ- ترجمه شفيعيها - مرکز نشر دانشگاهي
اقليدس (حدود300 قبل از ميلاد)، فيلسوف و رياضيدان ساکن آتن (پايتخت يونان) پس از تحصيل در آکادمي افلاطون به دعوت بطلميوس پسر لاگوس به اسکندريه مهاجرت کرد و مکتب رياضي خود را در آن شهر بنيان نهاد. مهمترين اثر اقليدس که نه به عنوان کتابي درسي و يا تمرين در هندسه محض، بلکه با اهدافي به مراتب متفاوت تر نگاشته شد، «اصول» (Elements) نام دارد که در سيزده جلد نگاشته شده است. اين کتاب يکي از تاثيرگذارترين و مهمترين كتابهاي تاريخ بشر در هندسه به شمار مي رود.
http://pnu-club.com/imported/2009/12/1032.jpgاهداف سه گانه آن بنا بر عقيده کارل پوپر (http://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D9%84_%D9%BE%D9%88%D9%BE%D8%B1) (سمت چپ) (1902-1994) عبارتند از:
1- رفع بحراني که در رياضيات با کشف اعداد گنگ (اصم) پديد آمد (قبلا افلاطون در تيماوس با وارونه کردن نظر فيثاغوريان براي حسابي کردن هندسه، مقدمات اين کار را فراهم کرده بود)؛
2- بازسازي کل رياضيات؛
3- بنا کردن کيهان شناسي بر شالوده هاي هندسي (تا کنون هم بر اين روال عمل ميشود).
روش اقليدس در کتاب «اصول»
روش اقليدس در کتاب اصول، روش اصل موضوعي است. به اين معنا که با استفاده از چند اصل و فرض گرفتن چند مفهوم اوليه به اثبات درستي قضايا و نتايج پرداخته مي شود. براي اين که بتوان در روش اصل موضوعي درستي برهاني را پذيرفت اولا بايد برروي اصول موضوعه و ثانيا برروي قواعد استنتاج، توافق وجود داشته باشد. اقليدس در اين كتاب از تعداد انگشت شماري «اصول موضوع»، تعداد نسبتا قابل توجهي «قضيه» نتيجه گيري ميكند. كار عظيم اقليدس اين بود كه چند اصل ساده و چند حكم را كه بي نياز به توجيه و پذيرفتني بودند، دست چين كرد و از آنها ۴۶۵ گزاره نتيجه گرفت كه بسياري از آنها پيچيده بودند و به طور شهودي، بديهي نبودند و تمام اطلاعات زمان او را در برداشتند. يك دليل بر زيبايي «اصول» اقليدس اين است كه اين همه را از آن اندك نتيجه گرفته است.
مفاهيم اوليه هندسه
اقليدس همه سعي خود را کرد که تمامي اصطلاحات هندسي را تعريف کند. اما اين کار به فهميدن بيشتر کمک نمي کند و دور يا تسلسل لازم مي آيد (دور در تعريف، دور بي خطري نيست). مثلا سعي مي کند خط مستقيم را اين گونه تعريف کند: خطي که به نحوي هموار بر نقاطي که بر آن هستند، قرار داشته باشد. اين تعريف خوبي نيست چون بايد براي فهميدن آن، قبلا تصوري از خط داشته باشيد؛ پس يک سري اصطلاحات بعنوان اصطلاحات تعريف نشده در http://pnu-club.com/imported/2009/12/1033.jpgنظر گرفته مي شوند:
نقطه
خط
قرار دارند بر
ميان (مثلا نقطه A ميان دو نقطه ديگر است) و
قابليت انطباق.
فراهم آوردن اين ليست از کارهاي هيلبرت است.
از زمان اقليدس رسم بر اين بود که هندسه به صورت دستگاهي اصل موضوعي و منسجم مورد مطالعه قرار گيرد. رياضيدانان جديد نيز که به گسترش جنبه هاي ديگر پرداختند از اين روش تبعيت مي کردند؛ به طوري که صورت بندي «اقليدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاي فكري بود و پنداشته ميشد كه نظام اقليدس يگانه نظامي است كه امكان پذير است. اين نظام بي چون و چرا توصيفي درست از جهان انگاشته ميشد. هندسه اقليدسي مدلي براي ساختار نظريه هاي علمي بود و نيوتن و ديگر دانشمندان از آن پيروي مي كردند.
فضاي هندسه اقليدسي
هندسه اقليدسي فضايي را مفروض مي گيرد كه هيچ گونه خميدگي و انحنا ندارد. به عبارت ديگر، هندسه اقليدسي براي دستگاهي مشتمل بر خطهاي راست در يك صفحه طرح ريزي شده است اما در عالم واقع يك چنين خطهاي راستي وجود ندارد. بر خلاف هندسه اقليدسي، نظام هندسي لباچفسكي و ريماني اين خميدگي را مفروض مي گيرند (در پستهاي بعدي به آنها اشاره خواهد شد).
http://pnu-club.com/imported/2009/12/124.pngاصول هندسه اقليدسي
نظام قياسي هندسه اقليدسي مبتني بر پنج اصل موضوع، پنج اصل متعارفي و چند برابر آنها اصول موضوعه و متعارفي تعريف نشده و همچنين برخي تعاريف بود و قضاياي هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات ميشوند. اين اصول موضوع عبارتند از:
1- از هر نقطه به هر نقطه ديگر مي توان خطي راست کشيد.
2- هر خط راست محدود را مي توان به طور نامحدود و به صورت خط راست ادامه داد.
3- هر نقطه اي و هر طولي داده شوند، مي توان دايره اي کشيد که آن نقطه مرکزش و آن طول شعاعش باشند. يا به عبارت ديگر، مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم کرد.
4- همه زواياي قائمه با هم برابرند.
5- اگر خطي راست دو خط راست ديگر را قطع کند، چنان که مجموع دو زاويه که در يک طرف آن تشکيل مي شوند از دو قائمه کمتر باشد، چون دو خط راست را به اندازه کافي امتداد دهيم، سر انجام در همان طرفي که مجموع زوايا کمتر از دو قائمه است، يکديگر را قطع مي کنند (بيان خود اقليدس).
صورت ديگر اصل موضوعه پنجم اقليدس به اين شکل بيان مي شود: «به ازاي هر خط و نقطه اي خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خط مفروض مي تواند از آن نقطه عبور كند».
معادلهاي اصل پنجم اقليدس:
(الف) اگر يک خط، دو خط موازي را قطع کند، همه زواياي حاده بوجود آمده با هم و همه زواياي منفرجه به وجود آمده با هم مساوي اند.
(ب) مجموع زواياي داخلي يک مثلث 180 درجه است.
(پ) اگر خطي يک خط موازي را قطع کند، ديگري را هم قطع مي کند.
(ت) هرگاه خطي بر يک خط موازي عمود شود، بر ديگري نيز عمود مي شود.
(ث) هرگاه k و l دو خط موازي باشند و m بر k عمود باشد و n بر l عمود باشد آنگاه يا m=n يا m با n موازي است.
پايان بخش نخست
منابع:
1- وبلاگ «علمی (http://maghale.javanblog.com/post-13666.html)»
2- تالار گفتگوي «پارسی فروم (http://forum.p30parsi.com/showthread.php?t=2511)»
3- وبلاگ «زنده رود (http://weblog.zendehrood.com/comments.aspx?WeblogID=atefeh&MemoID=18021)»
4- سايت «تئوری (http://cph-theory.persiangig.com/link/Ph6-Azad-Hende3.htm) CPH»
5- سايت «مقاله های فارسی (http://www.persianarticles.com/view_comp_article.asp?artid=612)» مقاله «هندسه نااقليدسي و انحناي فضا» از مهدي صفاري
6- وبلاگ «فلسفه علم (http://pofs.blogfa.com/post-19.aspx)»
7- سايت «مرکز انجمنهای تخصصی (http://www.centralclubs.com/forum-f131/topic-t15223.html)»
8- کتاب «هندسه هاي اقليدسي و نااقليدسي» - ماروين جي گرينبرگ- ترجمه شفيعيها - مرکز نشر دانشگاهي