فاکتوریل دوگانه - بخش دوم

[Borna66]

روابط بين فاکتوريل دوگانه و فاکتوريل عادي




فاکتوريل دوگانه نيز ميتواند به عددهاي صحيح فرد منفي با استفاده از تعريف




http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline10.gif = http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline8.gif

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline13.gif =

براي n=0, 1, … (Arfken 1985, p. 547) بسط داده شود.

http://mathworld.wolfram.com/images/interactive/DoubleFactorialReImAbs.gif

به طور مشابه، فاکتوريل دوگانه ميتواند به آرگومانهاي مختلط به صورت زير بسط يابد:

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/NumberedEquation3.gif

مشخصه هاي بسيار زيادي وجود دارند که فاکتوريل دوگانه را به فاکتوريلها مربوط ميسازند؛ مانند

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/NumberedEquation4.gif

اين رابطه ها به http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline15.gif ميرسند. براي n=0, 1, … ، اولين مقدارها عبارتند از

1، 3، 15، 105، 945، 10395 (Sloane (http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A001147)). همچنين از آن جا که

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline19.gif = http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline17.gif

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline22.gif =

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline25.gif =

اين نتيجه ميدهد http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline26.gif . براي n=0, 1, … ، اولين مقدارها عبارتند از

1، 2، 8، 48، 384، 3840، 46080 و... (Sloane (http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A000165)). در نهايت چون

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/NumberedEquation5.gif

اين رابطه به http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/NumberedEquation6.gif منجر ميشود.

براي n فرد

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline31.gif = http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline29.gif

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline34.gif =

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline37.gif =

براي n زوج

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline41.gif = http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline39.gif

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline44.gif =

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/Inline47.gif =

بنابراين براي هر n

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/NumberedEquation7.gif

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DoubleFactorial/NumberedEquation8.gif